第12章 全等三角形 人教版八年级上册数学尖子生训练题2份.pdf

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1、第十二章 全等三角形尖子生训练题 满分：100 分 时间：90 分钟 一选择题（每题 3 分，共 30 分）1ABC 的三边 AB，BC，CA 的长分别为 6cm，4cm，4cm，P 为三条角平分线的交点，则ABP，BCP，ACP 的面积比等于（）A1：1：1 B2：2：3 C2：3：2 D3：2：2 2 如图，DEAC，BFAC，垂足分别是 E，F，且 DEBF，若利用“HL”证明DECBFA，则需添加的条件是（）AECFA BDCBA CDB DDCEBAF 3下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（）AAB4，BC5，C60 BAB6，C60，B70 CAB4，BC5，CA10 DC6

2、0，B70，A50 4如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（） ASSS BSAS CASA DAAS 5如图所示，在下列条件中，不能判断ABDBAC 的条件是（）ADC，BADABC BBADABC，ABDBAC CBDAC，BADABC DADBC，BDAC 6小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线 如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP 就是BOA 的角平分线”他这样做的依据是（）A角的

3、内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D以上均不正确 7如图，已知：在AFD 和CEB，点 A、E、F、C 在同一直线上，在给出的下列条件中，AECF，DB，ADCB，DFBE，选出三个条件可以证明AFDCEB的有（）组 A4 B3 C2 D1 8如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC，DEAB于 E，下列结论：CDED；AC+BEAB；BDEBAC；BEDE；SBDE：SACDBD：AC，其中正确的个数为（）A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 9如图，直线 a、b、c 表示三条公路，现要建一

4、个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A一处 B两处 C三处 D四处 10如图，已知12，ACAD，增加下列条件之一：ABAE；BCED；CD；BE其中能使ABCAED 的条件有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（每题 4 分，共 20 分）11如图，点 E，F 在 AC 上，ADBC，DFBE，要使ADFCBE，需添加一个条件是 （只需添加一个条件即可）12在ABC 中，已知A60，ABC 的平分线 BD 与ACB 的平分线 CE 相交于点 O，BOC 的平分线交 BC 于 F，则下列说法中正确的是 BOE60，ABDACE，OEODBCBE+CD

5、 13如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，若 BD5，BD：CD5：3，AB10，则ABD 的面积是 14工人师傅常用角尺平分一个任意角做法如下：如图，AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 OMON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M，N 重合过角尺顶点 C 的射线 OC 即是AOB 的平分线这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是 15如图，在ABC 中，AB10，AC5，AD 是角平分线，CE 是高，过点 D 作 DFAB，垂足为 F，若 DF，则线段 CE 的长是 三解答题（每题 10 分，共 50 分）16如

6、图，ABC 和EBD 中，ABCDBE90，ABCB，BEBD，连接 AE，CD，AE与 CD 交于点 M，AE与 BC 交于点 N（1）求证：AECD；（2）求证：AECD；（3）连接 BM，有以下两个结论：BM 平分CBE；MB 平分AMD其中正确的有 （请写序号，少选、错选均不得分）17如图，点 C 在线段 BD 上，且 ABBD，DEBD，ACCE，BCDE求证：ABCD 18如图所示，在ABE和ACD 中，给出以下 4 个论断：（1）ABAC；（2）ADAE；（3）BECD；（4）DAMEAN 以其中 3 个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，1 个论断为结论，填入下面的“求证”栏中

7、，使之组成一个正确的命题，并写出证明过程 已知：；求证：19如图，在ABC 中，ABAC8，BC12，点 D 从 B 出发以每秒 2 个单位的速度在线段 BC 上从点 B 向点 C 运动，点 E 同时从 C 出发以每秒 2 个单位的速度在线段 CA 上向点 A运动，连接 AD、DE，设 D、E 两点运动时间为 t 秒（0t4）（1）运动 秒时，AEDC；（2）运动多少秒时，ABDDCE 能成立，并说明理由；（3）若ABDDCE，BAC，则ADE （用含 的式子表示）20如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为 A（0，m）、B（n，0），且|mn3|+0，点 P 从

8、A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO匀速运动，设点 P 的运动时间为 t 秒（1）求 OA、OB 的长；（2）连接 PB，设POB 的面积为 S，用 t 的式子表示 S；（3）过点 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 x 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点 P，使EOPAOB？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 参考答案 一选择题 1解：P 为三条角平分线的交点，点 P 到ABC 三边的距离相等，AB，BC，CA 的长分别为 6cm，4cm，4cm，ABP，BCP，ACP 的面积比6：4：43：2：2 故选：D 2解：DEAC，BFA

9、C，DECBFA90，DEBF，当添加条件 DCBA时，可利用“HL”证明DECBFA 故选：B 3解：A、若已知 AB、BC 与B 的大小，则根据 SAS 可判定其形状和大小，故本选项错误；B、有两个角的大小，也就相当于有了三角形的三个角，又有一边的长，所以根据 AAS或 ASA可确定三角形的大小和形状，故本选项正确 C、由于 AB4，BC5，CA10，所以 AB+BC10，三角形不存在，故本选项错误；D、有三个角的大小，但又没有边长，故其形状也不确定，故本选项错误 故选：B 4解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形 故选：C 5解：A

10、、符合 AAS，能判断ABDBAC；B、符合 ASA，能判断ABDBAC；C、不能判断ABDBAC；D、符合 SSS，能判断ABDBAC 故选：C 6解：（1）如图所示：过两把直尺的交点 P 作 PEAO，PFBO，两把完全相同的长方形直尺，PEPF，OP 平分AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A 7解：AECF，AE+EFCF+EF，AFCE，DFBE，DFABEC，若为条件，不能证明AFDCEB，若为条件，能证明AFDCEB（AAS），若为条件，不能证明AFDCEB，若为条件，能证明AFDCEB（AAS），故选：C 8解：正确，在ABC 中，C90，AD

11、平分BAC，DEAB于 E，CDED；正确，因为由 HL 可知ADCADE，所以 ACAE，即 AC+BEAB；正确，因为BDE 和BAC 都与B 互余，根据同角的补角相等，所以BDEBAC；错误，因为B 的度数不确定，故 BE 不一定等于 DE；错误，因为 CDED，ABD 和ACD 的高相等，所以 SBDE：SACDBE：AC 故选：C 9解：ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，ABC 内角平分线的交点满足条件；如图：点 P 是ABC 两条外角平分线的交点，过点 P 作 PEAB，PDBC，PFAC，PEPF，PFPD，PEPFPD，点 P 到ABC 的三边的距离相等，ABC

12、两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有 3 个；综上，到三条公路的距离相等的点有 4 个，可供选择的地址有 4 个 故选：D 10解：12，CABDAE，ACAD，当 ABAE 时，可根据“SAS”判断ABCAED；当 BCED 时，不能判断ABCAED；当CD 时，可根据“ASA”判断ABCAED；当BE 时，可根据“AAS”判断ABCAED 故选：C 二填空题（共 5 小题）11解：当DB 时，在ADF 和CBE 中，ADFCBE（SAS），故答案为：DB（答案不唯一）12解：如图，A60，ABC+ACB180 60 120，BD、CE 分别是ABC 和BCA 的平分线

13、，OBC+OCB 120 60，BOEOBC+OCB60 故正确；BD、CE 分别是ABC 和BCA 的平分线，ABDABC，ACEACB，当 ABAC 时，ABCACB，而已知 AB 和 AC 没有相等关系，故不正确；OBC+OCB60，BOC120，OF 平分BOC，BOFCOF60，BOE60，BOEBOF，在BOE 和BOF 中，BOEBOF（ASA），OEOF，同理得：CDOCFO，ODOF，ODOE，故正确；BOEBOF，CDOCFO，BFBE，CFCD，BCCF+BFBE+CD，故正确；则下列说法中正确的是：故答案为 13解：过 D 作 DEAB于 E，AD 平分BAC，C90，

14、DEDC，BD5，BD：CD5：3，CD3，在ABC 中，C90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，DECD3，AB10，ABD 的面积是：AB DE 10 315 故答案为：15 14解：由图可知，CMCN，又 OMON，在MCO 和NCO 中，COMCON（SSS），AOCBOC，即 OC 是AOB 的平分线 故答案为：SSS 15解：AD 是角平分线，2，CE 是高，DFAB，DFCE，CEDF 4 故答案为 4 三解答题（共 5 小题）16（1）证明：ABCDBE，ABC+CBEDBE+CBE，即ABECBD，在ABE 和CBD 中，ABECBD，AECD （2）ABECBD，

15、BAEBCD，NMC180 BCDCNM，ABC180 BAEANB，又CNMANB，ABC90，NMC90，AECD （3）结论：理由：作 BKAE于 K，BJCD 于 J ABECBD，AECD，SABESCDB，AE BK CD BJ，BKBJ，作 BKAE于 K，BJCD 于 J，BM 平分AMD 不妨设成立，则CBMEBM，则 ABBD，显然不可能，故错误 故答案为 17证明：ABBD，EDBD，ACCE，ACEABCCDE90，ACB+ECD90，ECD+CED90，ACBCED 在ABC 和CDE 中，ABCCDE（ASA），ABCD 18解：已知：ABAC，ADAE，BECD

16、求证：DAMEAN 证明：在ADC 和AEB中，ADCAEB（SSS），DACEAB，即DAM+BACEAN+BAC，则DAMEAN 故答案为：ABAC，ADAE，BECD；DAMEAN 19解：（1）由题可得，BDCE2t，CD122t，AE82t，当 AEDC，时，82t（122t），解得 t3，故答案为：3；（2）当ABDDCE 成立时，ABCD8，122t8，解得 t2，运动 2 秒时，ABDDCE 能成立；（3）当ABDDCE 时，CDEBAD，又ADE180 CDEADB，B180 BADADB，ADEB，又BAC，ABAC，ADEB（180 ）90 故答案为：90 20解：（1）

17、|mn3|+0，且|mn3|0，0|mn3|0，n3，m6，点 A（0，6），点 B（3，0）OA6，OB3；（2）连接 PB，t 秒后，APt，OP|6t|，SOP OB|6t|；（t0）（3）作出图形，OAB+OBA90，OAB+APD90，OPEAPD，OBAOPE，只要 OPOB，即可求证EOPAOB，APAOOP3，或 AP OA+OP 9 t3 或 9 第十二章全等三角形尖子生训练卷 一选择题（共 12 小题）1如图，已知 AC 平分PAQ，点 B、D 分别在边 AP、AQ 上如果添加一个条件后可推出 ABAD，那么该条件不可以是（）ABDAC BBCDC CACBACD DABC

18、ADC 2下列命题：有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等其中正确的是（）A B C D 3如图，在ABC 中，AQPQ，PRPS，PRAB 于 R，PSAC 于 S，则三个结论ASAR；QPAR；BPRQSP 中（） A全部正确 B仅和正确 C仅正确 D仅和正确 4在ABC 和DEF 中，下列各组条件中，不能判定它们全等的条件是（）AABDE，BCEF，BE BABDE，BCEF，CAFD CAD，BE，CAFD DABDE，AD，BCEF 5如图是“北大西洋公约组织”标志的主体

19、部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC 拼成的 测得 ABBC，OAOC，OAOC，ABC36，则OAB 的度数是（）A116 B117 C118 D119 6如图，AEAB且 AEAB，BCCD 且 BCCD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 S 是（）A50 B62 C65 D68 7如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点 C 落在 AB上的点 E 处已知 BC12，B30，则 DE 的长是（）A6 B4 C3 D2 8如图是由 4 个相同的小正方形组成的网格图，其中1+2 等于（）A150 B180 C210 D225 9如图，在ABC 中，ADBC，CE

20、AB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于点 H，已知EHEB3，AE4，则 CH 的长是（）A4 B5 C1 D2 10如图，在ABC 中，ACB90，BE 平分ABC，DEAB于 D，如果 AC3cm，那么 AE+DE 等于（）A2cm B3cm C4cm D5cm 11如图，AD 是ABC 的角平分线，DFAB，垂足为 F，DEDG，ADG 和AED 的面积分别为 50 和 39，则EDF 的面积为（）A11 B5.5 C7 D3.5 12如图，ABC 中，ABC、EAC 的角平分线 PA、PB 交于点 P，下列结论：PC 平分ACF；ABC+APC180；若点 M、N 分别为点 P 在

21、 BE、BF 上的正投影，则 AM+CNAC；BAC2BPC 其中正确的是（）A只有 B只有 C只有 D只有 二填空题（共 6 小题）13如图，ABCDEF，请根据图中提供的信息，写出 x 14 在三角形 ABC 中，AD，CE 为高，两条高所在的直线相交于 H 点，若 CHAB，求ACB的大小为 或 15如图，ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60其三条角平分线交于点 O，则 SABO：SBCO：SCAO 16如图所示，ABDB，ABDCBE，请你添加一个适当的条件 ，使ABCDBE（只需添加一个即可）17 如图，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB于点 D，DEA

22、C 交于点 E，DFBC 于点 F，且 BC4，DE2，则BCD 的面积是 18如图 EB 交 AC 于 M，交 FC 于 D，AB交 FC 于 N，EF90，BC，AEAF给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CDDN其中正确的结论有 （填序号）三解答题 19如图，已知 ABAC，延长 AC 到 E，并作直线 DE，使其与 BC，AB 分别交于点 G，D （1）若 CEBD，求证：GEGD；（2）若 CEm BD（m 为正数），试猜想 GE 与 GD 有何关系（只写结论，不证明）20（1）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90，E、F 分别是边 BC、CD上的点，且EAFBA

23、D 求证：EFBE+FD；（2）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且EAFBAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+ADC180，E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点，且EAFBAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 21如图，已知 ABCD，BC，AC 和 BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，连接 OE（1）求证：AOBDOC；（2）求AEO 的度数 22（1）如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE90

24、当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转 角（0 90），如图 2，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）当ABC 和ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由 甲：AB：ACAD：AE1，BACDAE90；乙：AB：ACAD：AE1，BACDAE90；丙：AB：ACAD：AE1，BACDAE90 23如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE 拼在一起（图 1）ABD 不动，（1）若将ACE 绕点 A逆

25、时针旋转，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 2），证明：MBMC（2）若将图 1 中的 CE 向上平移，CAE 不变，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 3），判断并直接写出 MB、MC 的数量关系（3）在（2）中，若CAE 的大小改变（图 4），其他条件不变，则（2）中的 MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由 参考答案 一选择题 1解：添加 A选项中条件可用 ASA判定两个三角形全等；添加 B 选项中条件无法判定两个三角形全等；添加 C 选项中条件可用 ASA判定两个三角形全等；添加 D 选项以后是 ASA证明三角形全等 故选：B 2解：正确可以用

26、 AAS或者 ASA判定两个三角形全等；正确可以用“倍长中线法”，用 SAS 定理，判断两个三角形全等；如图，分别延长 AD，A D 到 E，E，使得 ADDE，A D D E，ADCEDB，BEAC，同理：B E A C，BEB E，AEA E，ABEA B E，BAEB A E，EE，CADC A D，BACB A C，BACB A C 不正确因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了 故选：A 3解：PRPS，PRAB 于 R，PSAC 于 S，APAP ARPASP（HL）ASAR，RAPSAP A

27、QPQ QPASAP RAPQPA QPAR 而在BPR 和QSP 中，只满足BRPQSP90 和 PRPS，找不到第 3 个条件，所以无法得出BPRQSP 故本题仅和正确 故选：B 4解：A、ABDE，BCEF，BE 可以利用 SAS 判定两个三角形全等，故此选项错误；B、ABDE，BCEF，CAFD，可以利用 SSS 判定两个三角形全等，故此选项错误；C、AD，BE，CAFD 可以利用 AAS判定两个三角形全等，故此选项错误；D、ABDE，AD，BCEF，不能判定两个三角形全等，故此选项正确 故选：D 5解：ABBC，OAOC，OBOB，AOBCOB，OABOCB（3609036）2117

28、 故选：B 6解：AEAB且 AEAB，EFFH，BGFHEABEFABGA90，EAF+BAG90，ABG+BAG90 EAFABG，AEAB，EFAAGB，EAFABGEFAABG AFBG，AGEF 同理证得BGCDHC 得 GCDH，CHBG 故 FHFA+AG+GC+CH3+6+4+316 故 S（6+4）163 46 350 故选：A 7解：由题意可得，AD 平分BAC，CAED90 DEDC 又B30 DEBD 又 BC12 则 3DE12 DE4 故选：B 8解：由题意得：ABED，BCDC，DB90，ABCEDC（SAS），BAC1，1+2180 故选：B 9解：ADBC，C

29、EAB，ADBAEH90，AHECHD，BADBCE，在HEA 和BEC 中，HEABEC（AAS），AEEC4，则 CHECEHAEEH431 故选：C 10解：ACB90，ECCB，又 BE 平分ABC，DEAB，CEDE，AE+DEAE+CEAC3cm 故选：B 11解：作 DMDE 交 AC 于 M，作 DNAC 于点 N，DEDG，DMDG，AD 是ABC 的角平分线，DFAB，DFDN，在 RtDEF 和 RtDMN 中，RtDEFRtDMN（HL），ADG 和AED 的面积分别为 50 和 39，SMDGSADGSADM503911，SDNMSEDFSMDG 115.5 故选：B

30、 12解：如图，过点 P 作 PMAB，PNBC，PDAC，垂足分别为 M、N、D，PB 平分ABC，PA 平分EAC，PMPN，PMPD，PMPNPD，点 P 在ACF 的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；PMAB，PNBC，ABC+90+MPN+90 360，ABC+MPN180，很明显MPN APC，ABC+APC180 错误，故本小题错误；在 RtAPM 与 RtAPD 中，RtAPMRtAPD（HL），ADAM，同理可得 RtCPDRtCPN，CDCN，AM+CNAD+CDAC，故本小题正确；PB 平分ABC，PC 平分ACF，ACFABC+BAC，P

31、CNACFBPC+ABC，BAC2BPC，故本小题正确 综上所述，正确 故选：B 二填空题（共 6 小题）13解：如图，A180 50 60 70，ABCDEF，EFBC20，即 x20 故答案为：20 14解：AD，CE 为高，ADBCEB90，BAD+B90，DCH+B90，DCHDAB，在ABD 和CHD 中，ABDCHD（AAS），ADCD，AD 是高，ACD 是等腰直角三角形，ACD45，如图 1，ABC 是锐角三角形时，ACBACD45，如图 2，ABC 是钝角三角形时，ACB180 ACD180 45 135，所以，ACB 的大小为 45 或 135 故答案为：45 或 135

32、15解：过点 O 作 ODAB 于点 D，作 OEAC 于点 E，作 OFBC 于点 F，OA，OB，OC 是ABC 的三条角平分线，ODOEOF，ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60，SABO：SBCO：SCAO（AB OD）：（BC OF）：（AC OE）AB：BC：AC40：50：604：5：6 故答案为：4：5：6 16解：ABDCBE，ABD+ABECBE+ABE，即ABCDBE，ABDB，用“角边角”，需添加BDEBAC，用“边角边”，需添加 BEBC，用“角角边”，需添加ACBDEB 故答案为：BDEBAC 或 BEBC 或ACBDEB（写出一个即可）17

33、解：CD 平分ACB，DEAC，DFBC，DFDE2，SBCD BC DF 4 24 故答案为：4 18解：B+BAE90，C+CAF90，BC 12（正确）EF90，BC，AEAF ABEACF（ASA）ABAC，BECF（正确）CANBAM，BC，ABAC ACNABM（正确）CNBM（不正确）所以正确结论有 故填 三解答题（共 5 小题）19证明：（1）过 D 作 DFCE，交 BC 于 F，则EGDF ABAC，ACBABC DFCE，DFBACB，DFBACBABC DFDB CEBD，DFCE，在GDF 和GEC 中，GDFGEC（AAS）GEGD （2）猜想：GEm GD 证明：

34、同（1）可得，BDDF，EGDF，DGFEGC，GDFGEC，CEm BD，即 CEm BD 20证明：（1）延长 EB 到 G，使 BGDF，连接 AG ABGABCD90，ABAD，ABGADF AGAF，12 1+32+3EAFBAD GAEEAF 又AEAE，AEGAEF EGEF EGBE+BG EFBE+FD （2）（1）中的结论 EFBE+FD 仍然成立 （3）结论 EFBE+FD 不成立，应当是 EFBEFD 证明：在 BE 上截取 BG，使 BGDF，连接 AG B+ADC180，ADF+ADC180，BADF ABAD，ABGADF BAGDAF，AGAF BAG+EADD

35、AF+EAD EAFBAD GAEEAF AEAE，AEGAEF EGEF EGBEBG EFBEFD 21（1）证明：在AOB 和DOC 中 AOBDOC（AAS）（2）解：AOBDOC，AODO E 是 AD 的中点 OEAD AEO90 22解：（1）结论：BDCE，BDCE；结论：BDCE，BDCE1 分 理由如下：BACDAE90 BACDACDAEDAC，即BADCAE1 分 在ABD 与ACE 中，ABDACE（SAS）BDCE1 分 延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H 在ABF 与HCF 中，ABFHCF，AFBHFC CHFBAF90 BDCE3 分 （2）结论：

36、乙AB：ACAD：AE，BACDAE902 分 23证明：（1）如图 2，连接 AM，由已知得ABDACE，ADAE，ABAC，BADCAE，MDME，MADMAE，MADBADMAECAE，即BAMCAM，在ABM 和ACM 中，ABMACM（SAS），MBMC；（2）MBMC 理由如下：如图 3，延长 DB、AE相交于 E，延长 EC 交 AD 于 F，BDBE，CECF，M 是 ED 的中点，B 是 DE 的中点，MBAE，MBCCAE，同理：MCAD，BCMBAD，BADCAE，MBCBCM，MBMC；（3）MBMC 还成立 如图 4，延长 BM 交 CE 于 F，CEBD，MDBMEF，MBDMFE，又M 是 DE 的中点，MDME，在MDB 和MEF 中，MDBMEF（AAS），MBMF，ACE90，BCF90，MBMC