自考线性代数重点考点.pdf

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1、精品文档 精品文档 线性代数（经管类）考点逐个击破 第一章 行列式 （一）行列式的定义 行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1二阶行列式 由 4 个数)2,1,(jiaij得到下列式子：11122122aaaa称为一个二阶行列式，其运算规则为 2112221122211211aaaaaaaa 2三阶行列式 由 9 个数)3,2,1,(jiaij得到下列式子：333231232221131211aaaaaaaaa 称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归

2、法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3余子式及代数余子式 设有三阶行列式 3332312322211312113aaaaaaaaaD 对任何一个元素ija，我们划去它所在的第 i 行及第 j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ija的余子式，记成ijM 例如 3332232211aaaaM，3332131221aaaaM，2322131231aaaaM 再记 ijjiijMA)1(，称ijA为元素ija的代数余子式.例如 1111MA，2121MA，3131MA 那么，三阶行列式3D定义为 我们把它称为3D按第一列的展开式，经常3131212111113

3、332312322211312113AaAaAaaaaaaaaaaD精品文档 精品文档 简写成3111131113)1(iiiiiiiMaAaD 4n 阶行列式 一阶行列式 11111aaD n 阶行列式 1121211111212222111211nnnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaaD 其中(,1,2,)ijA i jnL为元素ija的代数余子式.5特殊行列式 上三角行列式111212221122000nnnnnnaaaaaa aaaLLLLLLLL 下三角行列式1122112212000nnnnnnaaaa aaaaaLLLLLLLL21 对角行列式 1122112200000

4、0nnnnaaa aaaLLLLLLLL（二）行列式的性质 性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即TDD 性质 2 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质 3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论 1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质 4 行列式可以按行（列）拆开.性质 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为 D.定理 1（行列式

5、展开定理）n 阶行列式nijaD 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即),2,1(2211niAaAaAaDininiiii 精品文档 精品文档 或),2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj 前一式称为 D 按第 i 行的展开式，后一式称为 D 按第 j 列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理 2 n 阶行列式nijaD 的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即)(02211kiAaAaAakninkiki 或)(02211sjAaAaAansnjsjsj（三）行列式的计算

6、行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（1），在按行或按列提取公因子 k 时，必须在新的行列式前面乘上 k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例 1 计算行列式 52072325121314124D 解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是112a，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.42 1

7、4 12 1 4 15 6 231 2 121 15 0 6 215 05 2 3 2105 03(2)17 2 50 2 57 0 2 55 31 231225 1100813757 37 5D 行行按第二列展开行行7列列按第二行展开 例 2 计算行列式 abbbbabbbbabbbbaD 4 解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0 值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为ba3（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子ba3，再将后三行都减去第一行：精品文档 精品文档 3

8、131(3)31311000(3)000000ab b bab b b bb b bb ab bab ab bab babb b abab b abb abb b b aab b b ab b abbbabababab 3)(3(baba 方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个 b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与4D 有相同值的五阶行列式：112 3 4 541101000010000100001000b b b bbbbbab b bab b babb ab bDb ab ba bb b abb b aba bb b b ab b b aab 行（），行 这样得到一个“箭形”

9、行列式，如果ba，则原行列式的值为零，故不妨假设ba，即0 ba，把后四列的ba 1倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化为零.4410000400001()(3)()00000000bbbbbababbababab abababab 例 3 三阶范德蒙德行列式)()(1112313122322213213xxxxxxxxxxxxV（四）克拉默法则 定理 1（克拉默法则）设含有 n 个方程的 n 元线性方程组为 11 11221121 1222221 122,nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb LLL L L L L L L L L LL 精品文档

10、 精品文档 如果其系数行列式0nijaD，则方程组必有唯一解：njDDxjj,2,1,其中jD是把 D 中第 j 列换成常数项nbbb,21后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组，则有 定理 2 设有含 n 个方程的 n 元齐次线性方程组 11 1122121 122221 1220,0,0nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x LLL L L L L L L L L LL 如果其系数行列式0D，则该方程组只有零解：021nxxx 换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有0D，在教材第二章中，将要证明，n 个方程的 n 元齐次线性方程组有非零解的充分

11、必要条件是系数行列式等于零.第二章 矩阵（一）矩阵的定义 1矩阵的概念 由nm个数),2,1;,2,1(njmiaij排成的一个 m 行 n 列的数表 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 称为一个 m 行 n 列矩阵或nm矩阵 当nm 时，称nnijaA为 n 阶矩阵或 n 阶方阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵，用nmO或 O 表示 23 个常用的特殊方阵：n 阶对角矩阵是指形如 nnaaaA0000002211的矩阵 n 阶单位方阵是指形如 100010001nE的矩阵 精品文档 精品文档 n 阶三角矩阵是指形如 nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa212221112

12、2211211000,000的矩阵 3矩阵与行列式的差异 矩阵仅是一个数表，而 n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“*”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算 1矩阵的同型与相等 设有矩阵nmijaA)(，kijbB)(，若km，n，则说 A 与 B 是同型矩阵.若 A 与 B 同型,且对应元素相等，即ijijba，则称矩阵 A 与 B 相等，记为BA 因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2矩阵的加、减法 设nmijaA)(，nmijbB)(是两个同型矩阵则规定 nmijijbaBA)(nm

13、ijijbaBA)(注意：只有 A 与 B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3数乘运算 设nmijaA)(，k 为任一个数，则规定nmijkakA)(故数 k 与矩阵A 的乘积就是 A 中所有元素都乘以 k，要注意数 k 与行列式 D 的乘积，只是用 k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4乘法运算 设kmijaA)(，nkijbB)(，则规定nmijcAB)(其中kjikjijiijbababac2211 ),2,1;,2,1(njmi 由此定义可知，只有当左矩阵

14、 A 的列数与右矩阵 B 的行数相等时，AB 才有意义，而且矩阵 AB 的行数为 A的行数，AB 的列数为 B 的列数，而矩阵 AB 中的元素是由左矩阵 A 中某一行元素与右矩阵 B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：不满足交换律，即BAAB 在0AB时，不能推出0A或0B，因而也不满足消去律.特别，若矩阵 A 与 B 满足BAAB，则称 A 与 B 可交换，此时 A 与 B 必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5方阵的乘幂与多项式方阵 设 A 为 n 阶方阵，则规定mAAAAL1 4 2 4 3m 个 精品文档 精品文档 特别E

15、A 0 又若1110()mmmmf xa xaxa xa L，则规定 1110()mmmmf Aa AaAa Aa E L 称)(Af为 A 的方阵多项式，它也是一个 n 阶方阵 6矩阵的转置 设 A 为一个nm矩阵，把 A 中行与列互换，得到一个mn矩阵，称为 A 的转置矩阵，记为TA，转置运算满足以下运算律：AAT)(，TTTBABA)(，TTkAkA)(，TTTABAB)(由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义 设 A 为一个 n 阶方阵，若 A 满足AAT，则称 A 为对称矩阵，若 A 满足AAT，则称 A 为反对称矩阵.7方阵的行列式 矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于 n

16、阶方阵，有方阵的行列式的概念.设)(ijaA 为一个 n 阶方阵，则由 A 中元素构成一个 n 阶行列式nija，称为方阵 A 的行列式，记为A 方阵的行列式具有下列性质：设 A，B 为 n 阶方阵，k 为数，则 AAT；AkkAn BAAB（三）方阵的逆矩阵 1可逆矩阵的概念与性质 设 A 为一个 n 阶方阵，若存在另一个 n 阶方阵 B，使满足EBAAB，则把 B 称为 A 的逆矩阵，且说 A为一个可逆矩阵，意指 A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把 A 的逆矩阵 B 记为1A，从而 A 与1A首先必可交换，且乘积为单位方阵 E.逆矩阵具有以下性质：设 A，B 为同阶可逆矩阵，0k为常数，则

17、 1A是可逆矩阵，且AA11)(；AB 是可逆矩阵，且111)(ABAB；kA 是可逆矩阵，且111)(AkkA TA是可逆矩阵，且TTAA)()(11 可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即 设 P 为可逆矩阵，则BAPBPA BABPAP 精品文档 精品文档 2伴随矩阵 设)(ijaA 为一个 n 阶方阵，ijA为 A 的行列式nijaA 中元素ija的代数余子式，则矩阵nnnnnnAAAAAAAAA212221212111称为 A 的伴随矩阵，记为*A（务必注意*A中元素排列的特点）伴随矩阵必满足 EAAAAA*1*nAA （n 为 A 的阶数）3n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法 定理：n

18、阶方阵 A 可逆0A，且*11AAA 推论：设 A，B 均为 n 阶方阵，且满足EAB，则 A，B 都可逆，且BA 1，AB 1 例 1 设dcbaA（1）求 A 的伴随矩阵*A（2）a，b，c，d 满足什么条件时，A 可逆？此时求1A 解：（1）对二阶方阵 A，求*A的口诀为“主交换，次变号”即acbdA*（2）由bcaddcbaA，故当0 bcad时，即0A，A 为可逆矩阵 此时acbdbcadAAA11*1（四）分块矩阵 1 分块矩阵的概念与运算 对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形

19、式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵 A 的列分块方式与右矩阵 B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时 A 的各子块分别左乘 B 的对应的子块.2准对角矩阵的逆矩阵 精品文档 精品文档 形如 rAAA21的分块矩阵称为准对角矩阵，其中rAAA,21均为方阵空白处都是零块.若rAAA,21都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且 11211121rrAAAAAA（五）矩阵的初等变换与初等方阵 1 初等变换 对一个矩阵 A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换 A

20、 的某两行（列）；（2）用一个非零数 k 乘 A 的某一行（列）；（3）把 A 中某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2初等方阵 由单位方阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为ijP，)(kDi和)(kTij，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方

21、阵.3初等变换与初等方阵的关系 设 A 为任一个矩阵，当在 A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型的初等行变换；在 A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对 A 作同类型的初等列变换.4矩阵的等价与等价标准形 若矩阵 A 经过若干次初等变换变为 B，则称 A 与 B 等价，记为BA 对任一个nm矩阵 A，必与分块矩阵OOOEr等价，称这个分块矩阵为 A 的等价标准形.即对任一个nm矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得 OOOEPAQr 5用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵 设 A 为任一个 n 阶可逆矩阵，构造nn2矩阵（A，E）然后 ),(),(1AEEA 注意：这里的

22、初等变换必须是初等行变换.精品文档 精品文档 例 2 求421412311A的逆矩阵 解：12211 321 131121332 211 3 1 0 0113100(,)21 4 0 1 00122101 24 0 0 10111011011101 0 04 210122100 1 041 20013110 0 131 1A E 行行行行行行行行行行行行 则 1132141241A 例3 求解矩阵方程 213411421412311X 解：令213411,421412311BA，则矩阵方程为BAX，这里 A 即为例 2 中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘1A，得 20520321341111

23、32141241BAX 也能用初等行变换法，不用求出1A，而直接求BA1),(201005201003001214213441211311),(1BAEBA 则 2052031BAX（六）矩阵的秩 1 秩的定义 精品文档 精品文档 设 A 为nm矩阵，把 A 中非零子式的最高阶数称为 A 的秩，记为秩)(A或)(Ar 零矩阵的秩为 0，因而 nmA,min)(0秩，对 n 阶方阵 A，若秩nA)(，称 A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2 秩的求法 由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵 A，只要用初等行变换把 A 化成阶梯形矩阵 T，则秩(A)=

24、秩(T)=T 中非零行的行数.3与满秩矩阵等价的条件 n 阶方阵 A 满秩A 可逆，即存在 B，使EBAAB A 非奇异，即0A A 的等价标准形为 E A 可以表示为有限个初等方阵的乘积 齐次线性方程组0AX只有零解 对任意非零列向量 b，非齐次线性方程组bAX 有唯一解 A 的行（列）向量组线性无关 A 的行（列）向量组为nR的一个基 任意 n 维行（列）向量均可以表示为 A 的行（列）向量组 的线性组合，且表示法唯一.A 的特征值均不为零 AAT为正定矩阵.（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211

25、1212111 可 以 表 示 成 矩 阵 形 式bAX，其 中nmijaA)(为 系 数 矩 阵，Tmbbbb),(21为 常 数 列 矩 阵，TnxxxX),(21为未知元列矩阵.从而线性方程组bAX 与增广矩阵),(bAA 一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章 向量空间 （一）n 维向量的定义与向量组的线性组合 1 n 维向量的定义与向量的线性运算 精品文档 精品文档 由 n 个数组成的一个有序数组称为一个 n 维向量，若用一行表示，称为 n 维行向量，即n1矩阵，若用一列表

26、示，称为 n 维列向量，即1n矩阵 与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2向量的线性组合 设m,21是一组 n 维向量，mkkk,21是一组常数，则称 mmkkk2211 为m,21的一个线性组合，常数mkkk,21称为组合系数.若一个向量可以表示成 mmkkk2211 则称是m,21的线性组合，或称可用m,21线性表出.3矩阵的行、列向量组 设 A 为一个nm矩阵，若把 A 按列分块，可得一个 m 维列向量组称之为 A 的列向量组.若把 A 按行分块，可得一个 n 维行向量组称之为 A 的行向量组.4线性表示的判断及表出系数的求法.向量能用m,21线性表出的充要条件是线性方程组mm

27、xxx2211有解，且每一个解就是一个组合系数.例 1 问T)5,1,1(能否表示成T)3,2,1(1，T)4,1,0(2，T)6,3,2(3的线性组合？解：设线性方程组为 332211xxx 对方程组的增广矩阵作初等行变换：110020101001564313121201),(),(321A 则方程组有唯一解1,2,1321xxx 所以可以唯一地表示成321,的线性组合，且3212（二）向量组的线性相关与线性无关 1 线性相关性概念 设m,21是 m 个 n 维向量，如果存在 m 个不全为零的数mkkk,21，使得 02211mmkkk，则称向量组m,21线性相关，称mkkk,21为相关系数

28、.否则，称向量m,21线性无关.精品文档 精品文档 由定义可知，m,21线性无关就是指向量等式02211mmkkk当且仅当021mkkk时成立.特别 单个向量线性相关0；单个向量线性无关0 2求相关系数的方法 设m,21为 m 个 n 维列向量，则m,21线性相关m 元齐次线性方程组02211mmxxx有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数矩阵),(21mA的秩小于 m 例2 设向量组123(2,1,7),(1,4,11),(3,6,3)TTT，试讨论其线性相关性.解：考虑方程组0332211xxx 其系数矩阵 0001102013117641312),(321A 于是，秩32)(A，所以向

29、量组线性相关，与方程组同解的方程组为 0023231xxxx 令13x，得一个非零解为1,1,2321xxx 则02321 3线性相关性的若干基本定理 定理 1 n 维向量组m,21线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.即m,21线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理 2 如果向量组m,21线性无关，又m,21线性相关，则可以用m,21线性表出，且表示法是唯一的.定理 3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理 4 无关组的接长向量组必无关.（三）向量组的极大无关组和向量组的秩 1向量组等价的概念 若向量组 S 可以由向量组 R 线性

30、表出，向量组 R 也可以由向量组 S 线性表出，则称这两个向量组等价.2向量组的极大无关组 设 T 为一个向量组，若存在 T 的一个部分组 S，它是线性无关的，且 T 中任一个向量都能由 S 线性表示，则称部分向量组 S 为 T 的一个极大无关组.显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.精品文档 精品文档 对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：定理 1 向量组 T 与它的任一个极大无关组等价，因而 T 的任意两个极大无关组等价.定理 2 向量组 T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.3向量组的秩与矩阵的秩的关系 把向量组 T 的任意一个极大无关组中的所

31、含向量的个数称为向量组 T 的秩.把矩阵 A 的行向量组的秩，称为 A 的行秩，把 A 的列向量组的秩称为 A 的列秩.定理：对任一个矩阵 A，A 的列秩=A 的行秩=秩（A）此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵 A，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.例 3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：)3,4,4,2(),3,4,1,2(),6,6,1,1(),9,2,2,1(),7,2,1,1(54321 解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个54矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵BATTTTT10000011000

32、10100000133697446224112122111,54321 易见 B 的秩为 4，A的秩为 4，从而秩4,54321，而且 B中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地5321,为向量组的一个极大无关组，而且324（四）向量空间 1 向量空间及其子空间的定义 定义 1 n 维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实 n 维向量空间，记作nR 定义 2 设 V 是 n 维向量构成的非空集合，若 V 对于向量的线性运算封闭，则称集合 V 是nR的子空间，也称为向量空间.2 向量空间的基与维数 设 V 为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间 V

33、 的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n 维向量空间nR的维数为 n，且nR中任意 n 个线性无关的向量都是nR的一个基.3 向量在某个基下的坐标 设r,21是向量空间 V 的一个基，则 V 中任一个向量都可以用r,21唯一地线性表出，由r 个表出系数组成的 r 维列向量称为向量在此基下的坐标.第四章 线性方程组（一）线性方程组关于解的结论 定理 1 设bAX 为 n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是)(),(ArbAr 定理 2 当 n 元非齐次线性方程组bAX 有解时，即rArbAr)(),(时，那么 精品文档 精品文档（1）bAX 有唯一解nr；（2）bAX 有无穷多

34、解nr.定理 3 n 元齐次线性方程组0AX有非零解的充要条件是nrAr)(推论 1 设 A 为 n 阶方阵，则 n 元齐次线性方程组0AX有非零解0A 推论 2 设 A 为nm矩阵，且nm，则 n 元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间 首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组0AX的解的全体所组成的向量集合 0AV 显然 V 是非空的，因为 V 中有零向量，即零解，而且容易证明 V 对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是 V 成为 n 维列向量空间

35、nR的一个子空间，我们称 V 为方程组0AX的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解 把 n 元齐次线性方程组0AX的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当 n 元齐次线性方程组0AX有非零解时，即nrAr)(时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为rn 求基础解系与通解的方法是：对方程组0AX先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例 1 求002230322432143214321xxxxxxxxxxxx的通解 解：对系数矩阵 A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：122 12 31 03 41

36、 03 43 2121 1110 1451 1111 1110 000A行(-1)+2 行行(-1)+3 行3行(-1)+1 行1行(-1)+2 行 42)(Ar，有非零解，取43,xx为自由未知量，可得一般解为4433432431,54,43xxxxxxxxxx 精品文档 精品文档 写成向量形式，令13kx，24kx 为任意常数，则通解为 1054014321kkX 可见，1054,014321为方程组的一个基础解系.（四）非齐次线性方程组 1 非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系 设bAX 为一个 n 元非齐次线性方程组，0AX为它的导出组，则它们的解之间有以

37、下性质：性质 1 如果21,是bAX 的解，则21是0AX的解 性质 2 如果是bAX 的解，是0AX的解，则是bAX 的解 由这两个性质，可以得到bAX 的解的结构定理：定理 设 A 是nm矩阵，且rArbAr)(),(，则方程组bAX 的通解为 rnrnkkkX2211*其中*为bAX 的任一个解（称为特解）,rn,21为导出组0AX的一个基础解系.2求非齐次线性方程组的通解的方法 对非齐次线性方程组bAX，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例 2 当参数 a，b 为何值时，线性方程组1232)3(122043214324324321axxxxbxxaxx

38、xxxxxx 有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：精品文档 精品文档 2342411 11101 1 1100 12210 1221(,)01320 01 013211012311 01110 12210 01 010 001 0A bababaaaba 行行行-3行行行2行-1行 当1a时，4)(),(ArbAr，有唯一解；当1,1 ba时，3),(bAr，2)(Ar，无解；当1,1 ba时，2)(),(ArbAr，有无穷多解.此时，方程组的一般解为 44334324312211xxxxxxxxxx 令2413,kxkx为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为 10210121001121kkX