河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考数学试题.pdf

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1、第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 2|1 log A x N x k，集合A中至少有 3 个元素，则（）A 8 k B 8 k C 16 k D 16 k【答案】C【解析】试题分析：因为集合A中至少有 3 个元素，所以2log 4 k，所以42 16 k，故选 C 考点：1、集合的元素；2、对数的性质 2.复数21 2ii的共轭复数的虚部是（）A 35 B 35 C-1 D 1【答案】C 考点：复数的概念及运算 3.下列结论正确的是（）A 若直线l 平面，直线l 平面，则/B若直

2、线/l平面，直线/l平面，则/C若两直线1 2l l、与平面所成的角相等，则1 2/l l D 若直线l上两个不同的点A B、到平面的距离相等，则/l【答案】A【解析】试题分析：A中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线l 平面，直线l 平面，则/，正确；B 中，若直线/l平面，直线/l平面，则两平面可能相交或平行，故 B 错；C 中，若两直线1 2l l、与平面 所成的角相等，则1 2l l、可能相交、平行或异面，故 C 错；D中，若直线l上两个不同的点A B、到平面的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故 D错，故选 A 考点：空间直线与平面间的位置关系【思维点睛】解答此类试题

3、的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理 3 中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件 4.等比数列 na的前n项和为nS，已知2 5 32 a a a，且4a与72a的等差中项为54，则5S（）A 29 B 31 C 33 D 36【答案】B 考点：等比数列通项公式及求前n项和公式【一题多解】由2 5 32 a a a，得42 a 又4 7522a a，所以714a，所以12q，所以116 a，所以515(1)311a qSq，故选 B 5.已知实数,x y满足2 1 01 0 x yx y，

4、则2 2 x yzx 的取值范围为（）A 100,3 B 10,2,3 C 102,3 D 10,0,3【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，2 2 22x y yzx x 表示的几何意义为区域内的点到点(0,2)P 的斜率k加上 2 因为(3,2)A、(1,0)C，所以4,23AP CPk k，所以由图知43k 或2 k，所以1023k 或2 0 k，即103z 或0 z，故选 D 考点：简单的线性规划问题 6.若 0,0,lg lg lg a b a b a b，则a b 的最小值为（）A 8 B 6 C 4 D 2【答案】C 考点：1、对数的运算；2、基本不等

5、式 7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A 计算数列 12n前 5 项的和 B 计算数列 2 1n前 5 项的和 C 计算数列 2 1n前 6 项的和 D 计算数列 12n前 6 项的和【答案】D 考点：循环结构流程图【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法 8.ABC 中，“角,A B C成等差数列”是“sin 3 cos sin cos C A A B”的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C

6、充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由角,A B C成等差数列，得3B；由 sin(3 cos sin)cos C A A B，得 sin()A B(3 cos sin)cos A A B，化简得0)3sin(cos B A，所以2 A,或3 B，所以“角,A B C成等差数列”是“sin 3 cos sin cos C A A B”的充分不必要条件，故选 A 考点：1、充分条件与必要条件；2、两角和的正弦函数 9.已知a b，二次三项式22 0 ax x b 对于一切实数x恒成立，又0 x R，使20 02 0 ax x b 成立，则2 2a ba b的最小值为（）

7、A 1 B 2 C 2 D 2 2【答案】D【解析】试题分析：因为二次三项式22 0 ax x b 对于一切实数x恒成立，所以04 4 0aab；又ox R，使22 0o oax x b 成立，所以4 4 0 ab，故只有4 4 0 ab，即0,1 a a b ab，所以2 2a ba ba b 2aba b 22 2 a ba b，故选 D 考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题 10.已知等差数列,n na b的前n项和分别为,n nS T，若对于任意的自然数n，都有2 34 3nnS nT n，则 3 15 33 9 2 102a a ab b b b（）A 1941

8、 B 1737 C 715 D 2041【答案】A 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n项和公式 11.已知函数 21,g x a x x e ee 为自然对数的底数与 2ln h x x 的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A 211,2e B 21,2 e C 2212,2 ee D 22,e【答案】B【解析】试题分析：由 条件知，方程22ln a x x，即22ln a x x 在1,ee上有解设2()2ln f x x x，则2 2(1)(1)()2x xf x xx x 因为1x ee，所以()0 f x在1 x 有唯一的极值点 因为1()fe212e，2(

9、)2 f e e，()(1)1 f x f 极大值，又1()()f e fe，所以方程22ln a x x 在1,ee上有解等价于22 1 e a，所以a的取值范围为21,2 e，故选 B 考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质 12.如图，在OMN 中，,A B分别是,OM ON的中点，若,OP xOA yOB x y R，且点P落在四边形ABNM内（含边界），则12yx y 的取值范围是（）A 1 2,3 3 B 1 3,3 4 C 1 3,4 4 D 1 2,4 3【答案】C 考点：向量的几何意义 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在

10、答题纸上）13.若实数 0,1 a b、，且满足 114a b，则a b、的大小关系是 _【答案】a b【解析】试题分析：因为 0,1 a b、，且满足 114a b，所以 112a b，又 112a ba b，所以 112 2a b，即a b 考点：基本不等式 14.若1 10tan,tan 3 4 2，则2sin 2 2cos cos4 4 的值为 _【答案】0【解析】试题分析：由1 10tantan 3，得(tan 3)(3tan 1)0，所以tan 3 或1tan3 因为,4 2，所以tan 3，所以2sin 2 2cos cos4 4 2 2sin 2 cos 22 2 2(1 co

11、s 2)2 2 2sin 2 2 cos 22 2 2 22 2 2 22 2sin cos cos sin 222 sin cos sin cos 2 22 22 2 tan 1 tan 222 tan 1 tan 1 2 22 22 2 3 1 3 22 02 3 1 3 1 2 考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 _【答案】80 考点：空间几何体的三视图及体积【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单

12、几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据 16.已知函数 2lg,06 4,0 x xf xx x x，若 关于x的方程 21 0 f x bf x 有 8 个不同根，则实数b的取值范围是 _【答案】1724b【解析】试 题 分 析：函 数()f x的 图 像 如 图 所 示，因 为2 26 4(3)5 x x x，所 以 关 于x的 方 程 21 0 f x bf x 在(0,4上有 2 个根 令()t f x，则方程21 0 t bt 在(0,4上有 2 个不同的正解，所以20 424 0(4)16 1 0

13、(0)1 0bbf bf，解得1724b 考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0 的实根常将参数移到一边转化为值域问题当研究程)(x g 0 的实根个数问题，即方程)(x g 0 的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a 的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 12 分）已

14、知 2sin2f x x，集合|2,0 M x f x x，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列*,na n N（1）求数列 na的通项公式；（2）记211nnba，设数列 nb的前n项和为nT，求证：14nT【答案】（1）*2 1na n n N；（2）见解析（2）*2 211 12 1nnb n Nan 7 分 2 2 21 1 1 1 1 14 4 1 4 4 4 12 1nbn n n n n nn 10 分 11 1 1 1 1 1 1 1 114 2 2 3 1 4 4 1 4n nT b bn n n 14nT 12 分 考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求

15、数列的和 18.（本小题满分 12 分）已知向量23 sin,1,cos,cos4 4 4x x xm n，记 f x m n（1）若 1 f x，求cos3x 的值；（2）在锐角ABC 中，角,A B C的对边分别是,a b c，且满足 2 cos cos a c B b C，求 2 f A的取值范围【答案】（1）12；（2）3 1 3,2 2 所以3sin 12 6A，又因为 12 sin6 2f A A，故函数 2 f A的取值范围是3 1 3,2 2 12 分 考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角

16、与条件中角的关系，合理选择变 换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角B的值是关键，结合三角形形状得到函数(2)f A的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉2A，实在可惜 19.（本小题满分 12 分）如图所示，在直三棱柱1 1 1ABC A B C 中，平面1A BC 侧面1 1A B BA，且12 AA AB（1）求证：AB BC；（2）若直线AC与平面1A BC所成角的正弦值为12，求锐二面角1A AC B 的大小【答案】（1）见解析；（2）3 所以AD BC 4 分 因为三棱柱1 1 1ABC A B C 是直三棱柱，则 1AA 底面ABC，所以1A

17、A BC 又1AA AD A，从而BC 侧面1 1A ABB，又AB 侧面1 1A ABB，故AB BC 6 分 解法二（向量法）：由（1）知AB BC 且1BB 底面ABC，所以以点B为原点，以1BC BA BB、所在直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系B xyz，如图所示，且设BC a，则 考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直 的性质定理；3、二面角【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面

18、垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在 20.（本小题满分 12 分）已知函数 2 1 2ln f x a x x a R（1）若曲线 g x f x x 上点 1,g 1处的切线过点 0,2，求函数 g x的单调减区间；（2）若函数 y f x 在10,2 上无零点，求a的最小值【答案】（1）0,2；（2）2 4ln 2（2）因为 0 f x 在区间10,2 上恒成立不可能，故要使函数 f x在10,2 上无零点，只要对任意的 10,02x f x 恒成立，即对1 2ln0,22 1xx ax 恒成立 8 分 令 2ln 12,0,1 2xI x xx，则 2 22 21 2

19、ln 2ln 21 1x x xx xI xx x 10 分 再令 2 12ln 2,0,2m x x xx，则 2 22 12 20 xm xx x x，故 m x在10,2 上为减函数，于是 12 2ln 2 02m x m，从而，0 I x，于是 I x在10,2 上为增函数，所以 12 4ln 22I x I，故要使 2ln21xax 恒成立，只要 2 4ln 2,a，综上，若函数 f x在10,2 上无零点，则a的最小值为2 4ln 2 12 分 考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离

20、参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a 恒成立，只需()minf x a 即可；()f x a 恒成立，只需max()f x a 即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解 21.（本小题满分 12 分）已知,1 p x m q x a，二次函数 1 f x p q，关于x的不等式 22 1 1 f x m x m 的解集为,1,m m，其中m为非零常数，设 1f xg xx（1）求a的值；（2）若存在一条与y轴垂直的直线和函数 l

21、n x g x x x 的图象相切，且切点的横坐标0 x满足0 01 3 x x，求实数m的取值范围；（3）当实数k取何值时，函数 ln 1 x g x k x 存在极值？并求出相应的极值点【答案】（1）2 a；（2）12m；（3）若0 m 时，k R，函数 x 极小值点为2x；若0 m时，当2 k m 时，函数 x 极小值点为2x，极大值点为1x（其中212 42k k mx，222 42k k mx）（3）ln 1 1 ln 11mx g x k x x k xx 的定义域为 1,，22 22 1111 1x k x k mm kxxx x 方程 22 1 0 x k x k m（*）的判

22、别式 2 22 4 1 4 k k m k m 若0 m 时，0，方程（*）的两个实根为212 412k k mx，或222 412k k mx，则 21,x x 时，0 x；2,x x 时，0 x，函数 x 在 21,x上单调递减，在 2,x 上单调递增，考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系 请从下面所给的 22,23,24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 已知四边形ABCD为圆O的内接四边形，且BC CD，其对角线AC与BD相交于点M，过点B作圆O的切线交DC的延长线

23、于点P（1）求证：AB MD AD BM；（2）若CP MD CB BM，求证：AB BC【答案】（1）见解析；（2）见解析 考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理 23.本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为2222x m ty t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 2 2 2cos 3 sin 12，且曲线C的左焦点F在直线l上（1）若直线l与曲线C交于,A B两点，求FA FB的值；（2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值【答案】（1）2；（2）16【解析】试题分析：（1）求出曲线C的普

24、通方程和焦点坐标，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义，即可得到结果；（2）用椭圆参数方程设矩形的四点，面积用三角函数表示，再利用三角函数的有界性求解 试题解析：（1）已知曲线 C的标准方程为2 2112 4x y，则其左焦点为 2 2,0 则 2 2 m，将直线l的参数方程22 2222x ty t 与曲线2 2:112 4x yC 联立，得22 2 0 t t，则1 22 FA FB t t 5 分（2）由曲线C的方程为2 2112 4x y，可设曲线C上的定点 2 3 cos,2sin P，则以P为顶点的内接矩形周长为 4 2 3 cos 2sin 16sin 03 2，因此该内接矩形周长的最大值为 16 10 分 考点：24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知0 x R 使不等式1 2 x x t 成立（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）若1,1 m n，对t T，不等式2 3log log m n t 恒成立，求m n 的最小值【答案】（1）|1 T t t；（2）6 考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式