精编版南京大学《高等代数》期末考试题及答案.pdf

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1、 南京大学高等代数2013 年期末考试题及答案 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 南京大学 高等代数 2013 年期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1、线性空间 P x的两个子空间的交 11LxLx 2、设12,.,n与12,.,n 是 n 维线性空间 V 的两个基，由12,.,n到12,.,n 的过渡矩阵是C，列向量X 是 V 中向量在基12,.,n下的坐标，则在基12,.,n 下 的坐标是 3、设 A、B 是 n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则 A 与 B 的关系是 4、设 3 阶方阵 A 的

2、3 个行列式因子分别为：21,1,则其特征矩阵EA的标准形是 5、线性方程组AXB的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1、（）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新

3、好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。2、（）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B）的核是 V 的充要条件是是满射；（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D）的值域是 V 的充要条件是是满射。3、（）矩阵 A可逆的充要条件是：0;A AB A是一个非零常数；C A是满秩的；D A是方阵。4、（）设实二次型fXAX（A 为对称阵）经正交变换后化为：2

4、221122.nnyyy，则其中的12,.n是：1;AB全是正数；C是 A 的所有特征值；D不确定。5、（）设 3 阶实对称矩阵 A 有三重特征根“2”，则 A 的若当 标准形是：200200200020;120;120;002002012ABC D以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题 2 分，共 10 分）是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的

5、线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（请在你认为对的小题对应的括号内打“”，否则打“”）1、（）设 V1，V2均是 n 维线性空间 V 的子空间，且 120VV 则12VVV。2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。3、（）同阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是EA与EB 等价。4、（）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、解答题（每小题 10 分，共 30 分）1、在线性空间4P中，定义线性变换：4,a b c da b ac bda

6、 b c dP（1）求该线性变换在自然基：121,0,0,0,0,1,0,0 340,0,1,0,0,0,0,1下的矩阵A；（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2、（1）求线性空间 3P x中从基 2:1,1,1I

7、xx到基 2:1,1,1IIxx的过渡矩阵；（2）求线性空间 3P x中向量 21 23f xxx 在基 2:1,1,1Ixx下的坐标。是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 3、在 R2中，1212,a ab b，规定二元函数：1 11 22 12 2,4

8、a ba ba ba b（1）证明：这是 R2的一个内积。（2）求 R2的一个标准正交基。是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 五、证明题（每小题 10 分，共 30 分）1、设 P3的两个子空间分别为：11231232123123,0,0Wx x xxx

9、xWx x xxxx 证明：（1）312PWW；（2）12WW不是直和。是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2、设是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，证明12,.,rWL 是的不变子空间的兖要条件是1,2,.,iWir 3、已知AE是 n 级正定矩阵

10、，证明：（1）A 是正定矩阵；（2）23nAE 是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 参考答案 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1、线性空间 P x的两个子空间的交 11LxLx 0 2、设12,.,n与12,.,n 是 n 维线性空间 V 的两

11、个基，由12,.,n到12,.,n 的过渡矩阵是C，列向量X 是 V 中向量在基12,.,n下的坐标，则在基12,.,n 下 的坐标是1CX 3、设 A、B 是 n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则 A 与 B 的关系是 相似关系 4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式因子分别为：21,1,则其特征矩阵EA的标准形是 10000001 5、线性方程组AXB的最小二乘解所满足的线性方程组是：AAXAB 二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）2、（A）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的

12、某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。2、（D）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A）的

13、核是零子空间的充要条件是是满射；（B）的核是 V 的充要条件是是满射；（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D）的值域是 V 的充要条件是是满射。3、（B）矩阵 A可逆的充要条件是：0;A AB A是一个非零常数；C A是满秩的；D A是方阵。4、（C）设实二次型fXAX（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122.nnyyy，则其中的12,.n是：1;AB全是正数；C是 A 的所有特征值；D不确定。5、（A）设 3 阶实对称矩阵 A 有三重特征根“2”，则 A 的若当 标准形是：200200200020;120;120;002002012ABC D以上各情形皆有可能。是下的坐标则在

14、基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 三、是非题（每小题 2 分，共 10 分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“”，否则打“”）1、（）设 V1，V2均是 n 维线性空间 V 的子空间，且 120VV 则12VVV。2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作

15、成的基下 的矩阵是一对角矩阵。3、（）同阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是EA与EB 等价。4、（）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、解答题（每小题 10 分，共 30 分）1、在线性空间4P中，定义线性变换：4,a b c da b ac bda b c dP（1）求该线性变换在自然基：121,0,0,0,0,1,0,0 340,0,1,0,0,0,0,1下的矩阵A；（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作

16、为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 解：（1）线性变换在自然基下的矩阵是1000010010100101A（5分）（2）因为 41EA 所以矩阵 A 的所有特征值是12341 解齐次线性方程组 0EA X 得矩阵 A 的所有特征向量：120,0,1,00,0,0,1kk，其中12,k k不全为零。（5 分）2、（1）求线性空间 3P x中从基 2:1,1,1Ixx到基

17、2:1,1,1IIxx的过渡矩阵；（2）求线性空间 3P x中向量 21 23f xxx 在基 2:1,1,1Ixx下的坐标。解：（1）因为 221111,1,11,012001xxx x 221111,1,11,012001xxx x 所以 是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料

18、-如有侵权请联系网站删除 1221111111,1,11,1,1012012001001xxxx 21111111,1,1012012001001xx 即所求的过渡矩阵为124014001 （5 分）（2）因为 221111,1,1,1012001x xxx 故 2211 231,23f xxxx x 2211111,1,10122241310013xxxx 21241,1,1014001xx是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好

19、数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 所以 f x在基 2:1,1,1Ixx下的坐标是：243 （5 分）3、在 R2中，1212,a ab b，规定二元函数：1 11 22 12 2,4a ba ba ba b（3）证明：这是 R2的一个内积。（4）求 R2的一个标准正交基。（1）证明：1 11 22 12 2,4a ba ba ba b 112211,14ba ab 因为1114是正定矩阵，所以这个二元函数是 R2的一个内积。（5 分）（2）解：考察自

20、然基 121,0,0,1 它的度量矩阵正是1114 令：111,0,212122121211111,11,1,1 再令：1112212111,1,13 是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 则12,是 R2的一个标准正交基。（5 分）（2）解法二：考察自然

21、基 121,0,0,1 它的度量矩阵正是1114 2212121310111010101014 01031101131313rrrccc 令：1212113,013即：112131,1 则12,的度量矩阵是 E，从而是 R2的一个标准正交基。五、证明题（每小题 10 分，共 30 分）2、设 P3的两个子空间分别为：11231232123123,0,0Wx x xxxxWx x xxxx 证明：（1）312PWW；（2）12WW不是直和。证明：（1）W1的一个基是：121,1,0,1,0,1 W2的一个基是：121,1,0,1,0,1 因为121212,WWL 其中121,是12WW的生成元的

22、一个极大无关组 从而是12WW的一个基，是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 所以31212dim3WWPWW （5 分）（2）因1212dim2,dim2,dim3WWWW 即121dimdimdimWWWW 所以12WW不是直和。（5 分）（2）之证法

23、二：因为 120,1,10WWL 所以12WW不是直和。2、设是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，证明12,.,rWL 是的不变子空间的兖要条件是1,2,.,iWir 证明：（充分性）设有1,2,.,iWir 1122.rrkkkW 1122.rrkkkW 12,.,rWL是 。（5 分）（必要性）设12,.,rWL是 ，由,1,2,.,1,2,.,iiWirWir （5 分）3、已知AE是 n 级正定矩阵，证明：（1）A 是正定矩阵；（2）23nAE 证明：（1）设 A 的特征值为12,.,n 因为AE是正定矩阵，是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下

24、的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 故其特征值10,1,2,.,iin 于是 A 的特征值1,1,2,.,iin 所以 A 是正定矩阵。（5 分）（2）因为 A 的特征值1,1,2,.,iin 所以 A+2E 的特征值23,1,2,.,iin 1223nniiAE （5 分）是下的坐标则在基中向量在基的坐标是下设是维线性空间的某一线性变换在不同基下的矩阵则与的关系是设阶方阵的题分共分复数域作为实数域上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构数域上所有二对角矩阵作成的线性空间精品好数域上所有二级反对称矩阵作成的线性空间复数域作为复数域上的线性空间设是非零线性空间的线性变换则下列命题