精选全国统一高考数学试卷理科全国卷ⅰ.pdf
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1、2009 年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)1(5 分)设集合 A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9,全集 U=AB,则集合?U(AB)中的元素共有()A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 2(5 分)已知=2+i,则复数 z=()A1+3i B13i C3+i D3i 3(5 分)不等式1 的解集为()Ax|0 x1x|x1 Bx|0 x1 Cx|1x0 Dx|x0 4(5 分)已知双曲线=1(a0,b0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的离心率为()A B2 C D 5(5 分)甲组有 5 名男同学,
2、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有()A150 种 B180 种 C300 种 D345 种 6(5 分)设、是单位向量,且,则?的最小值为()A2 B2 C1 D1 7(5 分)已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面 ABC上的射影 D 为 BC的中点,则异面直线 AB与 CC1所成的角的余弦值为()A B C D 8(5 分)如果函数 y=3cos(2x+)的图象关于点(,0)中心对称,那么|的最小值为()A B C D 9(5 分)已知直线 y=x+1 与曲线
3、y=ln(x+a)相切,则 a 的值为()A1 B2 C1 D2 10(5 分)已知二面角 l 为 60,动点 P、Q 分别在面 、内,P 到 的距离为,Q 到 的距离为,则 P、Q 两点之间距离的最小值为()A1 B2 C D4 11(5 分)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x1)都是奇函数,则()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数 Cf(x)=f(x+2)Df(x+3)是奇函数 12(5 分)已知椭圆 C:+y2=1 的右焦点为 F,右准线为 l,点 Al,线段 AF交 C于点 B,若=3,则|=()A B2 C D3 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满
4、分 20 分)13(5 分)(xy)10的展开式中,x7y3的系数与 x3y7的系数之和等于 14(5 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 S9=81,则 a2+a5+a8=15(5 分)直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若 AB=AC=AA1=2,BAC=120,则此球的表面积等于 16(5 分)若,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)17(10 分)在ABC中,内角 A、B、C的对边长分别为 a、b、c,已知 a2c2=2b,且 sinAcosC=3cosAsinC,求 b 18(12 分)如图,四棱锥 SA
5、BCD中,底面 ABCD为矩形,SD底面 ABCD,AD=,DC=SD=2,点 M 在侧棱 SC上,ABM=60(I)证明:M 是侧棱 SC的中点;()求二面角 SAMB的大小 19(12 分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;同学乙组有名男同学名女同学若从甲乙两组中各选出名同学则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有种种种种分设角的余弦值为分如果函数的图象关于点中心对称那么的最小值为分已知直线与曲线相
6、切则的值为分已知二面角为动点函数是奇函数分已知椭圆的右焦点为右准线为点线段交于点若则二填空题共小题每小题分满分分分的展开式中的系数()设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 的分布列及数学期望 20(12 分)在数列an中,a1=1,an+1=(1+)an+(1)设 bn=,求数列bn的通项公式;(2)求数列an的前 n 项和 Sn 21(12 分)如图,已知抛物线 E:y2=x与圆 M:(x4)2+y2=r2(r0)相交于A、B、C、D 四个点()求 r 的取值范围;()当四边形 ABCD的面积最大时,求对角线 AC、BD的交点 P 的坐标 22(12 分)设函数 f(x)=x3
7、+3bx2+3cx 在两个极值点 x1、x2,且 x1 1,0,x2 1,2 (1)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;(2)证明:2009 年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷)参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)1(5 分)(2009?全国卷)设集合 A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9,全集 U=AB,则集合?U(AB)中的元素共有()A3 个 B4 个 C5 个 D6 个【分析】根据交集含义取 A、B的公共元素写出 AB,再根据补集的含义求解【解答】解:AB=3,4,5,7,8,9,
8、AB=4,7,9?U(AB)=3,5,8故选 A 也可用摩根律:?U(AB)=(?UA)(?UB)故选 A 2(5 分)(2009?全国卷)已知=2+i,则复数 z=()A1+3i B13i C3+i D3i【分析】化简复数直接求解,利用共轭复数可求 z 同学乙组有名男同学名女同学若从甲乙两组中各选出名同学则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有种种种种分设角的余弦值为分如果函数的图象关于点中心对称那么的最小值为分已知直线与曲线相切则的值为分已知二面角为动点函数是奇函数分已知椭圆的右焦点为右准线为点线段交于点若则二填空题共小题每小题分满分分分的展开式中的系数【解答】解:,故选 B 3(5 分)(
9、2009?全国卷)不等式1 的解集为()Ax|0 x1x|x1 Bx|0 x1 Cx|1x0 Dx|x0【分析】本题为绝对值不等式,去绝对值是关键,可利用绝对值意义去绝对值,也可两边平方去绝对值【解答】解:1,|x+1|x1|,x2+2x+1x22x+1 x0 不等式的解集为x|x0 故选 D 4(5 分)(2009?全国卷)已知双曲线=1(a0,b0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的离心率为()A B2 C D【分析】先求出渐近线方程,代入抛物线方程,根据判别式等于 0,找到 a 和 b的关系,从而推断出 a 和 c 的关系,答案可得【解答】解:由题双曲线的一条渐近线方程为
10、,代入抛物线方程整理得 ax2bx+a=0,因渐近线与抛物线相切,所以 b24a2=0,即,故选择 C 5(5 分)(2009?全国卷)甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有()A150 种 B180 种 C300 种 D345 种 同学乙组有名男同学名女同学若从甲乙两组中各选出名同学则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有种种种种分设角的余弦值为分如果函数的图象关于点中心对称那么的最小值为分已知直线与曲线相切则的值为分已知二面角为动点函数是奇函数分已知椭圆的右焦点为右准线为点线
11、段交于点若则二填空题共小题每小题分满分分分的展开式中的系数【分析】选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法,1 名女同学来自甲组和乙组两类型【解答】解:分两类(1)甲组中选出一名女生有 C51?C31?C62=225 种选法;(2)乙组中选出一名女生有 C52?C61?C21=120 种选法故共有 345 种选法 故选 D 6(5 分)(2009?全国卷)设、是单位向量,且,则?的最小值为()A2 B2 C1 D1【分析】由题意可得=,故要求的式子即()?+=1 cos=1cos,再由余弦函数的值域求出它的最小值【解答】解:、是单位向量,=?=()?+=0()?+1=1 cos=1cos
12、故选项为 D 7(5 分)(2009?全国卷)已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面 ABC上的射影 D 为 BC的中点,则异面直线 AB与 CC1所成的角的余弦值为()A B C D【分析】首先找到异面直线 AB与 CC1所成的角(如A1AB);而欲求其余弦值可考虑余弦定理,则只要表示出 A1B的长度即可;不妨设三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长为 1,利用勾股定理即可求之【解答】解:设 BC的中点为 D,连接 A1D、AD、A1B,易知=A1AB即为异面直线 AB与 CC1所成的角;并设三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长为 1,则|AD|=,|
13、A1D|=,同学乙组有名男同学名女同学若从甲乙两组中各选出名同学则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有种种种种分设角的余弦值为分如果函数的图象关于点中心对称那么的最小值为分已知直线与曲线相切则的值为分已知二面角为动点函数是奇函数分已知椭圆的右焦点为右准线为点线段交于点若则二填空题共小题每小题分满分分分的展开式中的系数|A1B|=,由余弦定理,得 cos=故选 D 8(5 分)(2009?全国卷)如果函数 y=3cos(2x+)的图象关于点(,0)中心对称,那么|的最小值为()A B C D【分析】先根据函数 y=3cos(2x+)的图象关于点中心对称,令 x=代入函数使其等于 0,求出 的值,
14、进而可得|的最小值【解答】解:函数 y=3cos(2x+)的图象关于点中心对称 由此易得 故选 A 9(5 分)(2009?全国卷)已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为()A1 B2 C1 D2【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程;又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程【解答】解:设切点 P(x0,y0),则 y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又 x0+a=1 y0=0,x0=1 a=2 故选项为 B 10(5 分)(2009?全国卷)已知二面角 l为 60,动点 P、Q 分别在面、内,P 到 的距离为,Q 到 的距离为,则 P、Q 两
15、点之间距离的最小值为()A1 B2 C D4 同学乙组有名男同学名女同学若从甲乙两组中各选出名同学则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有种种种种分设角的余弦值为分如果函数的图象关于点中心对称那么的最小值为分已知直线与曲线相切则的值为分已知二面角为动点函数是奇函数分已知椭圆的右焦点为右准线为点线段交于点若则二填空题共小题每小题分满分分分的展开式中的系数【分析】分别作 QA于 A,ACl 于 C,PB于 B,PDl 于 D,连 CQ,BD则ACQ=PBD=60,在三角形 APQ中将 PQ 表示出来,再研究其最值即可【解答】解:如图 分别作 QA于 A,ACl 于 C,PB 于 B,PDl 于 D,
16、连 CQ,BD则ACQ=PDB=60,AC=PD=2 又 当且仅当 AP=0,即点 A与点 P 重合时取最小值 故答案选 C 11(5 分)(2009?全国卷)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x1)都是奇函数,则()Af(x)是偶函数 Bf(x)是奇函数 Cf(x)=f(x+2)Df(x+3)是奇函数【分析】首先由奇函数性质求 f(x)的周期,然后利用此周期推导选择项【解答】解:f(x+1)与 f(x1)都是奇函数,函数 f(x)关于点(1,0)及点(1,0)对称,f(x)+f(2x)=0,f(x)+f(2x)=0,故有 f(2x)=f(2x),函数 f(x)是周期 T=
17、2(2)=4 的周期函数 f(x1+4)=f(x1+4),f(x+3)=f(x+3),f(x+3)是奇函数 故选 D 12(5 分)(2009?全国卷)已知椭圆 C:+y2=1 的右焦点为 F,右准线为 l,点 Al,线段 AF交 C于点 B,若=3,则|=()A B2 C D3【分析】过点 B作 BMx 轴于 M,设右准线 l 与 x 轴的交点为 N,根据椭圆的性质可知 FN=1,进而根据,求出 BM,AN,进而可得|AF|同学乙组有名男同学名女同学若从甲乙两组中各选出名同学则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有种种种种分设角的余弦值为分如果函数的图象关于点中心对称那么的最小值为分已知直线与
18、曲线相切则的值为分已知二面角为动点函数是奇函数分已知椭圆的右焦点为右准线为点线段交于点若则二填空题共小题每小题分满分分分的展开式中的系数【解答】解:过点 B作 BMx 轴于 M,并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N,易知 FN=1 由题意,故 FM=,故 B点的横坐标为,纵坐标为 即 BM=,故 AN=1,故选 A 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)13(5 分)(2009?全国卷)(xy)10的展开式中,x7y3的系数与 x3y7的系数之和等于 240 【分析】首先要了解二项式定理:(a+b)n=Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+Cnranrbr+
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