2023年【全国Ⅲ卷】2019年高等学校招生全国统一考试文数试题.pdf

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1、 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知集合|1 0 1 2Ax，2|1B

2、x x，则 A B A1，0，1 B0，1 C1，1 D0，1，2 2 若(1i)2iz，则z A1i B1i C1i D1i 3 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A16 B14 C13 D12 4 西游记 三国演义 水浒传 和 红楼梦 是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记和红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A0.5 B0.6 C0.7 D

3、0.8 5 函数()2sinsin2f xxx在0,2 的零点个数 A2 B3 C4 D5 6 已知各项为正数的等比数列na的前 4 项和为 15，且53134aaa，则3a A16 B8 C4 D2 7已知曲线elnxyaxx在点(1e)a，处的切线方程为2yxb，则 Ae1ab，Be1ab，C-1e1ab，D-1e1ab，8 如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直

4、线 BM，EN 是异面直线 9执行右边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出 s 的值为 A4122 B5122 C6122 D7122 10已知 F 是双曲线 C：22145xy的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐 标 原 点 若|OPOF，则OPF 的面积为 A32 B52 C72 D92 11记不等式组62xyxy，0表示的平面区域为 D 命题 p：(,)29x yDxy，；命题 q：(,)212x yDxy，下面给出了四个命题 pq pq pq pq 这四个命题中，所有真命题的编号是 A B C D 12设()f x是定义域为 R 的偶函数，且在(0+)，单调递减，则 A233

5、231(log)(2)(2)4fff B233231(log)(2)(2)4fff C233231(2)(2)(log)4fff D233231(2)(2)(log)4fff 题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则若则两位男同学和两位女同学随机排成著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了位学生其中阅读过西游记和红楼梦的学生共有位阅读过红楼 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量，ab，(2,2)a，(8,6)b，则cos

6、，ab_.14记nS为等差数列na的前 n 项和，若35a，713a，则10S_ 15 设12FF，为椭圆 C：2213620 xy的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限 若MF1F2为等腰三角形，则 M 的坐标为_ 16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，6ABBCcm，14AA cm 3D打印所用的原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_ g 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或

7、演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据实验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P(C)的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中的 a，b

8、的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用改组区间的中点值为代表）18（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinsin2ACabA（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且1c，求ABC 面积的取值范围 19（12 分）图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB1，BEBF2，FBC60 将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的 A，C，D，G 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积

9、题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则若则两位男同学和两位女同学随机排成著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了位学生其中阅读过西游记和红楼梦的学生共有位阅读过红楼 20（12 分）已知32()22f xxax（1）讨论()f x的单调性；（2）当03a 时，记()f x在区间0,1的最大值为 M，最小值为 m，求Mm的取值范围 21（12 分）已知曲线 C：22xy，D为直线12y 上的动点，过D作 C 的两条切线，切点分别为 A，B （1）证明：直线

10、 AB过定点；（2）若以5(0,)2E为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线 M 由1M，2M，3M构成，若点 P 在 M 上，且|3OP，求 P 的极坐标 23

11、选修 45：不等式选讲（10 分）设xyzR，且1xyz （1）求222(1)(1)(1)xyz 的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza 成立，证明：3a-或1a 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 一、选择题 1A 2D 3D 4C 5B 6C 7D 8B 9C 10B 11A 12C 二、填空题 题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则若则两位男同学和两位女同学随机排成著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了位学生

12、其中阅读过西游记和红楼梦的学生共有位阅读过红楼 13210 14100 15(3,15)16118.8 三、解答题 17（12 分）由已知得0.700.200.15a，故 0.35a 10.050.150.700.10b （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.153 0.2040.3050.2060.1070.054.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3 0.0540.1050.1560.3570.2080.156.00 18（12 分）（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin2ACABA 因为sin0A，所以sinsin2ACB 由180ABC ，可得sincos2

13、2ACB，故cos2sincos222BBB 因为，故，因此60B （2）由题设及（1）知ABC 的面积34ABCSa 由正弦定理得sinsin(120)31sinsin2tan2cAcCaCCC 由于ABC 为锐角三角形，故090A ，090C 由（1）知120AC，所以3090C ，故122a，从而3382ABCS 因此，ABC 面积的取值范围是 19（12 分）（1）由已知 ADBE，CGBE，所以 ADCG，故 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，D，G 四点共面 由已知得 ABBE，ABBC，故 AB平面 BCGE 又因为AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 BCGE（2）取

14、CG 的中点 M，连结 EM，DM 因为 ABDE，AB平面 BCGE，所以 DE平面 BCGE，故 DECG 由已知，四边形 BCGE 是菱形，且EBC=60 得 EMCG，故 CG平面 DEM 因此 DM CG.在 RtDEM 中，DE=1，EM=3，故 DM=2 所以四边形 ACGD 的面积为 4.20（12 分）（1）2()622(3)fxxaxxxa 令()0fx，得0 x 或3ax 若0a，则当(,0)(,)3ax时，()0fx；当(0,)3ax时，()0fx 故()f x在(,0)，(,)3a单调递增，在(0,)3a单调递减；若0a，()f x在(,)单调递增；cos02B1si

15、n=22B33(,)82题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则若则两位男同学和两位女同学随机排成著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了位学生其中阅读过西游记和红楼梦的学生共有位阅读过红楼 若0a，则当(,)(0,)3ax时，()0fx；当(0)3ax，时，()0fx 故()f x在(,)3a，(0,)单调递增，在(,0)3a单调递减（2）满足题设条件的 a，b 存在 当03a 时，由（1）知，()f x在(0,)3a单调递减，在(,1)3a单调递增 所

16、以()f x在0,1的最小值为3()2327aaf，最大值为(0)2f或(1)4fa 于是 3227am ，402223.aaMa，所以332022723.27aaaMmaa ，当02a 时，可知3227aa 单调递减，所以Mm的取值范围是8(,2)27 当23a 时，327a单调递增，所以Mm的取值范围是8,1)27 综上，Mm的取值范围是8,2)27 21（12 分）（1）设1(,)2D t，11(,)A x y，则2112xy 由于yx，所以切线 DA 的斜率为1x，故11112yxxt 整理得112210txy 设22(,)B xy，同理可得222210txy 故直线 AB 的方程为2

17、210txy 所以直线 AB过定点1(0,)2（2）由（1）得直线 AB的方程为12ytx 由2122ytxxy，可得2210 xtx 于是122xxt，121x x ，21212()121yyt xxt，设 M 为线段 AB 的中点，则21(,)2M t t 由于EMAB，而2(,2)EMt t，与向量(1,)t平行，所以，解得0t 或1t 当0t 时，|2EM，所求圆的方程为225()42xy 当1t 时，|2EM，所求圆的方程为225()22xy 22（10 分）（1）由题设可得，弧AB，BC，CD所在圆的极坐标方程为 2cos，2sin，2cos AB2(2)0ttt题时选出每小题答案

18、后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则若则两位男同学和两位女同学随机排成著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了位学生其中阅读过西游记和红楼梦的学生共有位阅读过红楼 所以1M的极坐标方程为（04），2M的极坐标方程为2sin（44），3M极坐标方程为2cos（4）（2）设，由题设及（1）知 若，则2cos3，解得6；若44，则2sin3，解得3或3；若4，则2cos3，解得6 综上，P 的极坐标为(3,)6或(3,)3或(3,)3或(3,)6 23（10 分）（1）由于

19、2(1)(1)(1)xyz 222(1)(1)(1)2(1)(1)2(1)(1)2(1)(1)xyzxyxzyz 2223(1)(1)(1)xyz，故由已知得2224(1)(1)(1)3xyz，当且仅当511333xyz，时等号成立 所以222(1)(1)(1)xyz 的最小值为43（2）由于 2(2)(1)()xyza 222(2)(1)()2(2)(1)2(2)()2(1)()xyzaxyxzayza 2223(2)(1)()xyza，由已知得2222(2)(2)(1)()3axyza，当且仅当4122333aaaxyz，时等号成立 因此222(2)(1)()xyza 最小值为2(2)3a 由题设知2(2)133a，解得3a-或1a 2cos(,)P04 题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号回答小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则若则两位男同学和两位女同学随机排成著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况随机调查了位学生其中阅读过西游记和红楼梦的学生共有位阅读过红楼