2023年【全国Ⅰ卷】2019年高等学校招生全国统一考试文数试题.pdf

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1、 绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设3 i1 2iz，则z=A 2 B 3 C 2 D 1 2已知集合 1,2,3,4,5,6,7 2,3,4,5 2,3,6,

2、7 U A B，则 A 1,6 B 1,7 C 6,7 D 1,6,7 3已知0.2 0.32log 0.2,2,0.2 a b c，则 A B C D 4 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 12（5 12 0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 12若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A 165 cm B 175 cm C 185 cm D 190 cm a b c a c b c a b b c a

3、 5函数 f(x)=2sincosx xx x在-，的图像大致为 A B C D 6某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 A 8 号学生 B 200 号学生 C 616 号学生 D 815 号学生 7 tan255=A-2-3 B-2+3 C 2-3 D 2+3 8已知非零向量 a，b 满足a=2b，且（a-b）b，则 a 与 b 的夹角为 A6 B3 C23 D56 9如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入 A A=1

4、2 A B A=12A C A=11 2A D A=112A 10双曲线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b 的一条渐近线的倾斜角为 130，则 C 的离心率为 干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 知则古希腊时期人们认为最美人体的顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯 为顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为某学校为了解名新生的身体素质将这些学生编号为从这 A 2sin40 B 2cos40 C1sin50 D1cos50 11 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为

5、 a，b，c，已知 asinA-bsinB=4csinC，cosA=-14，则bc=A 6 B 5 C 4 D 3 12已知椭圆 C 的焦点为1 2(1,0),(1,0)F F，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点.若2 2|2|AF F B，1|AB BF，则 C 的方程为 A2212xy B2 213 2x y C2 214 3x y D2 215 4x y 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线2)3(exy x x 在点(0,0)处的切线方程为 _ 14记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和.若1 3314a S，则 S4=_ 15函数3()sin(

6、2)3cos2f x x x 的最小值为 _ 16已知 ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到 ACB 两边 AC，BC 的距离均为 3，那么P 到平面 ABC 的距离为 _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20（1）分别估计男

7、、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d P（K2 k）0.050 0.010 0.001 干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 知则古希腊时期人们认为最美人体的顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯 为顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为某学校为了解名新生的身体素质将这些学生编号为从这 k 3.841 6.635 10.828 18（12 分）记 S

8、n为等差数列 an 的前 n 项和，已知 S9=-a5（1）若 a3=4，求 an 的通项公式；（2）若 a10，求使得 Sn an的 n 的取值范围 19（12 分）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离 20（12 分）已知函数 f（x）=2sinx-xcosx-x，f（x）为 f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若 x 0，时，f（x）ax，求 a 的取值范围 21.（12 分）已知点

9、 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB=4，M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切（1）若 A 在直线 x+y=0 上，求 M 的半径；（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，MA-MP 为定值？并说明理由（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分）干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 知则古希腊时期人们认为最美人体的顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯 为顶至脖子下端的长度为则其

10、身高可能是函数在的图像大致为某学校为了解名新生的身体素质将这些学生编号为从这 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt，（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 23 选修 4 5：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）2 2 21 1 1a b ca b c；（2）3 3 3()()()24 a b b c c a 2019年普通高等学校招生全国统一考

11、试 文科数学参考答案 一、选择题 干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 知则古希腊时期人们认为最美人体的顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯 为顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为某学校为了解名新生的身体素质将这些学生编号为从这 1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 A 10 D 11 A 12 B 二、填空题 13 y=3x 1458 15 4 162 三、解答题 17解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850，因此男顾客

12、对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8 女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6（2）22100(40 20 30 10)4.76250 50 70 30K 由于4.762 3.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18解：（1）设 na的公差为 d 由9 5S a 得14 0 a d 由 a3=4得12 4 a d 于是18,2 a d 因此 na的通项公式为10 2na n（2）由（1）得14 a d，故(9)(5),2n nn n da n d S.由10 a 知0 d，故n nS a 等价于211

13、10 0 n n，解得 1 n10 所以 n的取值范围是|1 10,n n n N 剟 19解：（1）连结1,B C ME.因为 M，E分别为1,BB BC的中点，所以1 ME B C，且112ME B C.又因为 N为1A D的中点，所以112ND A D.由题设知1 1=AB DC，可得1 1=BC AD，故=M E N D，因此四边形 MNDE 为平行四边形，MN ED.又MN 平面1C DE，所以 MN平面1C DE.干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 知则古希腊时期人们认为最美人体的顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之

14、比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯 为顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为某学校为了解名新生的身体素质将这些学生编号为从这（2）过 C作 C1E的垂线，垂足为 H.由已知可得DE BC，1DE C C，所以 DE平面1C CE，故 DE CH.从而 CH平面1C DE，故 CH的长即为 C到平面1C DE的距离，由已知可得 CE=1，C1C=4，所以117 C E，故4 1717CH.从而点 C到平面1C DE的距离为4 1717.20解：（1）设()()g x f x，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x.当(0,)2x 时，()0 g

15、x；当,2x 时，()0 g x，所以()g x在(0,)2单调递增，在,2 单调递减.又(0)0,0,()22g g g，故()g x在(0,)存在唯一零点.所以()f x 在(0,)存在唯一零点.（2）由题设知(),()0 f a f，可得 a0.由（1）知，()f x 在(0,)只有一个零点，设为0 x，且当 00,x x 时，()0 f x；当 0,x x 时，()0 f x，所以()f x在 00,x单调递增，在 0,x单调递减.干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 知则古希腊时期人们认为最美人体的顶至肚脐的长度与肚脐

16、至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯 为顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为某学校为了解名新生的身体素质将这些学生编号为从这 又(0)0,()0 f f，所以，当0,x 时，()0 f x.又当0,0,a x 时，ax0，故()f x ax.因此，a的取值范围是(,0.21 解：（1）因为M过点,A B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线+=0 x y上，且,A B关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线y x 上，故可设(,)M a a.因为M与直线 x+2=0相切，所以M的半径为|2|r a.由已知得|=2 AO，又MO AO，故可得2

17、 22 4(2)a a，解得=0 a或=4 a.故M的半径=2 r或=6 r.（2）存在定点(1,0)P，使得|MA MP 为定值.理由如下：设(,)M x y，由已知得M的半径为=|+2|,|=2 r x AO.由于MO AO，故可得2 2 24(2)x y x，化简得 M的轨迹方程为24 y x.因为曲线2:4 C y x 是以点(1,0)P为焦点，以直线1 x 为准线的抛物线，所以|=+1 MP x.因为|=|=+2(+1)=1 MA MP r MP x x，所以存在满足条件的定点 P.22解：（1）因为2211 11tt，且 222 222 221 412 11y t txtt，所以

18、C的直角坐标方程为221(1)4yx x.l的直角坐标方程为2 3 11 0 x y.（2）由（1）可设 C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，）.C上的点到l的距离为4cos 11|2cos 2 3sin 11|37 7.当23 时，4cos 113 取得最小值 7，故 C上的点到l距离的最小值为7.干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 知则古希腊时期人们认为最美人体的顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯 为顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为某学校为了解名新生的身体素质

19、将这些学生编号为从这 23解：（1）因为2 2 2 2 2 22,2,2 a b ab b c bc c a ac，又1 abc，故有 2 2 21 1 1 ab bc caa b c ab bc caabc a b c.所以2 2 21 1 1a b ca b c.（2）因为,a b c为正数且1 abc，故有 3 3 3 3 3 33()()()3()()()a b b c c a a b b c a c=3(+)(+)(+)a b b c a c 3(2)(2)(2)ab bc ac=24.所以3 3 3()()()24 a b b c c a.干净后再选涂其他答案标号回答非选择题时将答案写在答题卡上写在本试卷上无效考试结束后将本试卷和答题卡一并 知则古希腊时期人们认为最美人体的顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为黄金分割比例著名的断臂维纳斯 为顶至脖子下端的长度为则其身高可能是函数在的图像大致为某学校为了解名新生的身体素质将这些学生编号为从这