1952-2019年历年高考理科数学全国2卷真题及答案.pdf

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1、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 6 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 7 0 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 8

2、 0 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 9 9 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 7 1 1 8 1 1 9 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 7 1 2 8 1 2 9 1 3 0 1 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6

3、 1 3 7 1 3 8 1 3 9 1 4 0 1 4 1 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 5 1 4 6 1 4 7 1 4 8 1 4 9 1 5 0 1 5 1 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5 7 1 5 8 1 5 9 1 6 0 1 6 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 7 1 6 8 1 6 9 1 7 0 1 7 1 1 7 2 1 7 3 1 7 4 1 7 5 1 7 6 1 7 7 1 7 8 1 7 9 1 8 0 1 8 1 1 8 2 1 8 3 1 8 4 1 8 5 1 8 6

4、 1 8 7 1 8 8 1 8 9 1 9 0 1 9 1 1 9 2 1 9 3 1 9 4 1 9 5 1 9 6 1 9 7 1 9 8 1 9 9 2 0 0 2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 4 2 0 5 2 0 6 2 0 7 2 0 8 2 0 9 2 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 1 7 2 1 8 2 1 9 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2 9 2 3 0 2 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6

5、 2 3 7 2 3 8 2 3 9 2 4 0 2 4 1 2 4 2 2 4 3 2 4 4 2 4 5 2 4 6 2 4 7 2 4 8 2 4 9 2 5 0 2 5 1 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 5 7 2 5 8 2 5 9 2 6 0 2 6 1 2 6 2 2 6 3 2 6 4 2 6 5 2 6 6 2 6 7 2 6 8 2 6 9 2 7 0 2 7 1 2 7 2 2 7 3 2 7 4 2 7 5 2 7 6 2 7 7 2 7 8 2 7 9 2 8 0 2 8 1 2 8 2 2 8 3 2 8 4 2 8 5 2 8 6

6、 2 8 7 2 8 8 2 8 9 2 9 0 2 9 1 2 9 2 2 9 3 2 9 4 2 9 5 2 9 6 2 9 7 2 9 8 2 9 9 3 0 0 3 0 1 3 0 2 3 0 3 3 0 4 3 0 5 3 0 6 3 0 7 3 0 8 3 0 9 3 1 0 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 5 3 1 6 3 1 7 3 1 8 3 1 9 3 2 0 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6 3 2 7 3 2 8 3 2 9 3 3 0 3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6

7、 3 3 7 3 3 8 3 3 9 3 4 0 3 4 1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 3 4 5 3 4 6 3 4 7 3 4 8 3 4 9 3 5 0 3 5 1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5 7 3 5 8 3 5 9 3 6 0 3 6 1 3 6 2 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6 3 6 7 3 6 8 3 6 9 3 7 0 3 7 1 3 7 2 3 7 3 3 7 4 3 7 5 3 7 6 3 7 7 3 7 8 3 7 9 3 8 0 3 8 1 3 8 2 3 8 3 3 8 4 3 8 5 3 8 6

8、 3 8 7 3 8 8 3 8 9 3 9 0 3 9 1 3 9 2 3 9 3 3 9 4 3 9 5 3 9 6 3 9 7 3 9 8 3 9 9 4 0 0 4 0 1 4 0 2 4 0 3 4 0 4 4 0 5 4 0 6 4 0 7 4 0 8 4 0 9 4 1 0 4 1 1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1 5 4 1 6 4 1 7 4 1 8 4 1 9 4 2 0 4 2 1 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 5 4 2 6 4 2 7 4 2 8 4 2 9 4 3 0 4 3 1 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 5 4 3 6

9、 4 3 7 4 3 8 4 3 9 4 4 0 4 4 1 4 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 5 4 4 6 4 4 7 4 4 8 4 4 9 4 5 0 4 5 1 4 5 2 4 5 3 4 5 4 4 5 5 4 5 6 4 5 7 4 5 8 4 5 9 4 6 0 4 6 1 4 6 2 4 6 3 4 6 4 4 6 5 4 6 6 4 6 7 4 6 8 4 6 9 4 7 0 4 7 1 4 7 2 4 7 3 4 7 4 4 7 5 4 7 6 4 7 7 4 7 8 4 7 9 4 8 0 4 8 1 4 8 2 4 8 3 4 8 4 4 8 5 4 8 6

10、 4 8 7 4 8 8 4 8 9 4 9 0 4 9 1 4 9 2 4 9 3 4 9 4 4 9 5 4 9 6 4 9 7 4 9 8 4 9 9 5 0 0 5 0 1 5 0 2 5 0 3 5 0 4 5 0 5 5 0 6 5 0 7 5 0 8 5 0 9 5 1 0 5 1 1 5 1 2 5 1 3 绝密绝密 启用前启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 本试卷共本试卷共 23 题，共题，共 150 分，共分，共 5 页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：注

11、意事项：1、答题前，考生现将自己的名字，准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴、答题前，考生现将自己的名字，准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在在 条形码区域内。条形码区域内。2、选择题必须使用选择题必须使用 2B 铅笔填涂：非选择题使用铅笔填涂：非选择题使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。书写，字体工整、笔迹清楚。3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4、作图可先使用铅笔画出，确定后必须用

12、黑色字迹笔描黑。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹笔描黑。5、保持卡面清保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。刀。一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。1、1212ii+=（）A、4355i B、4355i+C、3455i D、3455i+2、已知集合22(,)|3,Ax yxyxZ yZ=+，则A中元素的个数为（）A、9 B、8 C、5 D、4 3、函数2()xxeef xx=的大致图象为（）4、已知向量,a br r满足|1

13、,1aa b=rr r，则(2)aab=rrr（）A、4 B、3 C、2 D、0 5、双曲线22221(0,0)xyabab=的离心率为3，则其渐近线方程为（）A、2yx=B、3yx=C、22yx=D、32yx=5 1 4 6、在ABC中，5cos,1,525CBCAC=，则AB=（）A、4 2 B、30 C、29 D、2 5 7、为计算11111123499100S=+L，设计右侧的 程序框图，则在空白中应填入（）A、1ii=+B、2ii=+C、3ii=+D、4ii=+8、我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成 果。哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和

14、”，如30723=+，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其 和等于 30 的概率是（）A、112 B、114 C、115 D、118 9、在长方体1111ABCDABC D中，11,3ABBCAA=，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为（）A、15 B、56 C、55 D、22 10、若()cossinf xxx=在,a a是减函数，则a的最大值是（）A、4 B、2 C、34 D、11、已知()f x是定义在(),+上的奇函数，满足(1)(1)fxfx=+。若(1)2f=，则(1)(2)(3)(50)ffff+=L（）A、50 B、0 C、2 D、50 12、已知12,F F是椭

15、圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF为等腰三角形，12120FF P=o，则C的离心率为（）A、23 B、12 C、13 D、14 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）13、曲线2ln(1)yx=+在点(0,0)处的切线方程为。5 1 5 14、若,x y满足约束条件25023050 xyxyx+，则zxy=+的最大值为。15、已知sincos1,cossin0+=+=，则sin()+=。16、已知圆锥的顶点为S，母线,SA SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45o。若SAB的面积

16、为5 15，则该圆锥的侧面积为。三、解答题（共计 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17:21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分 17、（12 分）记nS为等差数列 na的前n项和，已知137,15aS=。求 na的通项公式；求nS，并求nS的最小值。18、(12 分)下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施随投资y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区2018年的环境设施投资，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000年的数据（时间变量t的值依次为1,2,17L）建立模型：

17、30.4 13.5yt=+；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,7L）建立模型：99 17.5yt=+。分别利用这两个模型，求该地区 2018 年环境基础设施投资额的预测值；你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。5 1 6 19、（12）设抛物线2:4C yx=的焦点为F，过F且斜率为k（0k）的直线l与C交于,A B两点，|8AB=。求l的方程；求过点,A B求与C准线相切的的圆的方程。20、(12 分)如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC=,4PAPBPCAC=,O为AC的中点。证明：PO 平面ABC；若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30

18、o，求PC与平面PAM所成角的正弦值。21、（12 分）已知函数2()xf xeax=。若1a=，证明：当0 x 时，()1f x；若()f x在()0,+只有一个零点，求a。（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22 题，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一部分计分 22、4-4选修：坐标系与参数方程（10 分）。在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos4sinxy=（为参数）。直线l的参数方程为1cos(2sinxttyt=+=+为参数）。求C和l的直角坐标方程；若曲线C截直线l所得线段中点坐标为()1,2，求l的斜率。23、4-5选修：不等式选讲（10 分）设函数(

19、)5|2|f xxax=+。当1a=时，求不等式()0f x 的解集；若()1f x，求a的取值范围。5 1 7 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 2 理科数学 考试时间：考试时间：2019 年年 6 月月 7 日日 15：0017：00 使用省份：使用省份：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、海南重庆、海南 本试卷分第本试卷分第 I I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 IIII 卷（非选择题）两部分卷（非选择题）两部分,满分满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分分钟

20、。钟。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷第卷 （选择题选择题，共，共 6060 分）分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

21、目要求的 1设集合 A=x|x2-5x+60，B=x|x-1b，则 Aln(ab)0 B3a0 Dab 7设，为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面 8若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆2231xypp+=的一个焦点，则 p=A2 B3 C4 D8 9下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是 Af(x)=cos 2x Bf(x)=sin 2x Cf(x)=cosx Df(x)=sinx 10已知(0，2)，2sin 2=cos 2+1，则 sin=A15 B55 C33 D255 11

22、设 F 为双曲线 C：22221(0,0)xyabab=的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的 5 1 9 圆与圆222xya+=交于 P，Q 两点.若PQOF=，则 C 的离心率为 A2 B3 C2 D5 12设函数()f x的定义域为 R，满足(1)2()f xf x+=，且当(0,1x时，()(1)f xx x=.若对任意(,xm，都有8()9f x ，则 m 的取值范围是 A9,4 B7,3 C5,2 D8,3 第第卷卷 （非选择题，共（非选择题，共 9090 分）分）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列

23、车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.14已知()f x是奇函数，且当0 x 时，()eaxf x=.若(ln2)8f=，则a=_.15ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c.若6,2,3bac B=，则ABC的面积为_.16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.

24、图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_.（本题第一空2分，第二空 3 分.）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1.5 2 0 （1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值.18（12 分）11

25、分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束.（1）求 P（X=2）；（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.19（12 分）已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0，1434nnnaab+=+，1434nnnbba+=.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.20（12 分）5 2 1 已知函

26、数()11lnxf xxx=+.（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（2）设 x0是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线exy=的切线.21（12 分）已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为12.记 M 的轨迹为曲线 C.（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G.（i）证明：PQG是直角三角形；（ii）求PQG面积的最大值.（二）

27、选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M 在曲线:4sinC=上，直线 l 过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为 P.（1）当0=3时，求0及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.5 2 2 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知()|2|().f xxa xxxa=+（1）当1a=时，求不等式()0f x 的解集；（2）若(,1x 时，()0f x，求a的取值范围.2019

28、年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 2 理科数学参考答案 1A 2C 3C 4D 5A 6C 7B 8D 9A 10B 11A 12B 130.98 143 1563 1626；21 17解：（1）由已知得，11BC 平面11ABB A，BE 平面11ABB A，故11BC BE 又1BEEC，所以BE 平面11EBC（2）由（1）知190BEB=由题设知11RtRtABEAB E，所以45AEB=，故AEAB=，12AAAB=以D为坐标原点，DAuuu r的方向为x轴正方向，|DAuuu r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，5 2 3 则C（0，1，0），B（1，1，0）

29、，1C（0，1，2），E（1，0，1），(1,1,1)CE=uuu r，1(0,0,2)CC=uuuu r 设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则 0,0,CBCE=uuu rnn即0,0,xxyz=+=所以可取n=(0,1,1).设平面1ECC的法向量为m=（x，y，z），则 10,0,CCCE=uuu rmm即20,0.zxyz=+=所以可取m=（1，1，0）于是1cos,|2=n mn mn m 所以，二面角1BECC的正弦值为32 18解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P（X=2）=0.50.4+（10.5）

30、（104）=05（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分 因此所求概率为 0.5（10.4）+（10.5）0.40.50.4=0.1 19解：（1）由题设得114()2()nnnnabab+=+，即111()2nnnnabab+=+又因为a1+b1=l，所以nnab+是首项为1，公比为12的等比数列 由题设得114()4()8nnnnabab+=+，5 2 4 即112nnnnabab+=+又因为a1b1=l，所以nnab是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，112nnnab+=，21nn

31、abn=所以111()()222nnnnnnaababn=+=+，111()()222nnnnnnbababn=+=+20解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+）单调递增 因为 f（e）=e 110e 1+，22222e1e3(e)20e1e1f+=，所以 f（x）在（1，+）有唯一零点 x1，即 f（x1）=0 又1101x，1111111()ln()01xfxf xxx+=+=，故 f（x）在（0，1）有唯一零点11x 综上，f（x）有且仅有两个零点（2）因为0ln01exx=，故点 B（lnx0，01x）在曲线 y=ex上 由题设知0()0f x=，即0001ln1xxx+=，

32、故直线 AB 的斜率00000000000111ln111ln1xxxxxkxxxxxx+=+曲线 y=ex在点001(ln,)Bxx处切线的斜率是01x，曲线lnyx=在点00(,ln)A xx处切线的斜率也是01x，所以曲线lnyx=在点00(,ln)A xx处的切线也是曲线 y=ex的切线 5 2 5 21解：（1）由题设得1222yyxx=+，化简得221(|2)42xyx+=，所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为(0)ykx k=由22142ykxxy=+=得2212xk=+记2212uk=+，则(,),(

33、,),(,0)P u uk QuukE u 于是直线QG的斜率为2k，方程为()2kyxu=由22(),2142kyxuxy=+=得 22222(2)280kxuk xk u+=设(,)GGG xy，则u和Gx是方程的解，故22(32)2Gukxk+=+，由此得322Gukyk=+从而直线PG的斜率为322212(32)2ukukkukkuk+=+所以PQPG，即PQG是直角三角形（ii）由（i）得2|21PQuk=+，2221|2uk kPGk+=+，所以PQG 的面积222218()18(1)|12(1 2)(2)1 2()kkkkSPQ PGkkkk+=+设 t=k+1k，则由 k0 得

34、 t2，当且仅当 k=1 时取等号 因为281 2tSt=+在2，+）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值为169 5 2 6 因此，PQG 面积的最大值为169 22解：（1）因为()00,M 在C上，当03=时，04sin2 33=.由已知得|cos23OPOA=.设(,)Q 为l上除P的任意一点.在RtOPQ中cos|23OP=，经检验，点(2,)3P在曲线cos23=上.所以，l的极坐标方程为cos23=.（2）设(,)P，在RtOAP中，|cos4cos,OPOA=即 4cos=.因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,4 2.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,4 2=.23解：（1）当 a=1 时，()=|1|+|2|(1)f xxxxx.当1x 时，2()2(1)0f xx=；当1x 时，()0f x.所以，不等式()0f x 的解集为(,1).（2）因为()=0f a，所以1a.当1a，(,1)x 时，()=()+(2)()=2()(1)0f xax xx xaax x 所以，a的取值范围是1,)+.