专题《高中数学立体几何讲义》.pdf

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1、18.1 立体几何图形立体几何图形一、空间几何体的相关概念1、空间几何体：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。例如：我们日常接触到的足球、篮球等，吐过只考了他们的形状和大小，他们都是球体，还有其他几何体如长方体、正方体等。2、多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.（1）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；（2）多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱；（3）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。3、旋转体：一条平面曲线（包括直线）

2、绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。二、棱柱1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。（1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形；（2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。【注意】（1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。（2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面

3、沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面22、棱柱的分类：（1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；（2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱三、棱锥1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；（3）相邻侧面的

4、公共边叫做棱锥的侧棱；（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥四、棱台1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；（2）其他各面叫做棱台的侧面；（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。【注意】（1）棱台上下底面是互相平

5、行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形；（3）各侧棱的延长线交于一点。32、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台五、圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。（1）旋转轴叫做圆柱的轴；（2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；（4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行与轴；（3）轴截面为矩形。六、圆锥定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋

6、转体叫做圆锥。（1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；（2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；（3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；（3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。（4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。七、棱台1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的

7、面所围成的旋转体。【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面；（2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点；4（3）轴截面为等腰梯形。八、球定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。（1）球心：半圆的圆心叫做球的球心；（2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。九、组合体的定义现实世界中物体表示的是几何体，除了柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成，这些几何体称作组合体。组合体可以由几何体拼接、截去或挖去一部

8、分形成。题型一 棱柱的几何特征题型一 棱柱的几何特征【例 1】下列命题正确的是（）A棱柱的每个面都是平行四边形B一个棱柱至少有五个面5C棱柱有且只有两个面互相平行D棱柱的侧面都是矩形【变式 1-1】下列关于四棱柱的说法：四条侧棱互相平行且相等；两对相对的侧面互相平行；侧棱必与底面垂直；侧面垂直于底面.其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【变式 1-2】下列命题正确的是（）A有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面C棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形【变式 1-3】(多选题)下列说法错误的

9、是()A有 2 个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B多面体至少有 3 个面C各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D九棱柱有 9 条侧棱，9 个侧面，侧面为平行四边形题型题型二 棱锥和棱台的几何特征【例 2】下列说法正确的是（）A有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥B有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体6【变式 2-1】（多选）下列说法正确的是（）A如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等B五棱锥只有五条棱C一个棱柱

10、至少有五个面D棱台的各侧棱延长后交于一点【变式 2-2】下列命题中，正确的是（）A有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱C侧面都是矩形的四棱柱是长方体D侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥【变式 2-3】下列说法正确的是_一个棱锥至少有四个面；如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；五棱锥只有五条棱；用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似题型三 旋转体的几何特征题型三 旋转体的几何特征类型 1旋转体的概念【例 3-1】一个直角三角形绕斜边所在直线旋转 360形成的空间几何体为（）A一个圆锥B一个圆锥和一个圆

11、柱C两个圆锥D一个圆锥和一个圆台【变式 3-1】（1）如图，第一排的图形绕虚线旋转一周能形成第二排中的某个几何体请写出第一排、第二排中相应的图形的对应关系_.7ABCD【变式 3-1】（2）如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A一个球体B一个球体中间挖去一个圆柱C一个圆柱D一个球体中间挖去一个长方体【变式 3-1】（3）经过旋转可以得到图中几何体的是（）A.B.C.D.【变式 3-1】（4）以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是A.一个圆柱B.一个圆锥C.两个圆锥D.一个圆台8类型 2圆柱、圆锥、圆台的几何特征【例 3-2】给出下列命题：圆柱

12、的母线与它的轴可以不平行；圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是（）ABCD【变式 3-2】（1）下列说法正确的是（）A以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台【变式 3-2】（2）下列结论中正确的是（）A半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体

13、是圆锥C夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台【变式 3-2】（3）给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；圆台所有母线的延长线交于一点，其中正确的命题是（）9ABCD【变式 3-3】下列说法不正确的是()A圆柱的侧面展开图是一个矩形B圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D圆台平行于底面的截面是圆面

14、其中正确的是()ABCD【变式 3-4】给出下列命题：圆柱的母线与它的轴可以不平行；圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的题型四 简单的组合体题型四 简单的组合体【例 4】如图所示的组合体，其结构特征是（）A由两个圆锥组合成的B由两个圆柱组合成的C由一个棱锥和一个棱柱组合成的D由一个圆锥和一个圆柱组合成的10【变式 4-1】如图的组合体是由（）组合而成.A两个棱柱B棱柱和圆柱C圆柱和棱台D圆锥和棱柱【变式4-2】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的

15、直线旋转一周，所得的几何体是由()A一个圆台、两个圆锥构成B两个圆台、一个圆锥构成C两个圆柱、一个圆锥构成D一个圆柱、两个圆锥构成【变式 4-3】(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是()A由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D由一个长方体与两个四棱台组合而成的【变式 4-4】如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是（）A.一个棱柱中挖去一个棱柱B.一个棱柱中挖去一个圆柱C.一个圆柱中挖去一个棱锥D.一个棱台中挖去一个圆柱11【变式 4-5】关于如图所示几何体的正确说法为_这是一个六面体；

16、这是一个四棱台；这是一个四棱柱；这是一个四棱柱和三棱柱的组合体；这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱题型五 空间几何体展开图问题题型五 空间几何体展开图问题【例 5】如图，两个图形都是立体图形的平面展开图，你能分别说出这两个立体图形的名称吗？【变式 5-1】下列图形不是正方体表面展开图的是（）ABCD【变式 5-2】某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()12【变式 5-3】如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（）A2B1C高D考【变式 5-4】一圆柱的底面半径为3，母线长为 4，轴截面

17、为 ABCD，从点 A 拉一绳子沿圆柱侧面到相对顶点 C，求最短绳长.【变式 5-5】如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为 6 m 的正三角形 ABC，粮堆母线 AC 的中点 P 处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程.(结果不取近似值)13题型六 简单的截面问题题型六 简单的截面问题【例 6】如图所示，在三棱台 ABCABC 中，截去三棱锥 AABC，则剩余部分是（）A三棱锥B四棱锥C三棱柱D组合体【变式 6-1】若用长为 4，宽为 2 的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为()A8B.8C.4

18、D.2【变式 6-2】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（）A棱锥B圆锥C圆柱D正方体【变式 6-3】用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是_(填序号)三角形；四边形；五边形；不可能为四边形【变式 6-4】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（）ABCD148.2 立体图形的直观图立体图形的直观图一、空间几何体的直观图的概念直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和

19、度量关系的图形。二、立体图形的直观图的画法1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图斜二测画法是一种特殊的平行投影画法（1）“斜”：在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴承 45或 135（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的长度变成原来的一半，2、平面图形直观图的画法及要求第一步建系：在已知图中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时，把他们弧长对应的轴和轴，两轴相交于，且使=45（或 135），它们确定的平面表示水平面；第二步平行不变：已知图形中平行与轴和轴的线段，在直观图中分别画出平行与轴或轴的线段

20、；第三步长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半，3、空间几何体直观图的画法（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与 x 轴、y 轴都垂直的 z 轴，直观图中与之对应的是z轴；（2）平面 xOy表示水平平面，平面 yOz和 xOz表示竖直平面；（3）已知图形中平行于 z 轴(或在 z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线154、直观图与原图之间的“变”与“不变”“三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变。“三不变”：（1）平行性不改变；（2

21、）与轴和轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变。三、直观图与原图多边形面积之间的关系若一个多边形的面积为原，它的直观图的面积为直，则有直=24原，原=2 2直举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为，高为，则其面积为直=12，在直观图中，=，=1245=24，在直观图中，直=12=12 24=24原16题型一 斜二测画法辨析题型一 斜二测画法辨析【例 1】关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是()A原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变B原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的12C在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x O y 时，x

22、 O y 必须是 45D在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【变式 1-1】利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（）两条相交直线的直观图是平行直线；两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；正方形的直观图是平行四边形；梯形的直观图是梯形.ABCD【变式 1-2】下列说法正确的是（）A互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B梯形的直观图可能是平行四边形C矩形的直观图可能是梯形D正方形的直观图可能是平行四边形【变式 1-3】下列命题中正确的是()A利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形B利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形C有两个面平行，其余各面都是平

23、行四边形的几何体叫棱柱D用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台17题型题型二 已知原图画直观图【例 2】按图示的建系方法，画水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图【变式 2-1】一个菱形的边长为 4cm，一内角为 60，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图。【变式 2-2】画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图.【变式 2-3】如图建立坐标系，得到的正三角形 ABC 的直观图不是全等三角形的一组是()【变式 2-4】用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（）18ABCD题型三 已知直观图画原图题型三 已知直观图画原

24、图【例 3】下图为一平面图形的直观图，因此平面图形可能是()【变式 3-1】如图所示，ABC是ABC 的直观图，其中 ACAB，那么ABC 是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形【变式 3-2】如图，直观图所表示的平面图形是()A正三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形题型四 空间几何体的直观图题型四 空间几何体的直观图19【例 4】用斜二测画法画一个棱长为 3cm 的正方体的直观图.【变式 4-1】用斜二测画法画出底面边长为 2cm，侧楼长为 3cm 的正三棱柱的直观图.【变式 4-2】画底面半径为 1cm，母线长为 3cm 的圆柱的直观图。【变式 4-2】用斜二测画

25、法画一个正六棱柱的直观图.【变式 4-3】用斜二测画法画一个上底面边长为 1cm，下底面边长为 2cm，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为 2cm 的正四棱台.题型五 直观图与原图的周长和面积题型五 直观图与原图的周长和面积类型 1给原图求直观图的周长或面积【例 5-1】若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的（）A12 倍B2 倍C24倍D22 倍【变式 5-1-1】ABC是边长为 1 的正三角形，那么ABC的斜二测平面直观图A B C的面积（）A616B68C38D34【变式 5-1-2】为边长为2cm的正三角形，则其水平放置斜二测画法的直观

26、图的周长为_20【变式 5-1-3】已知等腰梯形ABCD，上底1CD，腰2ADCB，下底3AB，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A B C D 的面积为()A.24B.12C.22D.2类型 2给直观图求原图的周长或面积【例 5-2】如图是水平放置的四边形 ABCD 的斜二测直观图A B C D ，且ADy 轴，A Bx P轴，则原四边形 ABCD 的面积是（）A14B10 2C28D14 2【变式 5-2-1】如图，四边形A B C D 是边长为 1 的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.【变式 5-2-2】如图，A

27、B C V是水平放置的ABC斜二测画法的直观图，6AC，4B C ，能否判断ABC的形状并求A B 边的实际长度是多少？21【变式 5-2-3】如图，正方形OABC 的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A6B8C23 2D23 3【变式 5-2-4】如图，ABC的直观图为等腰直角A B C，其中2A B，则ABC的面积为.228.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图（1）棱柱

28、的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长；（2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成；（3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。2、棱柱、棱锥、棱台的表面积（1）棱柱的表面积：棱柱=侧+2底；（2）棱锥的表面积：棱锥=侧+底；（3）棱台的表面积：棱台=侧+上底+下底二、棱柱、棱锥、棱台的体积1、棱柱的高和体积（1）棱柱的高：两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点，向另外一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，也就是垂线段的长。（2）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积底和高的乘积，即棱柱=底.2、棱锥的高和体积（1）棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间

29、的距离，即从顶点向底面作垂线，23顶点到垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，即垂线段的长。（2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积底和高的乘积的13，即棱锥=13底 3、棱台的体积：V13(S上S下S上S下)h题型一 棱柱的表面积题型一 棱柱的表面积【例 1】已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（）A48 33B48 32 3C2462D144【变式 1-1】长方体的高为 2，底面积等于 12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为 10，则此长方体的侧面积为()A12B24C28D32【变式 1-2】已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为 5，菱形的对角线的长分别是 9 和

30、 15，24则这个棱柱的侧面积是（）A30 34B60 34C30 34135+D135【变式 1-3】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3 5cm，则这个正四棱柱的表面积为()A290cmB236 5cmC272cmD254cm【变式 1-4】（多选题）长方体1111ABCDABC D的长、宽、高分别为 3，2，1，则（）A长方体的表面积为 20B长方体的体积为 6C沿长方体的表面从 A 到1C的最短距离为3 2D沿长方体的表面从 A 到1C的最短距离为2 5题型题型二 棱锥的表面积【例 2】已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是5，则该正四棱锥的表面积

31、为（）A3B12C8D4 3【变式 2-1】棱长为1的正四面体的表面积为（）A3B2 3C3 3D4 3【变式 2-2】正三棱锥底面边长为a，高为66a，则此正三棱锥的侧面积为（）A234aB232aC23 34aD23 32a【变式 2-3】如图，已知正三棱锥 SABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO3，求此正三棱锥的表面积25题型三 棱台的表面积题型三 棱台的表面积【例 3】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（）.A80B240C320D640【变式 3-1】已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为 1 和 2，其侧面积恰好等于

32、两底面面积之和，则该正四棱台的高为.【变式 3-2】若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为336a，则此正三棱台的侧面积为（）A2aB212aC292aD232a【变式 3-3】已知正五棱台的上、下底面边长分别为 4 cm 和 6 cm，侧棱长为 5 cm，则它的侧面积为_cm2.题型四 棱柱的体积题型四 棱柱的体积【例 4】底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱的体积是（）A3B1C32D1326【变式 4-1】已知一个长方体的三个面的面积分别是 2，3，6，则这个长方体的体积为_【变式 4-2】如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E

33、是棱 BB1的中点，点 F 是棱 CC1上靠近 C1的三等分点，且三棱锥 A1-AEF 的体积为 2，则四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为()A12B8C20D18【变式 4-3】正方体的全面积为 18cm2，则它的体积是_3cm题型五 棱锥的体积题型五 棱锥的体积【例5】如图，已知高为3的棱柱111ABCABC的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥1BABC的体积为（）A14B12C34D36【变式 5-1】正四棱锥的底面边长和高都等于 2，则该四棱锥的体积为（）27A2 33B2 23C83D8【变式 5-2】已知棱长均为 4，底面为正方形的四棱锥SABCD如图所示，求它的体积.【变式

34、 5-3】如图，正三棱锥PABC的底面边长为 2，侧棱长为 3.（1）求正三棱锥PABC的表面积；（2）求正三棱锥PABC的体积.题型六 棱台的体积题型六 棱台的体积【例 6】正三棱台 ABC-A1B1C1中，O1，O 分别是上底面 A1B1C1、下底面 ABC 的中心，已知A1B1=O1O=3，AB=2 3.求正三棱台 ABC-A1B1C1的体积;【变式 6-1】我国古代名著张邱建算经中记载:“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的

35、正四棱锥28的高是多少?如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注:1 丈=10 尺)()A.1 946 立方尺B.3 892 立方尺C.7784 立方尺D.11 676 立方尺【变式 6-2】如图所示，已知三棱台 ABC-A1B1C1的体积为 V，AB=2A1B1，截去三棱锥 A1-ABC后，剩余部分的体积为()A.14VB.23VC.37VD.35V【变式 6-3】（多选题）已知四棱台1111ABCDABC D的上下底面均为正方形，其中2 2AB，112AB，1112AABBCC，则下述正确的是（）A该四棱台的高为3B11AACCC该四棱台的表面积为

36、 26D该四棱台体积为4 3298.3.2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积一、圆柱、圆锥、圆台的表面积1、侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图(2)依次求出各个平面图形的面积(3)将各平面图形的面积相加二、圆柱、圆锥、圆台的体积1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式：（1）圆柱的体积公式：圆柱=底（2

37、）圆锥的体积公式：圆锥=13底（3）圆台的体积公式：V13(S上S下S上S下)h2、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系30三、球的表面积和体积1、球的体积公式：=4332、球的表面积公式：=42四、球的截面的性质（1）球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题（2）用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 满足关系 dR2r2.31题型一 圆柱的表面积题型一 圆柱的

38、表面积【例 1】已知圆柱的底面半径 r1，母线长 l 与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为()A6B8C9D10【变式 1-1】一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2.该圆柱的表面积为【变式 1-2】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）A142B122C12D142【变式 1-3】已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 2B12C8 2D10题型题型二 圆锥的表面积圆锥的表面积【例 2】若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面

39、积为（）A3B2C2 3D4 3【变式 2-1】把一个半径为 20 的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A10B10 3C10 2D5 3【变式 2-2】已知某圆锥的底面半径为 8，高为 6，则该圆锥的表面积为_.32【变式 2-3】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比；【变式 2-4】一个圆柱内接于一个底面半径为 2，高为 4 的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（）A32B3C5D4题型三 圆台的表面积题型三 圆台的表面积【例3】圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60，则圆台的侧面积为_.【变式 3-1】圆台的

40、一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的表面积为 574，则圆台较小的底面半径为_.【变式 3-2】圆台的上、下底面半径和高的比为 144，若母线长为 10，求圆台的表面积【变式 3-3】已知圆台的上、下底面的面积之比为 925，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是_.【变式 3-4】圆台的母线长为 8 cm，母线与底面成 60角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积题型四 圆柱的体积题型四 圆柱的体积【例 4】如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4，那么圆柱的体积等于()AB2C4D833【变式4-1】(多选)圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，

41、则这个圆柱的体积可能是()A288cm3B192cm3C288 cm3D192 cm3【变式 4-2】周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_3cm.【变式 4-3】如图，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是_题型五 圆锥的体积题型五 圆锥的体积【例 5】已知圆锥的母线长为 5，底面周长为6，则它的体积为（）A10B12C15D36【变式 5-1】将半径为3，圆心角为23的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）AB2 2C3D2 23【变式 5-2】已知圆锥的表面积为9，它的侧面

42、展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A3B3C9D9【变式 5-3】若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是()A1B12C.32D3434题型六 圆台的体积题型六 圆台的体积方法概要：台体的体积转化为求锥体的体积根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积【例 6】已知某圆台的上、下底面面积分别是，4，侧面积是 6，则这个圆台的体积是_.【变式 6-1】圆台上底半径为 2，下底半径为 6，母线长为 5，则圆台的体积为（）A.40B.52C.50D.2123【变式 6-2】古代将圆台称为“圆亭”，九章算术中“今有圆亭，

43、下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（）A198立方丈B19立方丈C198立方丈D19立方丈【变式 6-3】设圆台的高为 3，如图，在轴截面 A1B1BA 中，A1AB60，AA1A1B，则圆台的体积为_.题型七 球的表面积和体积题型七 球的表面积和体积【例 7】（1）已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积；（2）已知球的表面积为 64，求它的体积；（3）已知球的体积为5003，求它的表面积35【变式 7-1】若一个球的直径为 2，则此球的表面积为（）A2B16C8D4【变式 7-2】两个球的半径相差 1，表面积之差为

44、 28，则它们的体积和为_.【变式 7-3】三个球的半径之比为 123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A1 倍B2 倍C95倍D74倍题型八 球的截面问题题型八 球的截面问题【例 8】一平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面的距离为 2，则此球的体积为()A 6B4 3C4 6D6 3【变式 8-1】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A5003cm3B8663cm3C13723cm3D20483cm3【变式 8-2】球的表

45、面积为 400，一个截面的面积为 64，则球心到截面的距离为_.【变式 8-3】一个距离球心为 3的平面截球所得的圆面面积为，则球的体积为_.368.4 空间点、直线、平面的位置关系空间点、直线、平面的位置关系一、平面1、平面的表示：（1）在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面。（2）可写成平面，平面，平面或平面（对角线）2、平面的画法：（1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成 45，且横边长等于其邻边长的 2 倍；（2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。3、特点：（1）平面是平的；（2）平面是无限延展的没有边界的；（3）平面是没有厚度的。4、点与直线（平面）、

46、直线与平面的位置关系（1）点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”，（2）直线与平面的位置关系只能用“”或“”二、平面的基本事实1、基本事实 1（1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（2）图形：（3）符号表示：A，B，C 三点不共线存在唯一的平面使 A，B，C（4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法2、基本事实：37（1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内（2）图形：（3）符号表示：Al，Bl，且 A，Bl（4）作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内3、基本事实：（1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，

47、那么它们有且只有一条过该点的公共直线（2）图形：（3）符号表示：P，Pl 且 Pl（4）作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线4、三个推论：推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面三、空间点、直线、平面位置关系1直线与直线的位置关系（1）共面与异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线的画法：（2）空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点38异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点2、直线与平面的位置关系位置关系直线

48、 a 在平面内直线 a 在平面外直线 a 与平面相交直线 a 与平面平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示3、两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示l图形表示39题型一 平面的概念与特点题型一 平面的概念与特点【例 1】下列命题中正确命题的个数是()三角形是平面图形；四边形是平面图形；四边相等的四边形是平面图形；圆是平面图形A1B2C3D4【变式 1-1】关于平面的说法，正确的有（）平面是绝对平的且是无限延展的；平面的形状是平行四边形；三角形可以表示平面；某一个平面的面积为 1 m2；8 个平面重叠起来，

49、要比 5 个平面重叠起来厚A1 个B2 个C3 个D4 个【变式 1-2】下列叙述中，一定是平面的是（）A一条直线平行移动形成的面B三角形经过延展得到的面C组成圆锥的面D正方形围绕一条边旋转形成的面【变式 1-3】有以下命题：8 个平面重叠起来要比 6 个平面重叠起来厚；有一个平面的长是50m，宽是20m；平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念其中正确命题的个数为()A0B1C2D340题型题型二 符号的正确使用【例 2】根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系（1）点 P 与直线 AB；（2）点 C 与直线 AB；（3）点 M 与平面 AC；（4）点 A1与平面 AC；（5）直线

50、AB 与直线 BC；（6）直线 AB 与平面 AC；（7）平面 A1B 与平面 AC.【变式 2-1】下列命题中，正确命题的个数为()平面的基本性质 1 可用集合符号叙述为：若 Al，Bl，且 A，B，则必有 l；四边形的两条对角线必相交于一点；用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线A0 个B1 个C2 个D3 个【变式 2-2】文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是()A AAaAB aAaA C aAaA DaAaA【变式 2-3】如果直线 a平面，直线 b平面，Ma，Nb，Ml，Nl，则()AlBlClMDlN题型三 基本事实