2023届初升高数学衔接专题讲义第七讲集合间的基本关系（精讲）含解析.docx

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1、2023年初高中衔接素养提升专题讲义第七讲 集合间的基本关系（精讲）（原卷版）【知识点透析】一、子集与真子集的定义与表示1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)【注意】（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系例如：A1,2，B1,3，因为2A，但2B，所以A不是B的子

2、集；同理，因为3B，但3A，所以B也不是A的子集二、空集1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集2、0，0，的关系与0与0与相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点是集合；0是实数中不含任何元素；0含一个元素0不含任何元素；含一个元素，该元素是关系00或三、子集的性质（1）规定：空集是任意一个集合的子集也就是说，对任意集合A，都有A.（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即AA.（3）如果AB，BC，则AC.（4）如果AB，

3、BC，则AC.【注意】空集是任何集合的子集，因此在解AB(B)的含参数的问题时，要注意讨论A和A两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面四、子集的个数如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个（2）A的非空子集的个数有2n1个（3）A的真子集的个数有2n1个（4）A的非空真子集的个数有2n2个五、韦恩图在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。【注意】（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。【知识点精讲】题型一 集合间关系的

4、判断【例题1】（2022四川绵阳高一单元测试）已知集合，则下列选项中说法不正确的是（）ABCD【例题2】（2022山东泰安高一检测）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（）ABCD【变式1】(2022宝鸡市高一检测模拟）已知集合，则下列关系正确的是（ ）A B C D【变式2】（2022山东济宁模拟）已知集合，则下列关系中正确的是ABCD题型二 子集、真子集、空集的概念【例3】（2022南京市第十三中学高一月考）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）A16B15C8D7【例题4】（2022河南郑州高一期末）定义，设集合A0，1，集合B1，2，3，则A*B集合的真子集的个数是（）A14B

5、15C16D17【例5】（2023渝中重庆巴蜀中学高三月考）已知集合，非空集合满足：（1）；（2）若，则，则集合的个数是（ ）A7B8C15D16【变式1】（2023江苏无锡高一专题检测）已知集合，则满足条件的A的个数为（）A16B15C8D7【变式2】（2022福建省南安市柳城中学高一月考）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）A32B4 C5 D31题型三 与空集有关的问题【例题6】（2022湖北武汉一中高一期中）以下四个选项中，所表示的集合不是空集的是A B CD【例7】（2023江苏高一专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是_.【变式1】（2022陕西宝鸡高一课时练习）下列命题：

6、空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A.其中正确的个数是（ ）A0B1C2D3【变式2】（2022银川一中高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（ ）ABCD题型四 集合关系的应用【例8】（2020广西象州县中学高一阶段检测）已知，且不是空集，（1）求集合的所有可能情况； （2）求、的值.【例9】（2021河北保定高一检测）设，集合，且，求实数x，y 的值【例题10】（2022江苏常州高一月考）设集合，且(1)求实数的取值范围；(2)当时，求集合A的子集的个数【变式1】（2022银川一中高一课时检测）已知集合，若，则实数组成的集合为（）ABCD【变式2】（2

7、020曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）已知M=x| -2x5， N=x| a+1x2a-1.（1）若MN，求实数a的取值范围；（2）若MN，求实数a的取值范围.题型五：根据集合的相等关系求参数【例题11】（2023山西大同高三专题模拟）已知集合，则与集合相等的集合为（）ABCD【例12】（2022四川绵阳高一专题练习）（1）已知集合，当，求的值；（2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【变式1】（2022江苏高一检测）已知集合与集合a2，a+b，0是两个相等的集合，求a2 020+b2 020的值.【变式2】（2023湖北武汉高一检测）（1）已知集合Ax|mx22x+30，mR，若A有且只有

8、两个子集，求m的值（2）若a，bR，集合，求ba的值2023年初高中衔接素养提升专题讲义第七讲 集合间的基本关系（精讲）（解析版）【知识点透析】一、子集与真子集的定义与表示1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)【注意】（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系例如：A

9、1,2，B1,3，因为2A，但2B，所以A不是B的子集；同理，因为3B，但3A，所以B也不是A的子集二、空集1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集2、0，0，的关系与0与0与相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点是集合；0是实数中不含任何元素；0含一个元素0不含任何元素；含一个元素，该元素是关系00或三、子集的性质（1）规定：空集是任意一个集合的子集也就是说，对任意集合A，都有A.（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即

10、AA.（3）如果AB，BC，则AC.（4）如果AB，BC，则AC.【注意】空集是任何集合的子集，因此在解AB(B)的含参数的问题时，要注意讨论A和A两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面四、子集的个数如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个（2）A的非空子集的个数有2n1个（3）A的真子集的个数有2n1个（4）A的非空真子集的个数有2n2个五、韦恩图在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。【注意】（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要

11、注意区分大小关系。【知识点精讲】题型一 集合间关系的判断【例题1】（2022四川绵阳高一单元测试）已知集合，则下列选项中说法不正确的是（）ABCD【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.【详解】由题意得，集合所以，B错误；由于空集是任何集合的子集，所以A正确；因为，所以C、D中说法正确故选：B【例题2】（2022山东泰安高一检测）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（）ABCD【答案】D【解析】由图可得，由选项即可判断.【详解】解：由图可知：，由选项可知：，故选：D.【变式1】(2022宝鸡市高一检测模拟）已知集合，则下列关系正确的是（

12、 ）A B C D【答案】C【解析】因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：C.【变式2】（2022山东济宁模拟）已知集合，则下列关系中正确的是ABCD【答案】C【解析】集合，中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故错误；中，不成立，不对，故错误；中，空集是任何集合的子集，故正确；中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故错误；故选C题型二 子集、真子集、空集的概念【例3】（2022南京市第十三中学高一月考）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）A16B15C8D7【答案】D【解析】由题意得集合所以集合的真子集个数为：故选：D【例题4】（2022河南郑州高一期末）定义，

13、设集合A0，1，集合B1，2，3，则A*B集合的真子集的个数是（）A14B15C16D17【答案】B【分析】先求出集合A*B1，2，3，4，由公式求出集合A*B的真子集的个数【详解】A0，1，B1，2，3，A*BZ|Zxy+1，xA，yB1，2，3，4，则A*B集合的真子集的个数是24115个，故选：B【例5】（2023渝中重庆巴蜀中学高三月考）已知集合，非空集合满足：（1）；（2）若，则，则集合的个数是（ ）A7B8C15D16【答案】C【解析】满足条件的集合应同时含有或或或0，又因为集合非空，所以集合的个数为个【变式1】（2023江苏无锡高一专题检测）已知集合，则满足条件的A的个数为（）A

14、16B15C8D7【答案】A【分析】根据题意A中必须有1，2这两个元素，因此A的个数应为集合4，5，的子集的个数【详解】解：因为，集合A中必须含有1，2两个元素，可以含有元素3，4，5，6，因此满足条件的集合A为，2，2，2，2，2，3，2，3，2，3，2，4，2，4，2，5，2，3，4，2，3，4，2，3，5，2，4，5，2，3，4，5，共16个故选：A【变式2】（2022福建省南安市柳城中学高一月考）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）A32B4 C5 D31【答案】D【解析】解：因为，且的约数有1，2，3，4，6，12，当时，则，故不符题意，舍去，当时，则，故符合题意，当时，则，故符合

15、题意，当时，则，故符合题意，当时，则，故符合题意，当时，则，故符合题意，所以，所以集合A的真子集个数为.故选：D题型三 与空集有关的问题【例题6】（2022湖北武汉一中高一期中）以下四个选项中，所表示的集合不是空集的是A B CD【答案】B【分析】根据空集含义逐一判断.【详解】表示空集, 表示以空集为元素的集合，不是空集；因为无实数解，所以；故选：B【例7】（2023江苏高一专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】解：分两种情况考虑：若B不为空集，可得：，解得：，且，解得：，若B为空集，符合题意，可得：，解得：.综上，实数m的取值范围是.【变式1】（2022陕西宝鸡高一

16、课时练习）下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则A.其中正确的个数是（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】错，空集是任何集合的子集，有；错，如只有一个子集；错，空集不是空集的真子集；正确，因为空集是任何非空集合的真子集故选：B【变式2】（2022银川一中高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（ ）ABCD【答案】D【解析】选项A，；选项B，；选项C，；选项D，方程无解，.选:D.题型四 集合关系的应用【例8】（2020广西象州县中学高一阶段检测）已知，且不是空集，（1）求集合的所有可能情况； （2）求、的值.【答案】（1）或或；（2）或或.【解析】

17、（1）解出集合，根据且可得出所有可能的集合；（2）根据（1）中集合所有可能的情况，结合韦达定理可求得、的值.【详解】（1），且，则或或；（2）若，由韦达定理可得，解得；若，由韦达定理可得，解得；若，由韦达定理可得，解得.综上所述，或或.【例9】（2021河北保定高一检测）设，集合，且，求实数x，y 的值【答案】或【解析】由得 : 解得 或 【例题10】（2022江苏常州高一月考）设集合，且(1)求实数的取值范围；(2)当时，求集合A的子集的个数【答案】(1)或 (2)【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；（2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数（1）当即时，符合题意；当时，

18、有，解得综上实数的取值范围是或；（2）当时，所以集合的子集个数为个【变式1】（2022银川一中高一课时检测）已知集合，若，则实数组成的集合为（）ABCD【答案】C【分析】若，所以或，解出的值，将的值代入集合，检验集合的元素满足互异性.【详解】因为，所以，解得，或，解得，当时，满足题意.当时，不满足集合的互异性.当时，若，满足题意.当时，若，满足题意.故选：C.【变式2】（2020曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）已知M=x| -2x5， N=x| a+1x2a-1.（1）若MN，求实数a的取值范围；（2）若MN，求实数a的取值范围.【答案】（1）空集；（2）.【解析】（1）由得：无解；故实数的

19、取值范围为空集；（2）由得：当时，即；当时，故；综上实数的取值范围为.题型五：根据集合的相等关系求参数【例题11】（2023山西大同高三专题模拟）已知集合，则与集合相等的集合为（）ABCD【答案】D【分析】求出每个选项的集合，即可比较得出.【详解】对A，故A错误；对B，故B错误；对C，故C错误；对D，故D正确.故选：D.【例12】（2022四川绵阳高一专题练习）（1）已知集合，当，求的值；（2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）若，则，不合题意；若，则或，当时，当时，不合题意；若，则或，都不合题意；因此，所以.（2），借助数轴可得，的取值范围为.【变式1

20、】（2022江苏高一检测）已知集合与集合a2，a+b，0是两个相等的集合，求a2 020+b2 020的值.【答案】a2 020+b2 020=1【解析】由a，1组成一个集合，可知a0，a1，由题意可得0，即b0，此时两集合中的元素分别为a，0，1和a2，a，0，因此a21，解得a1 (a1不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a1，且b0，所以a2 020b2 020(1)2 02001.【变式2】（2023湖北武汉高一检测）（1）已知集合Ax|mx22x+30，mR，若A有且只有两个子集，求m的值（2）若a，bR，集合，求ba的值【答案】（1）0或；（2）2.【解析】（1）集合Ax|mx22x+30，mR，若A有且只有两个子集，则方程mx22x+30有且只有一个根，当m0时，满足，当412m0，即m，满足，故m的值为0或，（2）a、bR，集合1，a+b，a0，b，则a0，即a+b0，则ba，此时1，0，a0，1，b，则a1，b1，ba2.