2023届初升高数学衔接专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）含解析.docx

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1、2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（原卷版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式 一元二次方程，用配方法将其变形为：，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：(1) 当=时，方程有两个不相等的实数根：(2) 当=时，因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当=时，因此，方程没有实数根【知识点精讲】【例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根【变式1】（2022秋重庆开州八年级统考期中）使得关于x的不等式组6x-a-10-1+1

2、2x-18x+32有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程(a-5)x2+4x+1=0有实数根的所有整数a的值之和为（）A35B30C26D21【变式2】已知关于x的一元二次方程：x2（2k+1）x+4（k-12）0（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC的一边长a4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求ABC的周长【例2】已知实数、满足，试求、的值【变式1】（2022秋湖北武汉八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a，b，c满足a2+6b=7，b2-2c=-1，c2-2a=-17，则a-b+c的值为（）A-1B5C6D-7【变式2】（2022秋江苏扬州八年级统考期中）

3、新定义，若关于x的一元二次方程：m(x-a)2+b=0与n(x-a)2+b=0，称为“同类方程”如2(x-1)2+3=0与6(x-1)2+3=0是“同类方程”现有关于x的一元二次方程：2(x-1)2+1=0与(a+6)x2-(b+8)x+6=0是“同类方程”那么代数式ax2+bx+2022能取的最大值是_2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：所以：，韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：【知识点精讲】【例3】若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，等等韦达定理体现了整

4、体思想【例4】已知关于x的方程.（1）若，方程两根分别为，求和的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.【变式1】已知两不等实数a，b满足，求的值.【变式2】（2022秋浙江杭州八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于1的实数，使得关于x的方程x22（m2）xm23m30有两个实数根x1，x2(1)若x12+x22=2，求m的值；(2)令Tmx11-x1mx21-x2，求T的取值范围【变式3】已知是一元二次方程的两个实数根（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值【变式4】（2022秋四川凉山八年级校考阶段练

5、习）设一元二次方程x2-2022x+1=0的两根分别为a，b，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab=1，记S1=11+a+11+b,S2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+S100=_2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式 一元二次方程，用配方法将其变形为：，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：(1) 当=时，方程有两个不相等的实数根：(2) 当=时，因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当=时，因此，方程没有实

6、数根【知识点精讲】【例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根【解析】：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【变式1】（2022秋重庆开州八年级统考期中）使得关于x的不等式组6x-a-10-1+12x-18x+32有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程(a-5)x2+4x+1=0有实数根的所有整数a的值之和为（）A35B30C26D21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范

7、围找出满足条件的整数相加即可【详解】解：整理不等式组得：6x-a-10-8+4x-x+12由得：xa-106，由得：x4不等式组有且只有4个整数解，不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，-1a-1060，解得：4a10，(a-5)x2+4x+1=0有实数根，=b2-4ac=16-4(a-5)1=36-4a0,解得：a9，方程(a-5)x2+4x+1=0是一元二次方程，a54a9，且a5，满足条件的整数有：6、7、8、9；6+7+8+9=30，故选：B【变式2】已知关于x的一元二次方程：x2（2k+1）x+4（k-12）0（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC的一边长a4，另两

8、边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求ABC的周长【解答】（1）证明：（2k+1）2414（k-12）4k212k+9（2k3）2，无论k取什么实数值，（2k3）20，0，无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：x=2k+1(2k-3)2，x12k1，x22，b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b2k1，c2，当a、b为腰，则ab4，即2k14，解得k=52，此时三角形的周长4+4+210；当b、c为腰时，bc2，此时b+ca，故此种情况不存在综上所述，ABC的周长为10【例2】已知实数、满足，试求、的值【解析】：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：由于是实数，所以上述方程有实数根

9、，因此：，代入原方程得：综上知：【变式1】（2022秋湖北武汉八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a，b，c满足a2+6b=7，b2-2c=-1，c2-2a=-17，则a-b+c的值为（）A-1B5C6D-7【答案】B【分析】首先把a2+6b=7，b2-2c=-1，c2-2a=-17，两边相加整理成a2+6b+b2-2c+c2-2a+11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a、b、c的数值，代入求得答案即可【详解】解：a2+6b=7，b2-2c=-1，c2-2a=-17，a2+6b+b2-2c+c2-2a=-11，a2+6b+b2-2c+c2-2a+11=0(a-1)2+(b+3)2+(c-

10、1)2=0，a=1，b=-3，c=1，a-b+c=1+3+1=5故选：B【变式2】（2022秋江苏扬州八年级统考期中）新定义，若关于x的一元二次方程：m(x-a)2+b=0与n(x-a)2+b=0，称为“同类方程”如2(x-1)2+3=0与6(x-1)2+3=0是“同类方程”现有关于x的一元二次方程：2(x-1)2+1=0与(a+6)x2-(b+8)x+6=0是“同类方程”那么代数式ax2+bx+2022能取的最大值是_【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值【详解】2(x-1)2+1=0与(a+6)x2-(b+8)x+6=0是“同类方程”，(a

11、+6)x2-(b+8)x+6=(a+6)(x-1)2+1，(a+6)x2-(b+8)x+6=(a+6)x2-2(a+6)x+a+7，b+8=2a+66=a+7，解得：a=-1b=2，ax2+bx+2022=-x2+2x+2022=-x-12+2023当x=1时，ax2+bx+2022取得最大值为2023故答案为：20232、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的两个根为：所以：，韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：【知识点精讲】【例3】若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：(1) (2) (3) (4) 常

12、见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，等等韦达定理体现了整体思想【例4】已知关于x的方程.（1）若，方程两根分别为，求和的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.【答案】（1）， （2） 【解析】（1）由，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当时，即：因此：（2）【变式1】已知两不等实数a，b满足，求的值.【解析】：是一元二次方程的不等实根则有原式=【变式2】（2022秋浙江杭州八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于1的实数，使得关于x的方程x22（m2）xm23m30有两个实数

13、根x1，x2(1)若x12+x22=2，求m的值；(2)令Tmx11-x1mx21-x2，求T的取值范围【答案】(1)1 (2)0T4且T2【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围(1)关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，=4（m-2）2-4（m2-3m+3）0，解得m1，m

14、是不小于-1的实数，-1m1，方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1x2=m2-3m+3x12+x22=2，（x1+x2）2-2x1x2=2，4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），m的值为1；(2)Tmx11-x1mx21-x2，=mx1(1-x2)+mx2(1-x1)(1-x1)(1-x2)=m(x1+x2)-2x1x21-(x1+x2)+x1x2=m(4-2m-2m2+6m-6)1-4+2m+m2-3m+3=-2m(m-1)2m2-m=-2m(m-1)2m

15、(m-1)=2-2m当x=1时，方程为12（m2）m23m30，解得m=1或m=0当m=1或m=0时，T没有意义-1m1且m002-2m4且T2即0T4且T2【变式3】已知是一元二次方程的两个实数根（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值【答案】（1）不存在k；理由见解析；（2）【详解】（1）假设存在实数k，使成立一元二次方程的两个实数根，又，是一元二次方程的两个实数根，但 不存在实数k，使成立（2）要使其值是整数，只需能整除4，注意到，要使的值为整数的实数k的整数值为2，3，5所以的值为【变式4】（2022秋四川凉山八年级校

16、考阶段练习）设一元二次方程x2-2022x+1=0的两根分别为a，b，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab=1，记S1=11+a+11+b,S2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+S100=_【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a,b2=1a2,b3=1a3,b100=1a100，代入计算即可【详解】一元二次方程x2-2022x+1=0的两根分别为a，b，ab=1，b=1a,b2=1a2,b3=1a3,b100=1a100，S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，S1+S2+S3+S100=1+1+1+1100=100，故答案为：100