第2023届初升高数学衔接专题讲义二讲 分式和根式类问题的延伸（精讲）含答案.docx

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1、2023年初高中衔接素养提升专题讲义第二讲 分式和根式类问题的延伸（精讲）（原卷版）【知识点透析】【知识点一】 分式的相关知识1分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质：； 2繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式【知识点精讲】【例1】若，求常数的值【变式1】（2022四川九年级专题检测）已知实数x、y满足x-3+y2-4y+4=0，求代数式x2-y2xy1x2-2xy+y2xx2y-xy2的值【例2】（2022安徽合肥七年级期末）观察下列各式：112=1-12；123=12-13； 134=13-14；145=14-15（1）请用以上规律

2、计算：12+16+112+120+190=_；（2）若1(m+1)(m+2)+1(m+2)(m+3)+1(m+3)(m+4)+1(m+2020)(m+2021)=1m+2021，求m的值【变式1】（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有【变式2】（2022广西百色七年级期末）下列一组方程：x+2x=3，x+6x=5，x+12x=7，小晶通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利的求出了前三个方程的解，她的解题过程如下：由得：x+12x=1+2，解是x=1或x=2;由得：x+23x=2+3，解是x=2或x=3;由得：x+34x=3+4，解是x=3或x=4

3、.请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题：（1）第个方程是 ，解是： ；（2）若n为正整数，则第n个方程是 ，解是： ；（3）若n为正整数，求关于x的方程x+n2+nx-3=2n+4的解【例3】（2022安徽合肥二模）观察下列不等式：122112；132123；142134；根据上述规律，解决下列问题：（1）完成第5个不等式：_；（2）写出你猜想的第n个不等式：_(用含n的不等式表示)；（3）利用上面的猜想，比较n+2n+12和1n的大小【例4】（2022山东济宁市第十五中学八年级阶段练习）阅读下面的解题过程：已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值解：xx2+1=13知x0，所以x2+1x

4、=3，即x+1x=3所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2-2=32-2=7故x2x4+1的值为17该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知：aa2-5a+1=14，求a2a4+3a2+1的值【知识点二】根式类问题一、基本知识一般地，形如的代数式叫做二次根式其性质如下： (1) (2) (3) (4) 二次根式的意义二、拓展知识2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：.2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，

5、如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有：与 与【知识点精讲】【例5】将下列式子化为最简二次根式：（1）； （2）； （3）【变式1】（2022重庆八中九年级阶段练习）与最接近的整数是（）A3B4C5D6【变式2】化简下列各式：(1) (2) 【例6】阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：方法二：（1）请用两种不同的方法化简：；（2）化简：【变式1】化简：【变式2】 （2022湖南衡阳九年级）满足不等式的整数m的个数是_【变式3】（2022江苏八年级专题练习）观察下列二次根式化简：1，从中找出规律

6、并计算_【例7】（2021全国九年级专题检测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”材料一：平方运算和开方运算是互逆运算如a22ab+b2（ab）2，那么，如何将双重二次根式化简我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(2，5)的“横负纵变点”为(2，5)问题：（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；（2）化简：【变式1】先阅读然

7、后解答问题：化简解：原式根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简：（2）化简：【变式2】化简：（1）； （2）【例 8】已知，求的值 【变式1】：先化简，再求值：，其中x1+，y12023年初高中衔接素养提升专题讲义第二讲 分式和根式类问题的延伸（精讲）（解析版）【知识点透析】【知识点一】 分式的相关知识1分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质：； 2繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式【知识点精讲】【例1】若，求常数的值【解析】： ， 解得 【变式1】（2022四川九年级专题检测）已知实数x、y满足x-3+y2-4y+4=0，

8、求代数式x2-y2xy1x2-2xy+y2xx2y-xy2的值【答案】53【分析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可【详解】解：x2-y2xy1x2-2xy+y2xx2y-xy2=(x+y)(x-y)xy1(x-y)2xy(x-y)x=x+yx，x-3+y2-4y+4=0，x-3+(y-2)2=0，x=3，y=2，原式=3+23=53【例2】（2022安徽合肥七年级期末）观察下列各式：112=1-12；123=12-13； 134=13-14；145=14-15（1）请用以上规律计算：12+16+112+120+190=_；（2）若1(m+1)(m+2

9、)+1(m+2)(m+3)+1(m+3)(m+4)+1(m+2020)(m+2021)=1m+2021，求m的值【答案】（1）910；（2）2019【分析】（1）将12+16+112+120+190化解为题目中的规律的形式，根据规律计算即可；（2）根据题意规律计算即可求m得值【详解】解：（1）12+16+112+120+190，=112+123+134+145+.+1910，=1-12+12-13+13-14+14-15+.+19-110，=1-110，=910；故答案为：910；（2）由规律可得1m+1-1m+2+1m+2-1m+3+1m+3-1m+4+1m+2020-1m+2021=1m+

10、2021即1m+1-1m+2021=1m+2021解得：m=2019，检验：当m=2019时，m+1m+20210，m=2019是原分式方程的解m的值为2019【变式1】（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有【解析】（1）证明：， （其中n是正整数）成立（2）解：由（1）可知 （3）证明：， 又n2，且n是正整数， 一定为正数，【变式2】（2022广西百色七年级期末）下列一组方程：x+2x=3，x+6x=5，x+12x=7，小晶通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利的求出了前三个方程的解，她的解题过程如下：由得：x+12x=1+2，解是x=1或x

11、=2;由得：x+23x=2+3，解是x=2或x=3;由得：x+34x=3+4，解是x=3或x=4.请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题：（1）第个方程是 ，解是： ；（2）若n为正整数，则第n个方程是 ，解是： ；（3）若n为正整数，求关于x的方程x+n2+nx-3=2n+4的解【答案】（1）x+45x=4+5；x=4或x=5；（2）x+n(n+1)x=n+n+1；x=n或x=n+1；（3）方程的解是x=n+3或x=n+4【分析】（1）根据已知方程的规律即可写出结论；（2）根据已知方程的规律即可写出结论；（3）将方程两边同时减去3，类比已知方程规律可得x-3=n或x-3=n+1，从而得出结论

12、【详解】解：（1）x+45x=4+5,解是：x=4或x=5经检验：x=4或x=5是原方程的解故答案为：x+45x=4+5； x=4或x=5；（2）x+n(n+1)x=n+n+1,解是：x=n或x=n+1经检验：x=n或x=n+1是原方程的解故答案为：x+n(n+1)x=n+n+1；x=n或x=n+1；（3）x+n2+nx-3=2n+4x-3+n(n+1)x-3=n+n+1 则x-3=n或x-3=n+1 解得：x=n+3或x=n+4,经检验，x=n+3或x=n+4是原方程的解所以，方程的解是x=n+3或x=n+4【例3】（2022安徽合肥二模）观察下列不等式：122112；132123；1421

13、34；根据上述规律，解决下列问题：（1）完成第5个不等式：_；（2）写出你猜想的第n个不等式：_(用含n的不等式表示)；（3）利用上面的猜想，比较n+2n+12和1n的大小【答案】（1）162156；（2）1n+121nn+1；（3）n+2n+121n【分析】(1)根据给出的不等式写出第5个不等式；(2)根据不等式的变化情况找出规律，根据规律解答；(3)根据(2)中的规律计算，即可比较大小【详解】(1)122112， 132123， 142134， ，则第5个不等式为：162156，故答案为：162156；(2)第n个不等式为：1n+121nn+1，故答案为：1n+121nn+1； (3)n+

14、2n+121n，其理由是：由(2)得：1n+121nn+1，即1n+121n-1n+1，1n+12+1n+11n，1n+12+n+1n+121n，则n+2n+121n【例4】（2022山东济宁市第十五中学八年级阶段练习）阅读下面的解题过程：已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值解：xx2+1=13知x0，所以x2+1x=3，即x+1x=3所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2-2=32-2=7故x2x4+1的值为17该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知：aa2-5a+1=14，求a2a4+3a2+1的值【答案】182【分析】由aa2-5a+1=14同时取倒数

15、，可得a2-5a+1a=4，方程左侧分子、分母同时除以a，可得a+1a=9，a2a4+3a2+1取倒数后分子、分母同时除以a可得a2+3+1a2，化为完全平方公式的形式得a+1a2+1，将a+1a=9的值代入即可求解【详解】解：由aa2-5a+1=14知a0，a2-5a+1a=4，即a+1a=9，a4+3a2+1a2=a2+3+1a2=a+1a2+1=92+1=82a2a4+3a2+1=182【知识点二】根式类问题一、基本知识一般地，形如的代数式叫做二次根式其性质如下： (1) (2) (3) (4) 二次根式的意义二、拓展知识2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例

16、如：，是无理式，而不是无理式2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：.2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有：与 与【知识点精讲】【例5】将下列式子化为最简二次根式：（1）； （2）； （3）【解析】： （1）； （2）； （3）【变式1】（2022重庆八中九年级阶段练习）与最接近的整数是（）A3B4C5D6【答案】C解：原式=，496364， ， ，最接近8，最接近8-3即5，故选：C【变式2】化简下列各式：(1) (2) 【解析】：(1) 原式=*

17、(2) 原式=【例6】阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：方法二：（1）请用两种不同的方法化简：；（2）化简：【解答】解：（1）方法一：原式；方法二：原式；（2）原式（+）（）【变式1】化简：【解析】解：原式 【变式2】 （2022湖南衡阳九年级）满足不等式的整数m的个数是_【答案】7解：， ，m，3.312m10.472，3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，整数m的个数是7，故答案为：7【变式3】（2022江苏八年级专题练习）观察下列二次根式化简：1，从中找出规律并计算_【答案】解：原式，

18、故答案是：2021【例7】（2021全国九年级专题检测）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”材料一：平方运算和开方运算是互逆运算如a22ab+b2（ab）2，那么，如何将双重二次根式化简我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(2，5)的“横负纵变点”为(2，5)问题：（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；（2）化简：【答案】（1），；（2）；解：（1）根据题目意思， 和,点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为，故答案为：，；（2）2+5=7,25=10, ；【变式1】先阅读然后解答问题：化简解：原式根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简：（2）化简：【解答】解：（1），2；（2）（）2，4+2+4，8+2，10，【变式2】化简：（1）； （2） 【解析】（1）原式 （2）原式=，所以，原式【例 8】已知，求的值 【解析】：，【变式1】：先化简，再求值：，其中x1+，y1【解析】解：（2）原式，来源:学科网ZXXK当x1+，y1时，原式