2023届初升高数学衔接专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）含答案1.docx

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1、2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲 因式分解的拓展（精讲）（原卷版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。【方法精讲】一提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来符号语言：【例1】 因式分解【变式】 因式分解【例2】 计算【变式1】（2022广东汕头一模）已知，则_【变式2】（2022湖南娄底七年级期中）因式分解：；二公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解常见的公式如下：（1）a2b2=_；（平方差公式）（2）a22ab+b2=_；（完全平方公式（两个数）（3）a3b

2、3=_；（立方和差公式）（4）a33a2b+3ab2b3=_；（完全立方公式）（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=_；（完全平方公式（三个数）【例3】 因式分解 【变式】（2022福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)4a2-16a+16； (2)a2x-y+16y-x【例4】（2022上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解： （2）因式分解：（3）已知：的值【

3、变式1】 因式分解 【变式2】分解下列因式(1) (2) 【变式3】分解因式：(1) (2) 三十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式【例5】（2022上海闵行七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式x2+a+bx+ab可用十字相乘法方法得出x2+a+bx+ab=x+ax+b，用上述方法将下列各式因式分解：(1)x2+5xy-6y2=_(2)x2-4a+2x+3a2+6a=_(3)x2-b5x-a-6b-a2=_(4)2018x2-20172019x-1=_【例6】（2023山东济宁八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于

4、因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：【方法探究】对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数所以例如，分解因式：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5 所以）类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解例如，分解因式：分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项6分解成1与6（或6与1，2与3，3与2）的积，但只有当2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数1

5、所以【方法归纳】一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式即 我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)； (2)； (3)【变式1】 将下列各式分解因式（1） ；（2）【变式2】（1）；（2）【变式3】把下列各式因式分解：(1) (2) 【例7】（提高型）：分解因式.【变式】（1）； （2）.四、分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体

6、分解（先部分后整体的分解方法）【例8】（2022甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法分解因式的方法还有许多，如分组分解法它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性能预见到下一步能继续分解例如：（1）；（2）【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）；（2）【拓展应用】已知：，求：的值 将下列各式分解因式（1）；（2）【例9】分解因式： （1）；（2）【变式】（1）；（2）五换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分

7、用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】（2022福建漳州八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法对于解法一：设，则原式；解法二：设，则原式请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)求证：多项式的值一定是非负数【变式1】 将下列各式分解因式（1）；（2）【变式2】（1）x67x38（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1六配方法【例题11】（2022上海七年级期末）阅读

8、理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式但对于二次三项式，就不能直接运用公式了此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”请利用“配方法”进行因式分解：(1)；(2)七因式分解的应用【例题12】（2022江苏扬州七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数能表示成（a，b是正整数，）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解，例如，所以是“明礼崇德数”与是的平方差分解；再如：(为正整数），所以也是“明礼崇

9、德数”，（）与是的一个平方差分解(1)判断 “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知与是的一个平方差分解，求代数式P；(3)已知（是正整数，是常数，且），要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的值，并说明理由【例题13】已知，求的值【变式1】（1）因式分解：（2）先化简，再求值：，其中【变式2】（2022湖北十堰八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x24xm有一个因式是x3，求另一个因式及m的值解：设另一个因式为xn，依题意得x24xm（x3）（xn）即x24xmx2（n3）x3n，比较系数得：，解得另一个因式为x7，m的值为21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x23x

10、k有一个因式是2x1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x213xp有一个因式x4，则p 2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲 因式分解的拓展（精讲）（解析版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。【方法精讲】一提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来符号语言：【例1】 因式分解【解析】提取公因式，原式=【变式】 因式分解【解析】提取公因式，原式=【例2】 计算【解析】原式=【变式1】（2022广东汕头一模）已知，则_【答案】【解析】m+n=4，mn=-5，m2n+mn2=mn（m+

11、n）=-54=-20故答案为：-20【变式2】（2022湖南娄底七年级期中）因式分解：；【答案】【解析】：；二公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解常见的公式如下：（1）a2b2=_；（平方差公式）（2）a22ab+b2=_；（完全平方公式（两个数）（3）a3b3=_；（立方和差公式）（4）a33a2b+3ab2b3=_；（完全立方公式）（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=_；（完全平方公式（三个数）【例3】 因式分解 【解析】法一：原式=法二：原式=【变式】（2022福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)4a2-16a+16； (2)a2x-y+16y-x

12、【答案】(1)4a-22； (2)x-ya+4a-4【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为a2x-y-16x-y，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可（1）解：4a2-16a+16=4a2-4a+4=4a-22；（2）解：a2x-y+16y-x=a2x-y-16x-y =x-ya2-16 =x-ya+4a-4；【例4】（2022上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：立方差公式：如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，

13、请完成下列问题：（1）因式分解： （2）因式分解：（3）已知：的值【答案】（1）（ab）（a2abb2）（a6a3b3b6）；（2）（ab）（ab）（a4a2b2b4）（3）322【详解】（1）因式分解：a9b9（a3）3（b3）3（a3b3）（a6a3b3b6）（ab）（a2abb2）（a6a3b3b6）；（2）因式分解：a6b6（a2）3（b2）3（a2b2）（a4a2b2b4）（ab）（ab）（a4a2b2b4）；（3）ab3，ab1，a2b2（ab）22ab7，a6b6=（a2b2）（a4a2b2b4）（ab）22ab（a2b2）22a2b2a2b27（4931）322【变式1】 因式

14、分解 【答案】原式=【解析】原式=【变式2】分解下列因式(1) (2) 【解析】：(1) (1) 【变式3】分解因式：(1) (2) 【解析】：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或(1) (2) 三十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式【例5】（2022上海闵行七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式x2+a+bx+ab可用十字相乘法方法得出x2+a+bx+ab=x+ax+b，用上述方法将下列各式因式分解：(1)x2+5xy-6y2=_(2)x2-4a+2x+3a2+6a=_(3)x2-b5x-a-6b-

15、a2=_(4)2018x2-20172019x-1=_【答案】(1)(x-y)(x+6y) (2)(x-3a)(x-a-2) (3)(x+a-3b)(x-a-2b) (4)(20182x2+1)(x-1)【分析】（1）将-6y2改写成-y6，然后根据例题分解即可；（2）将3a2+6a改写成-3a-a+2，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将ab+6b2-a2改写-3b+a-2b-a，然后根据例题分解即可；（4）将20172019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=x2+(-y+6y)x+-y6y=(x-y)(x+6y)；(2)解：原式=x2+-3a

16、-a+2x+-3a-a+2=(x-3a)(x-a-2)；(3)解：原式=x2-5bx+ab+6b2-a2=x2-5bx+3b-a2b+a=x2+-3b+a+-2b-ax+-3b+a-2b-a=(x+a-3b)(x-a-2b)；(4)解：原式=2018x2-2018-12018+1x-1=20182x2-20182-1x-1=20182x2+1-20182x-1=(20182x+1)(x-1) 【例6】（2023山东济宁八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：【方法探究】对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解

17、成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数所以例如，分解因式：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5 所以）类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解例如，分解因式：分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项6分解成1与6（或6与1，2与3，3与2）的积，但只有当2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数1所以【方法归纳】一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角

18、和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式即 我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)； (2)； (3)【答案】(1)（x2）（x3） (2)（2x3）（5x7） (3)（x1）（x3）【解析】(1)=（x2）（x3）(2)=（2x3）（5x7）(3)=（x1）（x3）【变式1】 将下列各式分解因式（2） ；（2）【解析】（1）原式=；（2）原式=【变式2】（1）；（2）【答案】（1）原式=；（2）原式=【变式3】把下列各式因式分解：(1) (2) 【解析

19、】：(1) (2)【例7】（提高型）：分解因式.【解析】设=，=，=，对比左右两边相同项的系数可得，解得.原式=.【变式】（1）； （2）.解：原式= 原式=四 分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）【例8】（2022甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法分解因式的方法还有许多，如分组分解法它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性能预见到下一步能继续分解例如：（1）；

20、（2）【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）；（2）【拓展应用】已知：，求：的值【答案】（1）；（2）；【拓展应用】【详解】（1）（2）【拓展应用】，代入得：原式= 将下列各式分解因式（1）；（2）【答案】（1）原式=（2）原式=【解析】（1）原式=；（2）原式=【例9】分解因式： （1）；（2）解：（1）= 或 （2）=或 = =【变式】（1）；（2）【答案】（1）原式=（2）原式=【解析】（1）原式=（2）原式=五换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】（2022福建漳州八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把

21、多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法对于解法一：设，则原式；解法二：设，则原式请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)求证：多项式的值一定是非负数【答案】(1)（1） (2)(3)见解析【解析】(1)解：解法一：设，则原式 ；方法二：设，则原式；(2)解：设，则原式；(3)解：，设，则原式，多项式的值一定是非负数【变式1】 将下列各式分解因式（1）；【答案】原式=（2）【解析】原式=【变式2】（1）x67x38（2）（x+1）（x

22、+2）（x+3）（x+4）+1【解析】（1）原式=；（2）原式=六配方法【例题11】（2022上海七年级期末）阅读理解：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式但对于二次三项式，就不能直接运用公式了此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”请利用“配方法”进行因式分解：(1)；(2)【答案】(1)(2)【解析】(1)原式；(2) 七因式分解的应用【例题12】（2022江苏扬州七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数能表示成（

23、a，b是正整数，）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解，例如，所以是“明礼崇德数”与是的平方差分解；再如：(为正整数），所以也是“明礼崇德数”，（）与是的一个平方差分解(1)判断 “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知与是的一个平方差分解，求代数式P；(3)已知（是正整数，是常数，且），要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的值，并说明理由【答案】(1)是 (2) (3)k=-19【解析】(1) 解，9是“明礼崇德数”； 故答案为：是(2)解： ；(3)解： 是“明礼崇德数”，19+k=0，k=-19【例题13】已知，求的值【答案】【解析】【分析】先利用提公因

24、式法把进行因式分解，再代入计算即可【详解】解：，又，【变式1】（1）因式分解：（2）先化简，再求值：，其中【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可【详解】（1）原式=x+1；（2）原式=，当时，原式=【变式2】（2022湖北十堰八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x24xm有一个因式是x3，求另一个因式及m的值解：设另一个因式为xn，依题意得x24xm（x3）（xn）即x24xmx2（n3）x3n，比较系数得：，解得另一个因式为x7，m的值为21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x23xk有一个因式是2x1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x213xp有一个因式x4，则p 【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20(1)解：（1）设另一个因式为x+m，则2x2+3xk（2x1）（ x+m），即2x2+3xk2x2+（2m1）xm，比较系数得：，解得，另一个因式为x+2，k的值为2；(2)解： 设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x213x+p（x4）（2x+m），则2x213x+p2x2+（m8）x4m，解得，故答案为：20