江西省九江市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题含答案.pdf

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1、202122绝密 启封并使用完毕前 九江市 20222023 学年度下学期期末考试试卷 高一数学 高一数学 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第 I 卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40

2、 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.若23i2i3iz ，则|z(C)A.2B.3 2C.2 2D.2 5解:23i2i3ii23i22iz ，22|(2)(2)2 2z，故选 C.2.sciosn1212(D)A.12B.32C.62D.22解:2cossin2cos()2cos121243212.故选 D.3.如图，正方体1111ABCDABC D中，O是底面ABCD的中心，,M N P Q分别为棱1AA，1DD，11AB，11BC的中点，则下列与1BC垂直的是(B)A.OMB.ONC.OPD.OQ解:取AD的中点R，连接NR，OR，则1BCNR，1BCOR，1BC

3、平面ONR，1BCON，故选 B.4.已知非零向量,a b满足|2|ab，且()abb，则a与b的夹角为(C)A.4B.23C.34D.56解:()abb，20()abba bb，2|a bb，22|2cos|22|a bbabb，A1B1 C1 D1 M D C A B N P Q O a与b的夹角为34，故选 C 5.已知4sin5a，4cos5b，4tan5c，则,a b c的大小关系为(D)A.abcB.acbC.cbaD.cab解:4sinsin54，212a，又4coscos54，202b，4tantan154c，cab，故选 D.6.若(0,)，sintan22cos，则tan(

4、A)A.15B.5C.5D.15解:由sintan22cos，得2c2sincos2cossin2os1，(0,)，sin0，22cos12cos12cos，解得1cos4，215sin1 cos4，sintan15cos.故选 A.7.把半径为R的一圆形纸片，自中心处剪去中心角为120的扇形后围成一无底圆锥，则该圆锥的高为（C）A.3RB.23RC.53RD.2 23R解：剪去的扇形弧长为23lR，剩下的扇形弧长为24233RRR，由题意，设围成的圆锥底面半径为r，则423rR，即23rR，母线长为R，所以圆锥的高为2225()33RRR，故选 C.8.在ABC中，已知111tantanta

5、nABC，则cos A的取值范围为(C)A.3(0,4B.1,1)2C.2,1)3D.3,1)4解:由111tantantanABC，得coscoscossinsinsinABCABC，coscossinsincossinsinsinABCBCABCsin()sinsinsinsinsinBCABCBC，2sincossinsinAABC，由正余弦定理得2222cos2bcaaAbcbc，即2223bca，2222cos333bcbcAbcbc，即2cos,1)3A,故选 C.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分

6、，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9.已知非零向量,a b c，则(BCD)A.若a cb c，则abB.若()a acaba b，则acC.若|ab|c，则,a c共线D.若|ab|a|b|，则,a b共线解:由a cb c，得()0abc，即()abc，此时 a b不一定相等，A 错误；222()()0 a aa caa baaa b，ac，B 正确；由共线向量基本定理知,a c共线，C 正确；由|ab|a|b|，得22)|ab|a|b|，即22222 aa bb|a|+2 a|b|b|，则 a b|a|b|，故cos1 a,b，a,b，故,a b共线，D 正确.故选 BCD.1

7、0.若为第四象限角，则(BC)A.cos20B.sin20C.tan02D.cos02解:由为第四象限角，可得32 2 2,2kkkZ，4 324 4kk，3,42kkkZ，sin20，tan02，故选 BC.11.关于函数()cos|sin|f xxx，下列结论正确的是(AC)A.()f x是偶函数B.()f x的最小正周期为 C.()f x在区间(,4)上单调递减D.()f x的最大值为2解:()cos()|sin()|cos|sin|()fxxxxxf x，()f x是偶函数，又当0,x时，()cossin2sin()4f xxxx，故()f x在区间,上的图象如图所示，又(2)()f

8、xf x，()f x的最小正周期为2，()f x在区间(,4)上单调递减，()f x的最大值为2，x y O 1 故选 AC.12.如图，正方体1111ABCDABC D中，12AA，P为线段1BC上的动点，则下列说法正确的是(ACD)A.11B DAP B.11AC 平面1PDD C.三棱锥1PACD的体积为定值 D.1APPC的最小值为62 解:如图 1，连接11AC，1AB，1B D，1AP，易证1B D 平面11ABC，又1AP 平面11ABC，11B DAP，A 正确；如图 2，在平面11BCC B内，过点P作1EFBB，交11,BC BC与,E F，连接1,D E DF，则平面1P

9、DD 即为平面1DD EF，若11AC 平面1PDD，则111ACD E，当E与1B不重合时，11AC与1D E 不垂直.B 错误；如图 3，连接AC，1AD，1CD，易知1BC 平面1ACD，故1ACD的面积及点P到平面1ACD的距离均为定值，三棱锥1PACD的体积为定值，C 正确；如图 4，将11ABC沿1BC展开，使得11,A B C C,四点共面，连接1AC，则1162APPCAC，D 正确.故选 ACD.第卷 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知(1)(2)izmm在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(1,2).解:要使复数z在复平面内

10、对应的点在第四象限，应满足1020mm，解得12m.14.已知向量(1,1)a，(2,1)b，则ab在a方向上的投影数量为5 22 A B C D A1 B1 C1 D1 P.A B C D A1 B1 C1 D1 P.图 1 A B C D A1 B1 C1 D1 P.E F 图 2 A B C D A1 B1 C1 D1 P.图 3 A1 B C1 C 图 4 解:(3,2)ab，()1 3(1)(2)5 aab，ab在a方向上的投影数量为()55 2|22aaba.15.ABC的内角A B C,的对边分别为a b c,，已知3(sinsin)bcaBC，2228bca，则ABC的面积为2

11、2 解:由3(sinsin)bcaBC及正弦定理可得sinsin3sin(sinsin)BCABC，1sin3A，由2228bca及余弦定理得2cos8bcA，A为锐角，且2 2cos3A，从而求得3 2bc，ABC的面积为1112sin3 22232SbcA.16.南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.如图“三角垛”共三层，最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，每个球的半径均为 1 且两两相切，则该“三角垛”的高度为4 623.解:连接顶层 1 个球和底层边缘 3 个球的球心得到一个正四面体，该正四面体的 的棱长为 4，高为4

12、63，故该“三角垛”的高度为4 623.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 10 分)已知函数1()2sin sin()32f xxx.(1)求()f x的最小正周期；(2)若3tan2，求()f的值.解:(1)131()2sin(sincos)222f xxxx21sin3sin cos2xxx11(1 cos23sin2)22xxsin(2)6x3 分()f x的最小正周期为225 分(2)2222312 3sincoscossin()sin2cos2222(sincos)f222 3tan1tan2(tan1)8 分 3

13、tan2，22332 31()1122()1432()12f 10 分 18.(本小题满分 12 分)已知四边形ABCD是边长为 2 的菱形，3ABC，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q.(1)若APPD，AQxBAyBC，求,x y的值；(2)求()PAPBPC的最小值.解:(1)由APPD，知P为AD的中点1 分 12AQAPQCBC，13AQAC3 分 又ACBCBA，111()333AQBCBABABC 5 分 又AQxBAyBC，13x ，13y 6 分(2)建立如图平面直角坐标系，则(2,0)A，(0,0)B，(1,3)C,设(,)P x y，则(2,)(,)(22,2)

14、PAPBxyxyxy，(1,3)PCxy8 分 22()(22)(1)2(3)2(1)22 3PAPBPCxxyyxyy22332(1)2()22xy10 分 当1x，32y 时，()PAPBPC取最小值3212 分19.(本小题满分 12 分)如图，S为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，M是SAC的重心 (1)求证：OM 平面SAB；(2)若SAAB，1OM，求圆锥SO的体积解:(1)取AC的中点N，连接SN，BN1 分 ABC是正三角形，SASC，,O M分别在BN，SN上2 分 M是SAC的重心，2SMMN3 分 C D A B P Q x y C S O A

15、B M 又O是ABC的重心，2BOON4 分 SMBOMNON，OMSB5 分 又OM 平面SAB，SB 平面SAB，OM 平面SAB6 分(2)1OM，3SB，即3SAAB，2323333232BOAB 8 分 底面圆O的面积为2(3)3，226SOSBBO10 分 故圆锥SO的体积为1366312 分 20.(本小题满分 12 分)如图，已知函数()sin()f xx(0,|2)的图象与x轴相交于点1(,0)3A，图像的一个最高点为5(,1)6B.(1)求(1)f的值；(2)将函数()yf x的图象向左平移13个单位，得到函数()yg x 的图象，求函数1()(1)4yg xx的所有零点之

16、和.解:(1)5114632T，2T2 分 223 分 又103，3 4 分()sin()3f xx5 分 3(1)sin()32f6 分(2)1()sin()sin33g xxx7 分 1 A y O x B C S O A B M N 令1()(1)04g xx，得1sin(1)4xx，问题等价于函数sinyx与1(1)4yx图象的所有交点的横坐标之和8 分 函数sinyx与1(1)4yx图象均关于(1,0)对称9 分 令11(1)14x，得35x，函数sinyx与1(1)4yx图象如图所示，故两函数的图象有且仅有 9 个交点112299(,),(,),(,)x yxyxy10 分 914

17、 2 19iix 11 分 故函数1()(1)4yg xx的所有零点之和为 912 分 21.(本小题满分 12 分)在ABC中，内角A B C,所对的边分别为,a b c，已知sinsin2ACcbC.(1)求B；(2)若ac，D为角B的平分线上一点，且ADCD，求证:,A B C D四点共圆.解:(1)由正弦定理及sinsin2ACcbC，得sinsinsinsin2ACCBC1 分sin0C，sinsin2ACB2 分 sin()sin22BB，即cossin2BB3 分 cos2sincos222BBB4 分 cos02B，1sin22B5 分(0,)22B，26B，即3B 6 分(2

18、)如图，30ABDCBD,在ABD和CBD中，由正弦定理得sin30sinADBDBAD，sin30sinCDBDBCD8 分 B A C D y O x 1 2 3 4 5 ADCD，sinsinBADBCD9 分 BADBCD 或BADBCD10 分 若BADBCD，则ABDCBD，则ABBC，即ac，与题意矛盾，故舍去11 分 BADBCD，,A B C D四点共圆12 分 22.(本小题满分 12 分)如图，在三棱柱111ABCABC中，12ABACAA，13ABB，AC 平面11AAB B.(1)求证:1AB 平面1ABC；(2)若点E在棱11AB上，当ACE的面积最小时，求三棱锥1

19、AACE 外接球的体积.解:(1)AC 平面11AAB B，1AB 平面11AAB B，1ABAC 2 分 1ABBB，四边形11AAB B为菱形，11ABAB4 分 又1ABACA，1ABAC，平面1ABC，1A B平面1ABC5 分(2)AC 平面11AAB B，AE 平面11AAB B，AEAC，12ACESAC AEAE，所以当ACE的面积最小时，AE最小，此时11AEAB6 分 1112ABAA，113AAB，11AAB为正三角形，E为11AB的中点7 分 AC 平面11AAB B，1AE 平面11AAB B，1AEAC，又1AEAE，AEACA，,AE AC 平面ACE，1AE平面ACE8 分 又EC 平面ACE，1AEEC，即112AECA AC 9 分 故三棱锥1AACE外接球的球心为1AC的中点10 分 三棱锥1AACE外接球的半径1122RAC11 分 故三棱锥1AACE外接球的体积为348 2(2)33 12 分 A C C1 A1 B1 B A C C1 A1 B1 E B