重庆市巴蜀中学校2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题含答案.pdf

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1、高 2025 届高一（下）期末考试 数学试卷注 意事 项：1.答 题前；考生 务必 将自 己的 姓名、准考 证号、班级、学校 在答 题卡上 填写 清楚。2.每 小题 选出答 案后；用 2B 铅笔 把答 题卡上对 应题 目的答 案标 号涂黑；如 需改动；用 橡皮擦 干净 后；再选涂 其他 答案标 号。在试卷 上作 答无效。3.考 试结 束后；请将 答题 卡交 回；试 卷自 行保存。满 分 150 分；考试用 时 120 分 钟。一、单选 题（本 大题共 8 小题；每题 5 分；共 40 分；每 小题 给出的 四个 选项中；只有 一项 是符合 题目 要求的）1.某制 药厂 正在 测试 一种 减肥药

2、 的疗 效；有 100 名 志愿者 服用 此药。结 果：体重减 轻的 人数 为 59 人；体 重不变的21 人；体重 增加 的 20 人.如果另 外有 一人 服用 此药；请你 估计 这个 人体 重减 轻的概 率为（）A.59100B.21100C.15D.452.在复 平面 内；复数322izi=对应 的点位 于（）A.第一 象限 B.第二 象限 C.第三 象限 D.第四 象限3.设 ABC 中角 A，B，C 所 对 的边 分别为 a，b，c；若 12 a=，13 b=，17 c=；则 ABC 为（）A.锐角 三角 形 B.直角 三角 形 C.钝角 三角 形 D.以上 都有 可能4.甲；乙两

3、位同 学去 参加 某 高校科 研项 目面 试。已知 他们通 过面 试的 概率 都是45；且两 人的 面试 结果 相互 之间没有影 响；则甲、乙 两人 中仅有 一人 通过 面试 的概 率为（）A.425B.45C.2425D.8255.已 知函数()()sin 0,0,2fx A x A=+在 一 个周 期内的 图象 如图 所示；若()y fx=+为偶函数；则 的值 可以 为（）A.3 B.43 C.2D.6.空间 中有 不同 平面，和不同直 线 a；b，若 a，ab；则下 列说法 中一 定正 确的 是（）A.b B.若b，a；则 C.一定 存在 c；使得 a，c 是异 面直线 D.一定 存在

4、平面；满足b，重庆市巴蜀中学校2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题7.如 图所 示；测 量队 员在山 脚 A 测得山 顶 P 的仰角 为；沿着倾 斜角 为 的斜坡 向上 走 200m 到达 B 处；在B 处测得 山顶 P 的仰 角为。若 45=；34=，75=，（参 考数 据：sin34 0.56，sin41 0.66，cos34 0.83，cos41 0.75；2 1.41，3 1.73）；则 山的 高度 约为（）A.181.13 B.179.88 C.186.12 D.190.218.已 知非 零不 共线 向量 a，b满足 2 ab=；2 ab=，则 ab 的 取值 范围 为（

5、）A.3,84 B.2,83 C.()1,8 D.8,89 二、多选 题（本 题共 4 小 题；每 小题 5 分；共 20 分。在 每小 题给出 的选 项中；有 多项 符合 题目要 求；全部选 对的 得 5 分.部分 选对的 得 2 分；有选 错的得 0 分）9.某中学 对参加高 一年级参 加体质测 试的学 生进行模 拟训练；从中抽 出 N 名学生；其中成 绩的频 率分布直 方图如图 所示.已知 成绩 在区间 90,100 内 的学 生人 数为 5 人.则（）A x 的值为 0.015 B 100 N=C.中位 数为 75 D.平均 数为 7310.已知 复平 面内 复数1z 对应 向量()1

6、1,3 OZ=；复 数2z 对应 点为2Z.且 满足22 z=，1z 是1z 的 共轭 复数；则（）A.11z OZ=B()2211zz=C.212zz=D.点2Z 在以 原点O 为 圆心；以 2 为半 径的 圆上 11.已知 0.2；且满 足43sin cos3+=；则（）A.0,6B.2sin63+=C.5cos63+=D.4 10 2sin 212 18+=12.如图；正 方体 ABCD A B C D 的棱长 为 2，M 是 侧面 ADD A 上的一 个动 点（含边界）；点 P 在棱CC 上；则 下列 结论 正确 的有（）A.若 1 PC=；沿正 方体 的表 面从点 A 到点 P 的最

7、 短距 离为 17B.若 1 PC=，三棱 锥 B ABP 的外 接球 表 面积为414C.若12PC=；BD PM，则点 M 的运 动轨 迹 长度为322D.若12PC=；平面 AD P 被正方 体 ABCD A B C D 截得 截面面 积为7 338三、填 空题（本大 题共 4 小题；每 题 5 分；共 20 分）13.在 复平面 内；复数1 2i+，3 4i+对应的向 量分 别是OA；OB，其中O 是坐标 原点；则 向量 AB 对 应的复数为_.14.已知1sin cos2+=；sin cos sin2=，则sin2=_.15.投掷 两枚 质地 均匀 的骰子 一次；设 事件 A 为“两

8、枚 骰 子 的点 数之 差绝 对值为 2”；则()PA=_.16.设 ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，AD 为 BC 边上的中线；已知 1 c=且12sin cos sin sin sin4A B aA bB bC=+，23tan3BAD=.则 AD=_.四、解 答题（共 70 分；解答 应写出 文字 说明；证明 过程或 演算 步骤）17.（本 小题 满分 10 分）为了解 学校 食堂 的满 意度；某调 查小 组在 高一 和高 二两个 年级 各随 机抽 取 10 名学生 进行 问卷 计 分调 查（满分100 分）；得 分如 下所 示：高一：64，72，79；78；78；7

9、5，86，85，92，91 高二：62，67，78；79，70，85，84，85；93，95（1）求 高一 年级 问卷 计分调 查 平均 数和 估计 高一 年级 学 生问 卷计 分调 查的第 75 百分 位数；（2）若 规定 打分 在 86 分及 以 上的 为满 意；少于 86 分的为 不满 意；从上 述满 意的学 生中 任取 2 人；求这 2 人来自同 一级 的概 率；18.（本 小题 满分 12 分）如 图；D 为圆锥 的顶 点；O 是圆 锥 底面 的圆 心；AE 为 底面直 径；4 AE AD=.若 ABC 是 底面 的内 接正三角形；P 为 DO 上一 点；13PO DO=.（1）求

10、该圆 锥的 表面 积；（2）求 三棱 锥 D APB 的体 积。19.（本 小题 满分 12 分）已知函 数()2sin cos3fx x x m=+的最大 值为 2m；（1）求 常数 m 的值；（2）若()fx 在()0,0 aa 上 单调 递增；求 a 的最大值.20.（本 小题 满分 12 分）如图；正四 棱柱111 1ABCD A B C D 中；12 AA AB=；点 P 为1DD 的 中点.（1）求 证：直线1BD 平面 PAC；（2）求 直线1BC 与平面 APC 所成 线 面角的 正弦 值。21.（本 小题 满分 12 分）在平面 四边 形 ABCD 中；2 AB BC CD=

11、；23 AD=，（1）若 四边 形 ABCD 为 圆内 接四边 形；求 AC；（2）求 四边 形 ABCD 面 积最 大值。22.（本 小遈 满分 12 分）如图；在三 棱柱 ADP BCQ 中；侧面 ABCD 为矩形.（1）若 PD 面 ABCD；22PD AD CD=，2 NC PN=，求 证：DN BN；（2）若二 面角Q BC D 的大小 为；2,43，且 2 cos2AD AB=；设 直 线 BD 和平面QCB 所成角为；问当 变 化过 程中 能否取到3；若 能；请证 明；若不能 请说 明理 由。1高 2 0 2 5 届 高 一（下）数 学 期 末 考 试 参 考 答 案一、单 选

12、题1 2 3 4 5 6 7 8A D A D B C C D1.【答 案】A【详 解】由 题 知，这 个 人 体 重 减 轻 的 概 率 为5 91 0 0.故 选：A2【答 案】D【详 解】在 复 平 面 内，复 数85iz 对 应 的 点8 1(,)5 5位 于 第 四 象 限.故 选：D3【答 案】A【详 解】在 A B C 中，最 大 角 为 角 C，2 2 2 2 2 21 2 1 3 1 7 3 1 3 2 8 9c o s 02 2 9 1 0 1 8 0a b cCa b.所 以 角(0,)2C，则 三 角形 为 锐 角 三 角 形，故 选：A4【答 案】D【详 解】【详 解

13、】因 为 甲，乙 通 过 面 试 的 概 率 都 是45，且 两 人 通 过 面 试 相 互 之 间 没 有 影 响，所 以 他 们 只 有 一 人 通 过面 试 的 概 率 为4 4 4 4 81 15 5 5 5 25，故 选:D5【答 案】B【详 解】由 图 象 知，函 数 的 最 小 正 周 期24 43 3T，即2 14 2，3 A，由 五 点 对 应 法 则 代 入2,33 知，1 2 3 s i n 32 3，即1 2 2,Z2 3 2k k，因 为|2，解 得6，所 以 1 3 s i n2 6f x x，则 1 3 s i n2 2 6f x x 为 偶 函 数，有()2 6

14、 2k k Z，22()3k k Z，当41,3k，故 选：B6【答 案】C【详 解】因 为/,/a a b，所 以 b 与 平 面平 行 或 直 线 b 在 平 面内，A 错 误，C 正 确；对 选 项 B，当c=，且/a c b，此 时 也 符 合/,b a，所 以 B 错 误，当 b，此 时 不 存 在 平 面与，D 不 正 确.故 选：C7.【答 案】C【详 解】在 三 角 形 A B P 中，1 8 0 A B P，1 8 0()1 8 0()(1 8 0)B P A A B P，正 弦 定 理：s i n s i nA P A BA B P A P B，所 以s in s in()

15、s in s in()A B A B P A BA PA P B，s in s in()s in 4 5 s in 4 1s in 2 0 0 2 0 0 2 s in 4 1 1 8 6.1 2s in()s in 3 0P Q A P A B，故 选 C，8.【答 案】D【详 解】由2 2 2|2 4 a b a b a b，所 以25|22a b b，又 非 零 向 量,a b 不 共 线，所 以|,|,|a b a b 为 三 角形 三 边，所 以|a b a b a b，所 以 3|2|b b，22|3b，25 8|2(,8)2 9a b b 选 D2二、多 选 题9 1 0 1 1

16、 1 2A B A B D A B D B C D9【答 案】A B【详 解】由 图 可 知，4 0,5 00.0 5 f，5 0,6 01 0 f x，6 0,7 00.2 f，7 0,8 00.3 f，8 0,9 00.2 5 f，9 0,1 0 00.0 5 f，由 频 率 之和 为 1 可 得 1 0 0.1 5 x，故 0.0 1 5 x；所 以 选 项 A 对；因 为 9 0,1 0 050.0 5 fN，所 以 1 0 0 N，所 以 选 项 B 对；由 4 0,5 0 5 0,6 0 6 0,7 00.4 f f f，所 以 中 位 数 位 于 区 间 7 0,8 0，设 中

17、位 数 为a，则(7 0)0.0 3 0.1 a，解 得 7 3.3 3 a，所 以 选 项 C 错；平 均 数 为 4 5 0.0 5 5 5 0.1 5 6 5 0.2 7 5 0.3 8 5 0.2 5 9 5 0.0 5 7 2，所 以 选 项 D 错；综 上 所 述，A B 正 确，而 C D 错 误；故 选：A B1 0【答 案】A B D【详 解】依 题 意，11 3 i z，则1 12 z O Z，故 A 正 确；又11 3 i z，212 2 3 i z，212 2 3 i z，212 2 3 i z，即 221 1z z，故 B 正 确；对 于 选 项 C:2 21 1|1

18、|z zz z，故 C 错 误；由 复 数 几 何 意 义 知 D 选 项 对，故 选：A B D.1 1【答 案】A B D【详 解】由 题 意 43 s i n c o s 2 s i n6 3，即 2s i n6 3，又(0,)2，知2(,)6 6 3，当2(,)6 3 3 时，3s i n(,1 6 2，而 2 3s i n6 3 2，所 以(0,)6 所 以7c os(2)6，则2c os 1 s i n6 35(6），则 4 5s i n2 2 s i n c os6 6 6 9，2 2 1c o s 2 c o s s i n6 6 6 9 所 以2 4 10 2s i n 2

19、s i n(2()s i n(2()c os(2()12 6 4 2 6 6 18.故 答 案 为 A B D1 2【答 案】B C D【详 解】对 于 A，将 正 方 体 的 下 面 和 侧 面 展 开 可 得 如 图 图 形，连 接 A P，则 4 9 13 17 A P，故 A 错 误；#QQABBYKQogiAQhAAAQBCUwXCCgCQkhECAKgOBAAUMEABiANABAA=#3对 于 B，当1 P C，所 以B P B 中，5,2 P B B P B B=，则2s in5P B B=，设B P B 外 接 圆 半 径 为 r，则 由 正 弦 定 理 知：52s i n

20、2P BrP B B=，则54r=，又A B B P B，设 三 棱 锥 B A B P 的 外 接 球 半 径 为 R，则2 2 22 5 4 1()12 1 6 1 6A BR r=+=+=，所 以 三 棱 锥 B A B P 的 外 接 球 表 面 积24 144S R=，故 B 正 确；对 于 C，如 图：因 为 D D 平 面 A B C D，A C 平 面 A B C D，D D A C，又 A C B D，D D B D D，D D，B D 平 面 D D B，所 以 A C 平 面 D D B，B D 平 面 D D B.所 以 A C B D，同 理 可 得 B D A B，

21、A C A C A，A C，A B 平 面 A C B.所 以 B D 平 面 A C B.所 以 过 点 P 作/P G C D 交 C D 交 于 G，过 G 作/G F A C 交 A D 交 于 F，由/A B C D，可 得/P G A B，P G 平 面 A C B，A B 平 面 A C B，所 以/P G 平 面 A C B，同 理 可 得/G F 平 面 A C B.则 平 面/P G F 平 面 A C B.设 平 面 P E F 交 平 面 A D D A 于 E F，则 M 的 运 动 轨 迹 为 线 段 E F，由 点 P 在 棱 C C 上，且12P C，可 得1

22、3,|2 2D G D F A F A E，所 以3 3 24 2E F A D，故 C 正 确；对 于 D，如 图：延 长 D C，D P 交 于 点 H，连 接 A H 交 B C 于 I，连 接 P I，所 以 平 面 A D P 被 正 方 体 A B C D A B C D 截 得 的 截 面 为 A IP D.P C H D D H，所 以34P H P C H CD H D D D H.I C H A D H，所 以34C I H C I HD A D H A H，所 以34P H I H P ID H A H A D，所 以/P I A D，且P I A D，所 以 截 面 A

23、 IP D 为 梯 形，14174 2A I P D，所 以 截 面 A I P D 为 等 腰 梯 形.所 以1 1 7 2 3 3 7 3 3()2 2 2 8 8A I P DS A D B P h，故 D 正 确.故 选：B C D.三、填 空 题1 3 1 4 1 5 1 64 2 i 38292 121 3【答 案】4 2 i 4【详 解】由 题 知：(1,2),(3,4)O A O B，则(4,2)A B O B O A，对 应 复 数 为 4 2 i 1 4.【答 案】38【详 解】由2(s i n c o s)1 2 s i n c o s，则11 2 s i n 24，所

24、以3s i n 28。1 5.【答 案】29【详 解】设 第 一 次 点 数 为 x,第 二 次 点 数 为 y,则 两 次 结 果 记 为（x,y）.样 本 空 间 包 含 基 本 事 件 数 为 6 6 3 6 个，事 件 A包 含(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(6,4),(5,3),(4,2),(3,1)共 8 个 基 本 事 件，则8 2()3 6 9P A 1 6【答 案】2 12【详 解】由 题 意 得：12 s i n c o s s i n s i n s i n4c A B a A b B b C，在 A B C 中，由 正 弦 定 理 2s i n s i

25、 n s i na b cRA B C，得2 212 c o s4a c B a b b c，在 A B C 中，由 余 弦 定 理2 2 2c os2a c bBac，所 以2 2 2 2 214a c b a b b c，得 4 b c，又 1 c，4 b.设 B A C，A D 为 B C 边 上 的 中 线，1 12 2A D A B A C，则 21 1 1 1c o s 2 c o s2 2 2 2A B A D A B A B A C A B A B A C，2 2 2124A D A D A B A C A B A C 2 21 17 8 c os2 c os2 2A B A

26、C A B A C，由2a n33t B A D，则2os17c B A D，又4 c os 1 21c os7 17 8 c osA B A DB A DA B A D，整 理 得228 c os 8 c os 11 0，即 2 c o s 1 1 4 c o s 1 1 0，得1c os2 或1 1c o s1 4，由，得 4 c o s 1 0，1c o s4，1c os2，2 12A D 四、解 答 题1 7.【答 案】(1)8 0，8 6(2)25【详 解】（1）高 一 年 级 随 机 抽 取 的 10 名 毕 业 生 问 卷 计 分 调 查 的 平 均 值 为：16 4 7 2 7

27、 9 7 8 7 8 7 5 8 6 8 5 9 2 9 1 8 01 0Ax，将 高 一 年 级 得 分 排 序：6 4，7 2，7 5，7 8，7 8，79，8 5，8 6，91，9 2由001 0 7 5 7.5 i 不 是 整 数，则 i 取 8，即 第 8 个 数 据：8 6.所 以 第 7 5 百 分 位 数 为 8 6.5 分（2）由 已 知，上 述 毕 业 生 中，高 一 打 分 为 满 意 的 学 生 共 有 3 人，分 别 记 为,a b c，5高 二 打 分 为 满 意 的 学 生 共 有 2 人，分 别 记 为,x y，从 这 5 人 中 任 取 2 人，所 有 的 基

28、 本 事 件 有：a b，a c，a x，ay，b c，b x，b y，c x，c y，x y，共 1 0 个，设 事 件 A“2 人 来 自 同 一 年 级”，则 事 件 A 中 的 基 本 事 件 有：a b，ac，b c，x y，共 4 个，从 上 述 满 意 的 学 生 中 任 取 2 人，这 2 人 来 自 同 一 年 级 的 概 率 4 21 0 5P A.1 0 分1 8【详 解】：（1）圆 锥 底 面 周 长 为 4，底 面 积 为4 S 底 面，侧 面 展 开 为 以 D 圆 心，半 径4 A D，弧 长 为 4 的 扇 形，所 以 侧 面 积 为14 4 82S 侧 面，所

29、 以 该 圆 锥 的 表 面积 为1 2 S S S 表 侧 面 底 面 6 分（2）直 角 三 角 形 A D O 中，4,2 A D A O，所 以2 3 DO，2 4 33 3D P D O，1 2 33 3P O D O，1 1s i n 2 2 s i n 1 2 0 32 2ABOS A O B O A OB oV，1 1 1 1 4 3 433 3 3 3 3 3D A P B D A B O P A B O A B O A B O A B OV V V D O S P O S D P S.1 2 分1 9【详 解】（1）1 32 s i2 s i n c o s3n c o s

30、 s i n2 2x f x m x x m x x 21 3 3s i n c os 3 s i n s i n 2(1 c os 2)s i n 22 2 3 2x x x m x x m x m，由 1 si n(2)13x，则()f x最 大 值 为31 22m m，所 以312m 6 分（2）令 2 2 2 2 3 2k x k，Z k，解 得5 1 2 1 2k x k，Z k，所 以 f x的 单 调 递 减 区 间 为5,1 2 1 2k k，Z k；所 以 5,1 2 1 20,a，故a的 取 值 范 围 为0,12，则a的 最 大 值 为1 2 1 2 分2 0【详 解】（

31、1）设 A C 和 B D 交 于 点 O，则 O 为 B D 的 中 点，连 接 P O，P 是1D D的 中 点，1/P O B D，又 P O 平 面 P A C，1B D 平 面 P A C，直 线1B D/平 面 P A C.5 分（2）设12 4 A A A B，则 三 角 形 A P C 为 正 三 角 形，2 2 A P A C P C，232 34A P CS A P 设 点 D 到 平 面 A P C 的 距 离 为 d，由 等 体 积 法：P A D C D P A CV V，所 以1 13 3A D C A P CP D S d S，则4 22 3 3A D CA P

32、CP D SdS，6由 点 P 为 中 点，所 以 点1,D D 到 平 面 A P C 距 离 相 等，由1 1A D/B C，所 以 直 线1B C与 平 面 A P C 所 成 线 面 角，与 直 线1A D与 平 面 A P C 所 成 线 面 角 相 等，设 直 线1A D与 平 面 A P C 所 成 线 面 角 为，所 以11 5s i n1 5dA D。1 2 分2 1.【详 解】：设,A B C A D C=（1）在 A B C 中，2 2 22 c o s 8 8 c o s A C A B B C A B B C，在 A C D 中，2 2 22 c o s 1 6 8

33、3 c o s A C A D D C A D D C，所 以 8 8 c o s 1 6 8 3 c o s，则 有：3 c o s c o s 1 由，所 以 c o s c o s，所 以 3 c o s c o s 1，所 以1 3 1c o s2 3 1 所 以21 6 8 3 c o s 4 4 3 A C，则2 1 3 A C 6 分（2）2 s i n 2 3 s i nA B C D A B C A C DS S S 所 以 3 s i n s i n(1)2A B C DA B C A C DSS S L由（1）知：1 3 c o s c o s(2)，把（1），（2）两

34、式 平 方 后 相 加：所 以2 2 2()1(3 s i n s i n)(3 c o s c o s)2A B C DS 2()1 4 2 3 c o s2A B C DS（），2()3 2 3 c o s2A B C DS（）当 时，2()2A B C DS取 最 大 值3 2 3，所 以 四 边 形 面 积 最 大 值 为2 3 2 3 1 2 分2 2【详 解】：（1）由 面 P D A B C D，所 以 P D B C，又 C D B C，所 以 面 P Q C B C D，所 以 N D B C，在 直 角 三 角 形 P CD 中，设 232PD CD，则 6 CD，3 PC

35、，所 以2,1 N C P N 由P N P DP D P C，D P N C P D，所 以 P D N P C D，所 以 D N P C，则 面 B C N D N，所 以 D N B N 5 分(2)在 平 面 Q BC 中，过 点 C 作 射 线 C F B C，因 为 底 面 A BCD 为 矩 形，所 以 B C C D，所 以 D C F 为 二 面 角Q B C D 的 平 面 角，且 D C F 7又 C F C D C，所 以 B C 平 面 CD F，在 平 面 D CF 中，过 点 D 作 D G F C，垂 足 为 G，因 为 B C 平 面 D CF，D G 平

36、面 D CF，所 以 D G B C，又 B C F C C，B C 平 面 BCQ，F C 平 面 BCQ，所 以 D G 平 面 BCQ，于 是 D G 为 点 D 到 平 面 BCQ 的 距 离，且 s i n D G D C，设 直 线 BD 和 平 面 P A D 所 成 角 为，则2 22s i n s i n s i ns i n3 2 c o s1 4 c o s2D G A BB DA B A D，由2,4 3，可 得21 2 1c os,c os 0,2 2 2，3 2 c o s,2,3 2 t t，2 2 223(3)c os,s i n 1 c os 12 4t t 所 以2 22 2 2 25 52 6()61(3)5 1s i n 14 2 2 2t tt t tt（当 且 仅 当25 t 取“=”）所 以 直 线 BD 和 平 面 P A D 所 成 角 的 正 弦 值 最 大 值 为5 12又5 1 3s in s in2 2 3，所 以 取 不 到。1 2 分