湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题含答案.pdf

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1、2022-2023 学年度下学期武汉市重点中学学年度下学期武汉市重点中学 5G 联合体期末考试联合体期末考试 高一数学试卷高一数学试卷考试时间：考试时间：2023 年年 6 月月 28 日日 试卷满分：试卷满分：150 分分 祝考试顺利祝考试顺利注意事项：注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试铅笔把答题

2、卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。并上交。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

3、的符合题目要求的.1.复数3i1 i=+（）A.1 2i+B.1 iC.1 2iD.1 i+2.设m为直线，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（）A.m，且mm B.m，m C.，且mm D.，且m与相交m与相交3.在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（）A.33B.33C.63D.634.某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了 10 名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为 8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示.则以下结论中，正确的是（）A.甲校运动员

4、得分的中位数为 7.5B.乙校运动员得分的 75%分位数为 10C.甲校运动员得分的平均数大于 8D.甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差5.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若2a=，6b=，30A=，则边c=（）A.2B.2 2或6C.2或2 2D.2 26.如图所示，三棱柱111ABCABC中，若E、F分别为AB，AC靠近点A的三等分点，平面11EBC F将三棱柱分成左右两部分体积为1V和2V，那么21:V V=（）A.7:5B.14:13C.5:7D.13:147.如图，圆锥PO的底面直径和高均是 4，过PO的中点1O作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去

5、一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（）A.()74 5+B.()84 5+C.()94 5+D.()64 5+8.在ABC中，6A=，2B=，1BC=，D为AC中点，若将BCD沿着直线BD翻折至BC D，使得四面体CABD外接球半径为 1，则直线BC与平面ABD所成角正弦值是（）A.63B.23C.53D.33二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9

6、.已知互不相同的 9 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的 7 个数据与原 9 个数据相比，下列数字特征中不变的是（）A.中位数B.平均数C.第 41 百分位数D.方差10.已知向量()1,3a=，()()cos,sin0b=，则下列说法正确的是（）.A.若ab，则tan3=B.若ab，的值为56C.a b 的取值范围为3,2D.存在，使得abab=+11.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，22sinabcA=，下列说法正确的是（）A.若1a=，则14ABCS=B.ABC外接圆的半径为bcaC.cbbc+取得最小值时，3A=D.4A=时，cbbc+值为2 212.如

7、图，正四面体ABCD的棱长为 1，E，F分别是棱BD，CD上的点，且BEDFt=，()0,1t，则（）A.不存在t，使得BC平面AEFB.直线AC与直线EF异面C.不存在t，使得平面AEF 平面BCDD.三棱锥ADEF体积的最大值为224三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.双空题第一双空题第一空空 2 分，第二空分，第二空 3 分分.13.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于3km，灯塔A在观察站C的北偏东 40，灯塔B在观察站C的南偏东 20，则灯塔A与灯塔B的距离为_km.14.已知()2,2 3a=，e为单位向量，向量

8、a，e的夹角为3，则向量a在向量e上的投影向量为_.15.如图，在ABC中，3BAC=，2ADDB=，P为CD上一点，且满足()1R2APmACAB m=+，若2AC=，4AB=，则AP CD 的值为_.16.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 3，动点P在1ABC内，满足114D P=，则点P的轨迹长度为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题 10 分）（1）设zC，在复平面内z对应的点为Z，那么求满足条件：23z.（1）求角A的大小；（2）设M为BC的中

9、点，且72AM=，BAC的平分线交BC于N，求线段MN的长度.22.（本题 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，90ADC=，22ABADBC=，PADBAD.（1）M为PC上一点，且PMMC=，当PA平面DMB时，求实数的值；（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明l面ABCD；（3）当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为 45时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值.2022-2023 学年度下学期武汉市重点中学学年度下学期武汉市重点中学 5G 联合体期末考试联合体期末考试 高高一一数学试卷参考答案及评分标准数学试卷参考答案及评分标准选择题：

10、选择题：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C B A B C D B A AC AB ABD BC 填空题：填空题：13.3 14.2e15.3 16.28.6A=，2B=，1BC=，2AC=，又D为AC中点，1ADCDBD=，则1BCC DBD=，即BC D为等边三角形，设BC D的外接圆圆心为G，ABD的外接圆圆心为O，取BD中点H，连接 C H，OH，OG，OB，OC，OD，6A=，1BD=，112 sinBDOBA=，即ABD外接圆半径为 1，又四面体CABD的外接球半径为 1，O为四面体CABD外接球的球心，由球的性质可知：OG 平面BC D，又C H平面

11、BC D，OGC H，2333C GCH=，1OC=，63OG=；设点C到平面ABD的距离为d，由COBDO C BDVV=得：1133OBDC BDSdSOG=，又OBD与C BD均为边长为 1 的等边三角形，63dOG=，直线BC与平面ABD所成角的正弦值为63dBC=.12.因为直线AC与平面BCD交于点C，EF 平面BCD，且不经过点C，所以直线AC与直线EF异面，故 B 正确.当12t=时，E，F分别是棱BD，CD的中点，此时BCEF，因为EF 平面AEF，BC 平面AEF，所以BC平面AEF，故 A 错误.设O为BCD的中心，连接AO，因为经过点A有且只有一条直线AO垂直于平面BC

12、D，所以经过点A且垂直于平面BCD的平面一定经过直线AO，即当且仅当E，O，F三点共线时，平面AEF 平面BCD，因为1DEt=，DFt=，所以11DBDEt=，1DCDFt=，设BC的中点为M，连接DM，则()21111333 1DODMDBDCDEDFtt=+=+，因为E，O，F三点共线，所以11113 1 tt+=，整理得23310tt+=，因为30=，所以此方程无解，所以不存在()0,1t，使得平面AEF 平面BCD，故 C 正确.易知22222161333AOADDOADDM=，在DEF中 1DEt=，DFt=，所以DEF的面积()()211331sin234216ttStt+=，当

13、且仅当12t=时等号成立，所以三棱推ADEF体积的最大值为1362316348=.故 D 错误.16.在正方体1111ABCDABC D中，如图，1DD 平面ABCD，AC 平面ABCD，则1DDAC，而BDAC，1DDBDD=，1DD，BD 平面1BDD，于是AC 平面1BDD，又1BD 平面1BDD，则1ACBD，同理11ABBD，而1ACABA=，AC，1AB 平面1ABC，因此1BD 平面1ABC，令1BD交平面1ABC于点E，由11B AB CBABCVV=，得111133AB CABCSBESBB=，即()2331242ABBEAB=，解得133BEAB=，而133 3BDAB=，

14、于是12 3D E=，因为点P在1ABC内，满足114D P=，则22112EPD PD E=，因此点P的轨迹是以点E为圆心，2为半径的圆在1ABC内的圆弧，而1ABC为正三角形，则三棱锥1BABC必为正三棱锥，E为正1ABC的中心，于是正1ABC的内切圆半径1313163223232EHAB=，则3cos2HEF=，即6HEF=，3FEG=，所以圆在1ABC内的圆弧为圆周长的12，即点P的轨迹长度为12222=解答题：解答题：17.（10 分）分）解：（1）由复数的几何意义知：所表示的图形为圆环，面积为22325=5 分（2）由题知：()224i0 xmxm+=，所以mx=，2240 xx+

15、=，得到224xx=，mRxR故 当1x=时，有最小值为5.所以范围为)5,+.10 分18.（12 分）分）（1）由()sinsinsinABCB=得，()()sinsinsinABABB=+，所以()()sinsinsin2cossinBABABAB=+=，又0B，所以1cos2A=，因为0A，所以3c=，2b=，由余弦定理可得：2222cos1361919abcbcAa=+=+=，11sinsin22ANCSAN bCANANCAN=，1sinsin2BANSAN cBANANBAN=，又CANBAN=，所以23ANCBANCNSSBN=，又19CNBNa+=，所以2 195CN=，所以

16、1192 191922510MNCMCNaCN=.12 分 22.（12 分）分）（1）如图连接AC交BD于点N，连接MN，PA平面BDM，PA平面PAC，平面PAC 平面BDMMN=，PAMN，在梯形ABCD中，BCAD，ADNCBN，12CNCBANAD=，PAMN，2PMANMCCN=，2=4 分（2）设：面PAD面PBCl=BCADBC面PAD，又BC 面PBC，面PBC 面PADl=BCl又l 面ABCD，BC 面ABCDl面ABCD.7 分（3）取AD的中点O，连接OP，OB，O为AD的中点，且BCAD，2ADBC=，ODBC且ODBC=，四边形OBCD为平行四边形，CDOB，90

17、ADC=，90BOD=，ADOB，又ABAD=，ABD为等边三角形，又PADBAD，PAD为等边三角形，ADOPOPOBO=，OP 平面POB，OB 平面POB，AD 平面POB，BP 平面POB，ADBP，过点P作lAD，由ADBC，则lBC，l 平面PAD，l 平面PBC，即平面PAD平面PBCl=，lOP，lBP，BPO为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角，45BPO=.又由3OPOB=，45OBP=，90BOP=，POOB，ADPO，ADOBO=，AD 平面ABCD，OB 平面ABCD，PO 平面ABCD，PCO为PC与平面ABCD所成的角，227PCPOCO=+=，321sin77POPCHPC=，因此，PC与平面ABCD所成角的正弦值为217.12 分