2023年【推荐】答案--如何证明圆的切线1.pdf

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1、圆的切线证明 一、连半径，证垂直 要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径 1、如图，已知 AB 为 O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，BD OB，点 C 在圆上，CAB 30o 求证：DC 是 O 的切线 思路：要想证明 DC 是 O 的切线，只要我们连接 OC，证明 OCD 90o 即可 证明：连接 OC，BC AB 为 O 的直径，ACB 90o 1 CAB 30o，BC AB OB 1 BD OB，BC 2 DC 是 O 的切线 2 OD OCD 90o 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半

2、径的外端”和“垂直于这条半径”这 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线本题在证明 OCD 90o 时，运用了“在一个三角形中，如果一条边 上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求 OCD 90o 2、如图，已知 是 ABC 的外接圆，AB 是 的直径，D 是 AB 的延长线上的一点，AE DC 交 DC 的延长线 于点 E，且 AC 平分 EAB求证：DE 是 O 的切线 证明：连接 OC，则 OA=OC，所以 CAO=ACO，因为 AC 平分 EAB，所以 EAC=CAO=AC，所以 AE CO，又 AE DE，所以 CO DE，所以 DE 是

3、O 的切线 3、已知 O 中，AB 是直径，过 B 点作 O 的切线，连结 CO，若 AD OC 交 O 于 D，求证：CD 是 O 的切线。点悟：要证 CD 是 O 的切线，须证 CD 垂直于过切点 D 的半径，由此想到连结 OD。证明：连结 OD。AD OC，COB A 及 COD ODA OA OD，ODA OAD COB COD CO 为公用边，OD OB COB COD，即 B ODC BC 是切线，AB 是直径，B 90，ODC 90，CD 是 O 的切线。二、作垂直；证半径 如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径 1、如图所示，AB

4、C 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，O 与腰 AB 相切于点 D。求证：AC 与 O 相切。证明:连接 OD，作 OE AC，垂足为 E AB=AC,OB=OC AO 为 BAC 角平分线，DAO=EAO O 与 AB 相切于点 D，BDO=CEO=90 AO=AO ADO AEO，所以 OE=OD OD 是 O 的半径，OE 是 O 的半径 O 与 AC 边相切 2、已知：如图，AC，BD 与 O 切于 A、B，且 AC BD，若 COD=90 0.1/7求证：CD 是 O 的切线.证明：连结 OA，OB，作 OE CD 于 E，延长 DO 交 CA 延长线于 F.AC，BD 与 O

5、 相切，AC OA，BD OB.AC BD，F=BDO.又 OA=OB，AOF BOD（AAS）OF=OD.COD=90 0，CF=CD，1=2.又 OA AC，OE CD，OE=OA.E 点在 O 上.CD 是 O 的切线.三、角平分线证相切：（作弦心距，利用勾股定理）1、如图，AD 是 BAC 的平分线，P 为 BC 延长线上一点，且 PA=PD，求证：PA 与 O 相切.证明一：作直径 AE，连结 EC.AD 是 BAC 的平分线，DAB=DAC.PA=PD，2=1+DAC.2=B+DAB，1=B.又 B=E，1=E AE 是 O 的直径，AC EC，E+EAC=90 0.1+EAC=9

6、0 0.即 OA PA.PA 与 O 相切.证明二：延长 AD 交 O 于 E，连结 OA，OE.AD 是 BAC 的平分线，BE=CE，OE BC.E+BDE=90 0.OA=OE，E=1.PA=PD，PAD=PDA.又 PDA=BDE,0 即 OA PA.PA 与 O 相 2、如图，AB 是 O 的直径，AC 是弦，BAC 的平分线 AD 交 O 于点 D，DE AC，交 AC 的延长线于点 E，OE 交 AD 于点 F.（1）求证：DE 是 O 的切线；AC 3 AF（2）若=,求 的值。AB 5 DF 3、如图，AB 为 O 的直径，C 为 O 上一点，BAC 的平分线交 O 于点 D

7、，过 D 点作 EF BC 交 AB 的延长线于点 E，交 AC 的延长线于点 F。（1）求证：EF 为 O 的切线；4（2）若 sin ABC=,CF=1,求 O 的半径及 EF 的长。5 2/7证明连接为的直径证明即可是的切线评析一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论特别要注意这经过半径的外端线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形当然也可以从角度计算的角度来求如图已知是的外接圆是的直径是知中是直径过点作的切线连结若交于求证是的切线点悟要证是的切线须证垂直于过切点的半径由此想到连结证明连结4、如图，AB 为 O 的直径，AD 平分 BAC 交 O 于点 D，DE AC 交 AC 的延

8、长线于点 E，FB 是 O 的切线交 AD 的延长线于点 F.(1)求证：DE 是 O 的切线；E(2)若 DE=3，O 的半径为 5，求 BF 的长.C D F 5、在 ABC 中，AB=AC，AE 是角平分线，BM 平分 ABC 交 AE 于点 M,经过 B、M 两点的 O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F,FB 恰为 O 的直径.（1）求证：AE 与 O 相切；1（2）当 BC=4，cosC=时，求 O 的半径。B 3（1）连接 OM,则 OMB=OBM=MBE 又 AE BC OMB+BME=MBE+BME=90 AE 与O 相切（2）由 AE 与 O 相 切,AE BC OM

9、BC AOM ABE BC=4,cosC=，BE=2，AB=6，即，四、平行证相切（1.已知平行、2.角相等平行、3.中位线平行）1、已知 是 ABC 的外接圆，AB 是 的直径，D 是 AB 的延长线上的一点，AE DC 交 DC 的延长线于点 E，且 AC 平分 EAB求证：DE 是 O 的切线 证明：连接 OC，则 OA=OC，CAO=ACO，AC 平分 EAB，EAC=CAO=AC，AE CO，又 AE DE，CO DE，DE 是 O 的切线 2、已知：如图，中，以 为直径的 交 于点，于点 （1）求证：是 的切线；（2）若，求 的值（1）证明：，又，又 于，是 的切线 3、如图，O

10、是 Rt ABC 的外接圆，ABC=90 ，弦 BD=BA，AB=12，BC=5，BE DC 交 DC 的延长线于点 E.（1）求证：BCA=BAD；（2）求 DE 的长；（3）求证:BE 是 O 的切线。解：（1）证明：BD=BA，BDA=BAD。证明连接为的直径证明即可是的切线评析一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论特别要注意这经过半径的外端线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形当然也可以从角度计算的角度来求如图已知是的外接圆是的直径是知中是直径过点作的切线连结若交于求证是的切线点悟要证是的切线须证垂直于过切点的半径由此想到连结证明连结3/7证明连接为的直径证明即可是的切线评析一

11、定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论特别要注意这经过半径的外端线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形当然也可以从角度计算的角度来求如图已知是的外接圆是的直径是知中是直径过点作的切线连结若交于求证是的切线点悟要证是的切线须证垂直于过切点的半径由此想到连结证明连结 BCA=BDA（圆周角定理），BCA=BAD。（2）BDE=CAB（圆周角定理），BED=CBA=90 ，BED CBA，BD DE。AC AB BD=BA=12，BC=5，根据勾股定理得：AC=13。DE 12，解得：DE 144。13 12 13（3）证明：连接 OB，OD，AB DB 在 ABO 和 DBO 中，BO BO

12、，OA OD ABO DBO（SSS）。DBO=ABO。ABO=OAB=BDC，DBO=BDC。OB ED。BE ED，EB BO。OB BE。OB 是 O 的半径，BE 是 O 的切线。4、如图，AB 为 O 的直径，C 为 O 上一点，AD 和过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，且 AC 平分 DAB （1）求证：DC 为 O 的切线；（2）若 O 的半径为 3，AD=4，求 AC 的长 试题分析：（1）连接 OC，由 OA=OC 可以得到 OAC=OCA，然后利用角平分线的性质可以证明 DAC=OCA，接着利用平行线的判定即可得到 OC AD，然后就得到 OC CD，由此即可证明直线

13、CD 与 O 相切于 C 点；（2）连接 BC，根据圆周角定理的推理得到 ACB=90 ，又 DAC=OAC，由此可以得到 ADC ACB，然 后利用相似三角形的性质即可解决问题（1）证明：连接 OC OA=OC OAC=OCA AC 平分 DAB DAC=OAC DAC=OCA OC AD AD CD OC CD 直线 CD 与 O 相切于点 C；（2）连接 BC，则 ACB=90 DAC=OAC，ADC=ACB=90 ，ADC ACB，AC 2=AD?AB，O 的半径为 3，AD=4，AB=6，AC=2 5、如图，AB 是 O 的直径，BC AB 于点 B，连接 OC 交 O 于点 E，弦

14、 AD/OC,弦 DF AB 于点 G。（1）求证：点 E 是弧 BD 的中点；（2）求证：CD 是 O 的切线；4（3）若 sin BAD=,O 的半径为 5，求 DF 的长。5 6、在等腰 ABC 中，AB=AC,O 为 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 长为半径的圆交 BC 于 D,DE AC 交 AC 于 E.（1）求证 DE 时是 O 的切线；（2）若 O 与 AC 相切于 F，AB=AC=5cm，sinA=3,求 O 的半径长。5 7、如图，AB 是 O 的直径，BD 是 O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DC=BD,连结 AC,过点 D 作 DE AC,垂足为 E.(1).求

15、证：AB=AC(2).求证:DE 为 O 的切线.(3).若 O 的半径为 5，BAC=60 ，求 DE 的长.五、角度转化证切线（中线证直角、角度转化证直角、一条边上的中线等于这条边的一半）1、已知 O 中，AB 是直径，过 B 点作 O 的切线，连结 CO，若 AD OC 交 O 于 D，求证：CD 是 O 的切线。4/7证明连接为的直径证明即可是的切线评析一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论特别要注意这经过半径的外端线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形当然也可以从角度计算的角度来求如图已知是的外接圆是的直径是知中是直径过点作的切线连结若交于求证是的切线点悟要证是的切线须证垂直

16、于过切点的半径由此想到连结证明连结点悟：要证 CD 是 O 的切线，须证 CD 垂直于过切点 D 的半径，由此想到连结 OD。证明：连结 OD。AD OC，COB A 及 COD ODA OA OD，ODA OAD COB COD CO 为公用边，OD OB COB COD，即 B ODC BC 是切线，AB 是直径，B 90，ODC 90，CD 是 O 的切线。点拨：辅助线 OD 构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。2、如图，AB=AC，AB 是 O 的直径，O 交 BC 于 D，DM AC 于 M 求证：DM 与 O 相切.证明一：连结

17、OD.AB=AC，B=C.OB=OD，1=B.1=C.OD AC.D DM AC，DM OD.DM 与 O 相切 证明二：连结 OD，AD.AB 是 O 的直径，AD BC.又 AB=AC,1=2.DM AC，0 2+4=90 OA=OD，1=3.0 3+4=90.即 OD DM.C DM 是 O 的切线.证明二是通过证两角互余证明垂直的，说明：证明一是通过证平行来证明垂直的 3、如图，已知：AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，且 CAB=30 0，BP=OB，P 在 AB 的延长线上.求证：PC 是 O 的切线 证明：连结 OC、BC.OA=OC，A=1=300.0 BOC=A+1=6

18、0.OBC 是等边三角形.OB=BC.D OB=BP，OB=BC=BP.OC CP.5/7证明连接为的直径证明即可是的切线评析一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论特别要注意这经过半径的外端线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形当然也可以从角度计算的角度来求如图已知是的外接圆是的直径是知中是直径过点作的切线连结若交于求证是的切线点悟要证是的切线须证垂直于过切点的半径由此想到连结证明连结 PC 是 O 的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.4、如图，AB 是 O 的直径，CD AB，且 OA 2=OD OP.求证：PC 是 O 的切线.证明：连结 OC OA 2=OD OP，OA=

19、OC，2 OC=OD OP，OC OP OD OC .又 1=1，OCP ODC.OCP=ODC.CD AB，OCP=900.PC 是 O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的 1 5、已知：如图，A 是 O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于 B?点，OC=BC，AC=OB 2（1）求证：AB 是 O 的切线；（2）若 ACD=45 ，OC=2，求弦 AD、CD 的长 6、如图，点 D 是 O 的直径 CA 延长线上一点，点 B 在 O 上，且 AB=AD=AO.(1).求证 BD 是 O 的切线。(2).若点 E 是劣弧 BC 上一点，AE 与 BC 相交于点 F

20、，且 BEF 的面积为 8，cos BFA=2 3，求 ACF 的面积。六、90 角证相切（证明半径与直线的两角加和为 90，证明半径垂直直线），1、如图 1，B、C 是 O 上的点，线段 AB 经过圆心 O，连接 AC、BC，过点 C 作 CD AB 于 D，ACD=2 B AC 是 O 的切线吗？为什么？解：AC 是 O 的切线 理由：连接 OC，OC=OB，OCB=B COD 是 BOC 的外角，COD=OCB+B=2 B ACD=2 B，ACD=COD CD AB 于 D，DCO+COD=90 DCO+ACD=90 即 OC AC C 为 O 上的点，AC 是 O 的切线 2、ABCD

21、 是正方形，G 是 BC 延长线上一点，AG 交 BD 于 E，交 CD 于 F，求证：CE 与 CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出 CFG 的外接圆，但 CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点，为此我们取 FG 的中点 O，连结 OC，证明 CE OC 即可得解.证明：取 FG 中点 O，连结 OC.ABCD 是正方形，BC CD，CFG 是 Rt O 是 FG 的中点，O 是 Rt CFG 的外心.OC=OG，6/7证明连接为的直径证明即可是的切线评析一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论特别要注意这经过半径的外端线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形当然也可以从

22、角度计算的角度来求如图已知是的外接圆是的直径是知中是直径过点作的切线连结若交于求证是的切线点悟要证是的切线须证垂直于过切点的半径由此想到连结证明连结 3=G，AD BC，G=4.AD=CD，DE=DE，ADE=CDE=45 0，ADE CDE（SAS）4=1，1=3.2+3=90 0,1+2=90 0.即 CE OC.CE 与 CFG 的外接圆相切 7/7 证明连接为的直径证明即可是的切线评析一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论特别要注意这经过半径的外端线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形当然也可以从角度计算的角度来求如图已知是的外接圆是的直径是知中是直径过点作的切线连结若交于求证是的切线点悟要证是的切线须证垂直于过切点的半径由此想到连结证明连结 证明连接为的直径证明即可是的切线评析一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论特别要注意这经过半径的外端线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形当然也可以从角度计算的角度来求如图已知是的外接圆是的直径是知中是直径过点作的切线连结若交于求证是的切线点悟要证是的切线须证垂直于过切点的半径由此想到连结证明连结