2023年【精品推荐】二次函数的图像与系数的关系1.pdf

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1、二次函数的图像与系数的关系 1已知二次函数 y=ax 2+bx+c（a 0）的图象如图，有下列 5 个结论：abc 0；3a+c 0；4a+2b+c 0；2a+b=0；b 2 4ac.其中正确的结论的有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的大致图象，关于该二次函数下列说法正确的是（）A.a 0，b 0，c0 B.b2 4ac 0 C.当 1 x2 时，y 0 D.当 x2 时，y 随 x 的增大而增大 3如图，二次函数 图象，过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是（）A.2a+b=0 B.ac0 C

2、.D.6x+1（m 是常数），若该函数的图象 2 4已知函数 y=mx 与 x 轴只有一个交点，则 m 的 值为（）A.9 B.0 C.9 或 0 D.9 或 1 5如图，二次函数 y ax 2 bx c 的图象的对称轴是直线 x 1，则下列理论：a 0，b 0 2a b 0，a b c 0，a b c 0，当 x 1 时，y 随 x 的增大 而减小，其中正确的是（）1/10轴是直线下列结论正确的是是常数若该函数的图象已知函数与值为轴只有一个交点则的或或如图二次函数的图象的对图象如图图象过点对称轴为直线下列结论当时随的增大而减小其中正确的结论有个个个如下图已知经过原点的抛物线如图是二次函数图象

3、的一部分对称轴为且经过点有下列说法若是抛物线上的两点则上述说法正确的是在同一坐标系中A.B.C.D.2 6已知 y=ax+b 的图象如图所示，则 y=ax+bx 的图象有可能是（）A.B.C.D.7二次函数 y=ax 2+bx+c（a 0）的部分图象如图，图象过点（1，0），对称轴为直线 x=2，下列结论：4a+b=0；9a+c 3b；25a+5b+c=0；当 x 2 时，y 随 x 的增大而减小 其中正确的结论有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8如下图，已知经过原点的抛物线 y=ax 2+bx+c（a 0）的对称轴是直线 x=-1，下列结 论中 ab 0，+0，?当-2

4、0 时，0正确的个数是（）a b c x y轴是直线下列结论正确的是是常数若该函数的图象已知函数与值为轴只有一个交点则的或或如图二次函数的图象的对图象如图图象过点对称轴为直线下列结论当时随的增大而减小其中正确的结论有个个个如下图已知经过原点的抛物线如图是二次函数图象的一部分对称轴为且经过点有下列说法若是抛物线上的两点则上述说法正确的是在同一坐标系中A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 9二次函数 与一次函数 y=ax+c 在同一直角坐标系内的大致图象是()A.B.C.D.10如图是二次函数 y ax 2 bx c a 0 图象的一部分，对称轴为 x 1，且经过 2 点 2,0，有下列

5、说法：abc 0；a b 0；4a 2b c 0 ；若 0,y 1,1,y2 是抛物线上的两点，则 y1 y2，上述说法正确的是（）A.B.C.D.11在同一坐标系中，一次函数 y ax 2 与二次函数 y x2 a 的图象可能是（）A.B.C.D.12如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，则点（a,bc）在（）3/10轴是直线下列结论正确的是是常数若该函数的图象已知函数与值为轴只有一个交点则的或或如图二次函数的图象的对图象如图图象过点对称轴为直线下列结论当时随的增大而减小其中正确的结论有个个个如下图已知经过原点的抛物线如图是二次函数图象的一部分对称轴为且经过点有下列说法若是抛物线上的

6、两点则上述说法正确的是在同一坐标系中A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 13二次函数 y ax 2bx c(a 0)图象上部分点的对应值如下表：x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 6 4 0 6 则使 y 0 的 x 的取值范围为 _ 14 已 知 二 次 函 数 y ax2 bx c 的 图 象 与 x 轴 交 于 点 2，0，x1，0，且 1 x1 2，与 y 轴的正半轴的交点在 0，2 的下方下列结论：4a 2b c 0；a b 0；2a c 0；2a b 1 0 其中正确结论有 _.（填序号）15 已 知 二 次 函 数 y ax 2 bx c

7、的 图 象 如 图 所 示，有 以 下 结 论：a b c 0；a b c 1；abc 0；4a 2b c 0；b 2a 0 其中 所有正确结论的序号是 _（填序号）16如图，二次函数 y ax2 bx c 的图象开口向上，图象经过点（1，2）和（1，0），且与 y 轴相交于负半轴。给出四个结论：abc 0；2a b 0；a c 1；a 1，其中正确结论的序 号是 _轴是直线下列结论正确的是是常数若该函数的图象已知函数与值为轴只有一个交点则的或或如图二次函数的图象的对图象如图图象过点对称轴为直线下列结论当时随的增大而减小其中正确的结论有个个个如下图已知经过原点的抛物线如图是二次函数图象的一部分

8、对称轴为且经过点有下列说法若是抛物线上的两点则上述说法正确的是在同一坐标系中参考答案 1 D【解析】由题意得：则：.得 故正确；3a+c=0，由抛物线的对称轴位置得 b0，由抛物线与 y 轴的交点位置得 c0，抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，b0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，所以 B 选项错误；抛物线与 x 轴交于点(-1,0)、(2,0)，当-1 x2 时，y0，所以 C 选项错误；y 随 x 的增大而增大，所以 D 选项正确。故选 D.点睛：本题主要考查二次函数图象与系数符号的关系及二次函数的增减性.通过分析函数图 象得出相关结论是解题的关键.3 A【解析】由图象可知，抛物

9、线开口向下，a 0；对称轴为直线=1，则 b 0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，c 0，即得 ac0，选项 B 错误；由对称轴为直线=1，可得 2a+b=0，选项 A 正确；由对称轴为 x=1，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），则，抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），所以 x=-1 时，y=a-b+c=0，选项 C 不正确由图象可知，抛物线与 x 轴有两个交点，可得，即，选项 D 不正确，故选 A.点睛：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口

10、 1/10轴是直线下列结论正确的是是常数若该函数的图象已知函数与值为轴只有一个交点则的或或如图二次函数的图象的对图象如图图象过点对称轴为直线下列结论当时随的增大而减小其中正确的结论有个个个如下图已知经过原点的抛物线如图是二次函数图象的一部分对称轴为且经过点有下列说法若是抛物线上的两点则上述说法正确的是在同一坐标系中一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称 轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（0，c）抛物线与 x 轴交点个数

11、，=b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 2-4ac=0 时，抛 物线与 x 轴有 1 个交点；=b2-4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点 4 C【解析】当 m=0 时,函数 y=mx2-6x+1 的图象与 x 轴只有一个交点；当 m0 时,若函数 y=mx 2-6x+1 的图象与 x 轴只有一个交点,则方程 mx2-6x+1=0 有两个相等 的实数根，所以 =(-6)2-4m=0，m=9.综上,若函数 y=mx2-6x+1 的图象与 x 轴只有一个交点，则 m 的值为 0 或 9.故选：C 点睛：此题考查了抛物线与 x 轴的交点或一次函数与 x 轴的交点，是典型的分

12、类讨论思想的 应用.5 C【解析】根据抛物线开口向下即可得出 a0，错误；由得出 b=-2a，将其代入 2a-b 可得出 2a-b=4a0，将 x=1 代入抛物线解析式即可得出 a+b+c0，正确；根据函数图象可 知当 x=-1 时，y0，将 x=-1 代入抛物线解析式即可得出 a-b+c1 时 y 随 x 的增大而增大，正确.综上即可得出结论.解：a 0，b 0，错误 b 又 1，b 2a，2a b 4a 0 错误 2a 又 当 x 1 时 y 0，a b c 0，正确 当 x 1 时 y 0，a b c 0，正确 又 当 x 1 时 y 随 x 的增大而减小 是正确 6 D【解析】试题解析

13、：y=ax+b 的图象过第一、三、四象限，a0，b 0，对于 y=ax2+bx 的图象，a0，抛物线开口向上，b x=-0，2a 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，c=0，抛物线过原点 故选 D 7 D【解析】已知抛物线的对称轴为直线 x=2，可得 b=-4a，即 4a+b=0，正确；由图象可轴是直线下列结论正确的是是常数若该函数的图象已知函数与值为轴只有一个交点则的或或如图二次函数的图象的对图象如图图象过点对称轴为直线下列结论当时随的增大而减小其中正确的结论有个个个如下图已知经过原点的抛物线如图是二次函数图象的一部分对称轴为且经过点有下列说法若是抛物线上的两点则上述说法正确的是在同一坐标系中知

14、当 x=-3 时，y0，所以 9a-3b+c 0，即 9a+c 3b，正确；已知抛物线与 x 轴的一个交 点为（-1，0），对称轴为直线 x=2 可得抛物线与 x 轴的另一个交点为（5，0），所以 25a+5b+c=0，正确；观察图象可知当 x 2 时，y 随 x 的增大而减小，正确故选 D 点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab 0），对称轴 在 y 轴左

15、；当 a 与 b 异号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交 点 抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由 决定，=b2-4ac0 时，抛物 线与 x 轴有 2 个交点；=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b2-4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点 8 D【解析】，.，故正确；当 时，故正确；对称轴是直线 x=1，x1=0,x2=-2,当 2 x 0 时，y 0,故正确；故 选 9 D【解析】A.由抛物线知，a0；由直线知 a0，c0，c0，c0，c 的值矛盾，故本选项错误；C.由抛物线知，a0，c0；由直线知 a

16、0，c0，a 的值矛盾，故本选项错误；D.由抛物线知，a0；由直线知 a0，两结论一致，故本选项正确。故选 D.10 A【解析】二次函数的图象开口向下，a 0，二次函数的图象交 y 轴的正半轴于一点，c 0，1 对称轴是直线 x，-b 1，2 2a 2 b-a0，abc 0 故正确；由中知 b-a，a b 0，故正确；把 x 2 代入 yax 2 bxc 得：y 4a 2b c，抛物线经过点（2，0），当 x 2 时，y0，即 4a 2b c 0 故错误；1 （0，y?）关于直线 x 的对称点的坐标是（1，y?），2 轴是直线下列结论正确的是是常数若该函数的图象已知函数与值为轴只有一个交点则的

17、或或如图二次函数的图象的对图象如图图象过点对称轴为直线下列结论当时随的增大而减小其中正确的结论有个个个如下图已知经过原点的抛物线如图是二次函数图象的一部分对称轴为且经过点有下列说法若是抛物线上的两点则上述说法正确的是在同一坐标系中3/10轴是直线下列结论正确的是是常数若该函数的图象已知函数与值为轴只有一个交点则的或或如图二次函数的图象的对图象如图图象过点对称轴为直线下列结论当时随的增大而减小其中正确的结论有个个个如下图已知经过原点的抛物线如图是二次函数图象的一部分对称轴为且经过点有下列说法若是抛物线上的两点则上述说法正确的是在同一坐标系中 y?y?故正确；综上所述，正确的结论是 故选：A.点睛

18、:本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当 a 0 时，二次函数的图象开口 向上，当 a 0 时，二次函数的图象开口向下 11 D【解析】二次函数 y x2 a 抛物线开口向上，排除 B，一次函数 y ax 2，直线与 y 轴的正半轴相交，排除 A；抛物线得 a 0，排除 C；故选 D 12 D【解析】试题分析：根据二次函数的图象判断 a、b、c 的符号，再判断点（a,bc）所在的 象限 解：抛物线开口向上，a0，抛物线对称轴 y=0，b0，抛物线与 y 轴交于负半轴，c0，bc0，点(a,bc)在第四象限。故选 D.13 2 x 3【解 析】试 题 解 析：由 表 中 数 据 可

19、 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c 与 x 轴 的 交 点 为（-2，0）、（3，0），画出草图，可知使 y 0 的 x 的取值范围为-2 x 3【方法点睛】由表中数据可知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为（-2，0）、（3，0），然后画 出草图即可确定 y 0 的是 x 的取值范围观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对轴是直线下列结论正确的是是常数若该函数的图象已知函数与值为轴只有一个交点则的或或如图二次函数的图象的对图象如图图象过点对称轴为直线下列结论当时随的增大而减小其中正确的结论有个个个如下图已知经过原点的抛物线如图是二次函数图象的一部分对称轴为且经过点有下列说法若

20、是抛物线上的两点则上述说法正确的是在同一坐标系中称点，顶点坐标及对称轴，利用对称性解答 14 【解析】由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2,0)，4a-2b+c=0，故正确；2 x1 b 因为图象与 x 轴两交点为(-2,0),(x1,0),且 1 x1 2，对称轴 x=，则对 2 2a 1 称轴-b 0，且 a0，ab0，即 abc，故 正 确；设 x2=-2,则 x1 x2=c,而 1 x1 2，-4 x1 x2-2,-4 c a a 0，4a+c0，故正确；c0，2a-b+10，故错误；故答案为：。15【解析】x 1 时，y 0，a b c 0，错误；x-1 时

21、，y 1，a-b c1，正确；抛物线开口向下，a 0，抛物线与 y 轴的交点为（0，1），c 0，对称轴在 y 轴的左侧，b 0，abc 0，正确；x-2 时，y 0，4a-2b c 0，错误；-b2a -1，2a-b 0，正确，故答案为：点睛:本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大 小，当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口；a 还可以决定开口大小，一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 16【解析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根 据对称轴及抛

22、物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解：（1）由抛物线的开口方向向上可推出 a0，正确；因为对称轴在 y 轴右侧，对称轴为 x=-b 0，又因为 a0，b 0，错误；2a 由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，c 0，错误；由图象可知：当 x=1 时 y=0，a+b+c=0，正确 故（1）中，正确结论的序号是（2）a 0，b0，c 0，abc 0，错误；5/10轴是直线下列结论正确的是是常数若该函数的图象已知函数与值为轴只有一个交点则的或或如图二次函数的图象的对图象如图图象过点对称轴为直线下列结论当时随的增大而减小其中正确的结论有个个个如下图已知经过原点的抛物线如图

23、是二次函数图象的一部分对称轴为且经过点有下列说法若是抛物线上的两点则上述说法正确的是在同一坐标系中由图象可知：对称轴 x=-b 0 且对称轴 x=-b 1，2a+b 0，正确；2a 2a 由图象可知：当 x=-1 时 y=2，a-b+c=2，当 x=1 时 y=0，a+b+c=0；a-b+c=2 与 a+b+c=0 相加得 2a+2c=2，解得 a+c=1，正确；a+c=1，移项得 a=1-c，又 c 0，a 1，正确 故（2）中，正确结论的序号是“点睛”二次函数 y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向 上，则 a0；否则 a 0（2）b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式 x=-b 判断符号（3）2a c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在线 与 x 轴交点的个数确定：2 个交点，y 轴正半轴，则 c 0；否则 c 0（4）b2-4ac 由抛物 2 2 2 b-4ac 0；1 个交点，b-4ac=0；没有交点，b-4ac 0 轴是直线下列结论正确的是是常数若该函数的图象已知函数与值为轴只有一个交点则的或或如图二次函数的图象的对图象如图图象过点对称轴为直线下列结论当时随的增大而减小其中正确的结论有个个个如下图已知经过原点的抛物线如图是二次函数图象的一部分对称轴为且经过点有下列说法若是抛物线上的两点则上述说法正确的是在同一坐标系中