2023年【精品推荐】二次函数与圆-答案版1.pdf

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1、二次函数与圆 答案版 1.（2014?湘潭，第 26 题）已知二次函数 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过原点，直线 AC 解析式为 y=kx+4，（1）求二次函数解析式；（2）若=，求 k；（3）若以 BC 为直径的圆经过原点，求 k（第 2 题图）考点：二次函数综合题 分析：（1）由对称轴为 x=，且函数过（0，0），则可推出 b，c，进而得函数 解析式（2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作 B，=由 B，C 为直线与二次函数的交点 C 对 x 轴的垂线，进而有 B，C 横坐标的比为，则联立可求得，坐标由上述倍数关系，则 易得 B C k（3）以 B

2、C 为直径的圆经过原点，即 BOC=90，一般考虑表示边长，再用勾股定理 构造方程求解 k可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现 B，C 横纵坐标恰好可表示出 EB，EO，OF，OC而由 BOC=90，易证 EBO FOC，即 EB?FC=EO?FO有此构造方程发现k 值大多可约去，进而可得 k 值 解答：解：（1）二次函数 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过原点，=2，0=0+0+c，b=4，c=0，y=x2+4x（2）如图 1，连接 OB，OC，过点 A 作 AE y 轴于 E，过点 B 作 BF y 轴于 F，1/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁

3、数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后 =，=，=，EBFC，=y=kx+4 交 y=x2+4x 于 B，C，kx+4=x2+4x，即 x2+（k 4）x+4=0，=（k 4）24?4=k2 8k，x=，或 x=，xB xC，EB=xB=，FC=xC=，4?=，解得 k=9（交点不在 y 轴右边，不符题意，舍去）或 k=1 k=1（3）BOC=90，EOB+FO

4、C=90，EOB+EBO=90，EBO=FOC，BEO=OFC=90，2/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后 EBO FOC，EB?FC=EO?FO xB=，xC=，且 B、C 过 y=kx+4，yB=k?+4，yC=k?+4，EO=yB=k?+4，OF=yC=k?4，?=（k?+4）?（k?4），整理得 16 k=20，

5、k=点评：本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识 题 目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考 生应好好理解掌握 2 2.(2014 年广西南宁，第 26 题 10 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y=x+（k1）x k 与直线 y=kx+1 交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧（1）如图 1，当 k=1 时，直接写出 A，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 AB 下方，试求出 ABP 面 积的最大值及此时点 P 的坐标；2（3）如图 2，抛物线 y=x+（k 1）x k（k

6、 0）与 x 轴交于点 C、D 两点（点 C 在点 D 的左 侧），在直线 y=kx+1 上是否存在唯一一点 Q，使得 OQC=90？若存在，请求出此时 k 的值；若 不存在，请说明理由 3/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后考点：二次函数综合题 分析：（1）当 k=1 时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点 A、B

7、的坐标；（2）如答图 2，作辅助线，求出 ABP 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值 及点 P 的坐标；（3）“存在唯一一点 Q，使得 OQC=90”的含义是，以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于 点 Q，由圆周角定理可知，此时 OQC=90 且点 Q 为唯一以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得 k 的值 解答：解：（1）当 k=1 时，抛物线解析式为 y=x2 1，直线解析式为 y=x+1 联立两个解析式，得：x2 1=x+1，解得：x=1 或 x=2，当 x=1 时，y=x+1=0；当 x=2 时，y=x+1=3，A（1，0），B（2，3）2（2）设 P（x

8、，x 1）如答图 2 所示，过点 P 作 PFy 轴，交直线 AB 于点 F，则 F（x，x+1）PF=yF yP=（x+1）（x2 1）=x2+x+2 S ABP=S PFA+S PFB=PF（xFxA）+PF（xB xF）=PF（xB xA）=PF S ABP=（x2+x+2）=（x）2+当 x=时，yP=x2 1=ABP 面积最大值为，此时点 P 坐标为（，）（3）设直线 AB：y=kx+1 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，则 E（，0），F（0，1），OE=，OF=1 在 Rt EOF 中，由勾股定理得：EF=4/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜

9、阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后令 y=x2+（k 1）x k=0，即（x+k）（x 1）=0，解得：x=k 或 x=1 C（k，0），OC=k 假设存在唯一一点 Q，使得 OQC=90 ，如答图 3 所示，则以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q，根据圆周角定理，此时 OQC=90 设点 N 为 OC 中点，连接 NQ，则 NQ EF，NQ=CN=ON=EN=OE ON=NE

10、Q=FEO，EQN=EOF=90 ，EQN EOF，即：，解得：k=，k 0，k=存在唯一一点 Q，使得 OQC=90 ，此时 k=点评：本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度第（2）问中，注意 图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点 Q，使得 OQC=90”的含义 3.（2014?黔南州，第 26 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛 物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B，C 两点（点 B 在点 C 的左侧），已知 A 点坐标为（0，3）（1）求

11、此抛物线的解析式（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断 抛物线的对称轴 l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A，C 两点之间，问：当点 P 运动到什么位置时，PAC 的面积最大？并求出此时 P 点的坐标和 PAC 的最大面积 5/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜

12、之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后考点：二次函数综合题 专题：压轴题 分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将 A 点坐标代入 其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴 l 的解析式及 B、C 的坐标，分别求出直线 AB、BD、CE 的解析式，再求出 CE 的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；（3）过 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于 Q；易求得直线 AC 的解析式，可设出 P 点的坐标，进而可表示出 P、Q 的纵坐标，也就得出了 PQ 的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得 出关于 PAC 的面积

13、与 P 点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出 PAC 的最大面积及对应的 P 点坐标 2 解答：解：（1）设抛物线为 y=a（x 4）1，3=a（0 4）2 1，；抛物线为；（3 分）（2）相交 证明：连接 CE，则 CE BD，当 时，x1=2，x2=6 A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴 x=4，OB=2，AB=，BC=4，AB BD，OAB+OBA=90 ，OBA+EBC=90 ，AOB BEC，=，即=，解得 CE=，2，抛物线的对称轴 l 与C 相交（7 分）（3）如图，过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 Q；可求出 AC 的解析式为；（8 分）

14、6/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后设 P 点的坐标为（m，），则 Q 点的坐标为（m，）；2 2 PQ=m+3（m 2m+3）=m+m S PAC=S PAQ+S 2 PCQ=（m+m）6 2=（m 3）+；当 m=3 时，PAC 的面积最大为；此时，P 点的坐标为（3，）（10 分）点评：此题考查了二次函数解析式的确

15、定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形 面积的求法等知识 4.（2013 年广东湛江 12 分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交 y 轴与 A 点，交 x 轴与 B、C 两点（点 B 在点 C 的左侧），已知 A 点坐标为（0，5）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线与点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛 物线的对称轴与C 的位置关系，并给出证明（3）在抛物线上是否存在一点 P，使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 7/18的上述元件的参数如下单模光

16、纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后8/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后5.（

17、2013 年四川巴中 12 分）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为 O，A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（1，0），以 AB 的中点 P 为圆心，AB 为直径作P 的正半轴交于点 C（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设 M 为（1）中抛物线的顶点，求直线 MC 对应的函数解析式；（3）试说明直线 MC 与P 的位置关系，并证明你的结论 9/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是

18、空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后10/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后6.（2013 年四川自贡 14 分）如图，已知抛物线 y=ax 2+bx 2（a 0）与 x 轴交于 A、B 两 点，与 y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且 D（2，3），t

19、an DBA=1 2（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点 B、M、C、A，求四边形 BMCA 面积的最大值；（3）在（2）中四边形 BMCA 面积最大的条件下，过点 M 作直线平行于 y 轴，在这条直线上 是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 11/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该

20、是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后【解答】解：（1）如答图 1，过点 D 作 DE x 轴于点 E，则 DE=3，OE=2。，BE=6。OB=BE OE=4。B（4，0）。点 B（4，0）、D（2，3）在抛物线 y=ax2+bx 2（a 0）上，解得。抛物线的解析式为：。（2）在抛物线 中，令 x=0，得 y=2，C（0，2）。令 y=0，得 x=4 或 1，A（1，0）。12/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化

21、过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后设点 M 坐标为（m，n）（m 0，n 0）。如答图 1，过点 M 作 MF x 轴于点 F，则 MF=n，OF=m，BF=4+m。点 M（m，n）在抛物线 上，代入上式得：，当 m=2 时，四边形 BMCA 面积有最大值，最大值为 9。（3）假设存在这样的 Q，如答图 2 所示，设直线 x=2 与 x 轴交于点 G，与直线 AC 交于点 F 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A（1，0）、C（0，2）代入得：，解得：。直线 AC 解析式

22、为：y=2x 2。令 x=2，得 y=6，F（2，6），GF=6。在 Rt AGF 中，由勾股定理得：。设 Q（2，q），则在 Rt AGF 中，由勾股定理得：13/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后。设 Q 与直线 AC 相切于点 E，则 QE=OQ=。在 Rt AGF 与 Rt QEF 中，AGF=QEF=90 ，AF

23、G=QFE，Rt AGF Rt QEF。，即。化简得：，解得 q=4 或 q=1。存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，点 Q 的坐标为（2，4）或（2，1）。（1）如答图 1 所示，利用已知条件求出点 B 的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）如答图 1 所示，首先求出四边形 BMCA 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值。（3）如答图 2 所示，首先求出直线 AC 与直线 x=2 的交点 F 的坐标，从而确定了 Rt AGF 的各个边长；然 后证明 Rt AGF Rt QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点 Q 的坐标。7.（2013

24、 年广西桂林 12 分）已知抛物线的顶点为（0，4）且与 x 轴交于（2，0），（2，0）（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移 k 个单位，设平移后抛物线的顶点为 D，与 x 轴的交点为 A、B，与原抛物线的交点为 P 当直线 OD 与以 AB 为直径的圆相切于 E 时，求此时 k 的值；是否存在这样的 k 值，使得点 O、P、D 三点恰好在同一条直线上？若存在，求出 k 值；若 不存在，请说明理由 14/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候

25、这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后15/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后8.如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在直线 y=2x 上，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 A，OA=5 若抛物线 过点 O、A 两点（

26、1）求该抛物线的解析式；（2）若 A 点关于直线 y=2x 的对称点为 C，判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图 2，在（2）的条件下，O1 是以 BC 为直径的圆过原点 O 作 O1 的切线 OP，P 为切点（P 与点 C 不重合），抛物线上是否存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与 O1 相切？若存 在，求出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把 O（0，0）、A（5，0）分别代入 y=x2+bx+c，得，16/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近

27、实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后解得；该抛物线的解析式为 y=x2 x；（2）点 C 在该抛物线上理由：过点 C 作 CD x 轴于点 D，连接 OC，设 AC 交 OB 于点 E 点 B 在直线 y=2x 上，B（5，10）点 A、C 关于直线 y=2x 对称，OB AC，CE=AE，BC OC，OC=OA=5，BC=BA=10 又 AB x 轴，由勾股定理得 OB=SRt OAB=AE=2，AC=4；OBA+CAB=90 ，CAD+CAB=90 ，CAD=O

28、BA；又 CDA=OAB=90 ，CDA OAB =；CD=4，AD=8；C（3，4）当 x=3 时，y=9 （3）=4；点 C 在抛物线 y=x2 x 上；（3）抛物线上存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与 O1 相切；过点 P 作 PF x 轴于点 F，连接 O1P，过点 O1 作 O1H x 轴于点 H；C（3，4），B（5，10）O1 是 BC 的中点，由平行线分线段成比例定理得 AH=DH=AD=4，OH=OA AH=1，同理可得 O 1H=7，点 O1 的坐标为（1，7）BC OC，OC 为 O1 的切线；又 OP 为 O1 的切线，|OC=OP=O1C=O1P=5 四边形 OP

29、O1C 为正方形，POF=OCD 又 PFO=ODC=90 ，POF OCD 17/18的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后解得；该抛物线的解析式为 y=x2 x；（2）点 C 在该抛物线上理由：过点 C 作 CD x 轴于点 D，连接 OC，设 AC 交 OB 于点 E 点 B 在直线 y=2x 上，B（5，10）点 A、C

30、关于直线 y=2x 对称，OB AC，CE=AE，BC OC，OC=OA=5，BC=BA=10 又 AB x 轴，由勾股定理得 OB=SRt OAB=AE=2，AC=4；OBA+CAB=90 ，CAD+CAB=90 ，CAD=OBA；又 CDA=OAB=90 ，CDA OAB =；CD=4，AD=8；C（3，4）当 x=3 时，y=9 （3）=4；点 C 在抛物线 y=x2 x 上；（3）抛物线上存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与 O1 相切；过点 P 作 PF x 轴于点 F，连接 O1P，过点 O1 作 O1H x 轴于点 H；C（3，4），B（5，10）O1 是 BC 的中点，由平行

31、线分线段成比例定理得 AH=DH=AD=4，OH=OA AH=1，同理可得 O 1H=7，点 O1 的坐标为（1，7）BC OC，OC 为 O1 的切线；又 OP 为 O1 的切线，|OC=OP=O1C=O1P=5 四边形 OPO1C 为正方形，POF=OCD 又 PFO=ODC=90 ，POF OCD 17/18 的上述元件的参数如下单模光纤康宁数值孔径纤芯直径模场直径微透镜阵列基片材料熔融石英基片厚度内部透过率透透镜到像面的距离设定为是因为这比较接近实际情后面经过优化过程时候这个尺寸还会发生变化透镜到像面的距离使系统也就应该是空间反演对称和轴对称的两个透镜之间的距离设定为因为这个是实验中使用的数据同样地这个距离后