2023年【解析版】中考数学常考易错点：3.4《反比例函数》.pdf

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1、北京市 Earlybird 反比例函数 易错清单 1.利用待定系数法确定反比例函数关系式.【例 1】(2014 广东梅州)已知反比例函数的图象经过点M(2,1).(1)求该函数的表达式;(2)当 2x4 时,求y的取值范围(直接写出结果).【解析】(1)利用待定系数法把(2,1)代入反比例函数y=中可得k的值,进而得到解析式;(2)根据y=可得x=,再根据条件 2x4 可得 24,再解不等式即可.【答案】(1)反比例函数的图象经过点M(2,1).k=21=2,该函数的表达式为.(2),2x0,k=4.【误区纠错】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义:在反比例函数的图象中任取一点,过这一个点

2、向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.3.利用数形结合解决反比例函数与不等式相关问题.【例 3】(2014 四川南充)如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A(2,5)和点B,与y轴相交于点C(0,7).(1)求这两个函数的解析式;(2)当x取何值时,y1y2.【解析】(1)将点C、点A的坐标代入一次函数解析式可得k,b的值,将点A的坐标代入反比例函数解析式可得m的值,继而可得两函数解析式;(2)寻找满足使一次函数图象在反比例函数图象下面的x的取值范围.一次函数解析式为y=-x+7.将点(2,5)代入反比例函数解析式,m=10.据可得再根据条

3、件可得再解不等式即可答案反比例函数的图象经过点该函数的表达式为解得误区纠错此题主要考查了错反比例函数系数的几何意义例湖南娄底如图为反比例函数足为的面积为则的值为的图象上的一点垂直轴垂北京市解了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数的图象中任取一点过这一个点向轴和轴分别作垂线与坐标轴围成的矩北京市 Earlybird 反比例函数解析式为.点D的坐标为(5,2),当 0 x5 时,y11 或-4x0 时,一次函数值大于反比例函数值.【误区纠错】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题,用待定系数法求出一次函数的解析式,三角形的面积,一次函数的图象等知识点,用了数形结合思想.名师点拨 1.掌握反比

4、例函数的定义,会判断反比例函数.2.会用待定系数法求反比例函数的解析式.3.会画反比例函数的图象并能说明其性质.4.借助函数思想解决实际问题.提分策略 1.反比例函数值的大小比较.比较反比例函数值的大小,在同一个象限内根据反比例函数的性质比较,在不同象限内,不能按其性质比较,函数值的大小只能根据特征确定.A.负数 B.非正数 C.正数 D.不能确定 又 点(-1,y1)和均位于第二象限,-1-,y1y2.y1-y20)的图象上,横坐标为 1,过点B分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为A,C,则矩形OABC的面积为().A.1 B.2 C.3 D.4【解析】点B在反比例函数(x0)的图象上,过点B

5、分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为A,C,故矩形OABC的面积S=|k|=2.【答案】B 3.一次函数与反比例函数的综合题解法.主要题型:利用k值与图象的位置关系综合确定系数的符号或图象位置;已知直线与双曲线表达式求交点坐标;用待定系数法确定直线与双曲线的表达式;应用函数图象性质比较一次函数值与反比例值的大小等.解题时,一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识,并结合图象分析、解答问题.【例 3】如图,一次函数y=-x+2 的图象与反比例函数的图象交于A,B两点,与x轴交于D点,且C,D两点关于y轴对称.(1)求A,B两点的坐标;(2)求ABC的面积.据可得再根据条件可得再解不等式即可答案反比

6、例函数的图象经过点该函数的表达式为解得误区纠错此题主要考查了错反比例函数系数的几何意义例湖南娄底如图为反比例函数足为的面积为则的值为的图象上的一点垂直轴垂北京市解了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数的图象中任取一点过这一个点向轴和轴分别作垂线与坐标轴围成的矩北京市 Earlybird【解析】(1)根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组然后解方程组即可得到A,B两点的坐标;(2)先利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标,再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C点坐标,然后利用SABC=SACD+SBCD进行计算.(3)根据坐标与线段的转换可得出AC,BD的长,然后根据三角形的面积公式即可求

7、出答案.【答案】(1)根据题意,得解方程组,得或 所以A点坐标为(-1,3),B点坐标为(3,-1).(2)把y=0 代入y=-x+2,得-x+2=0,解得x=2,所以D点坐标为(2,0).因为C,D两点关于y轴对称,所以C点坐标为(-2,0).所以SABC=SACD+SBCD 4.利用反比例函数解决实际问题.把实际问题转化为反比例函数应用题的关键是建立反比例函数模型,即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质综合方程(组)、不等式(组)及图象求解.【例 4】实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5 小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二

8、次函数y=-200 x2+400 x刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数(k0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?当x=5 时,y=45,求k的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上 20:00 在家喝完半斤低度白酒,据可得再根据条件可得再解不等式即可答案反比例函数的图象经过点该函数的表达式为解得误区纠错此题主要考查了错反比例函数系数的几何意义例湖南娄底如图为反比例函数足为的面积为则的值为的图象上

9、的一点垂直轴垂北京市解了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数的图象中任取一点过这一个点向轴和轴分别作垂线与坐标轴围成的矩北京市 Earlybird 第二天早上 7:00 能否驾车去上班?请说明理由.【解析】(1)利用y=-200 x2+400 x=-200(x-1)2+200 确定最大值;直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可;(2)求出x=11 时,y的值,进而得出能否驾车去上班.【答案】(1)y=-200 x2+400 x=-200(x-1)2+200,喝酒后 1 时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为 200(毫克/百毫升).当x=5 时,y=45,y=(k0),k=xy=455=

10、225.(2)不能驾车上班.理由如下 晚上 20:00 到第二天早上 7:00,一共有 11 小时,第二天早上 7:00 不能驾车去上班.5.利用反比例函数与几何知识相结合解题.在近几年的中考题目中,常常把几何知识和反比例函数相结合在一起,综合性强,对学生的思维能力要求高.解决此类问题的关键是熟悉常见几何图形的特征,将几何图形的隐含性质结合反比例函数知识挖掘出来.【例 5】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数(x0)的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).(1)直接写出B,C,D三点的坐标;(2)若将矩形向下平移,矩形的两个顶点恰好同时落在

11、反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.据可得再根据条件可得再解不等式即可答案反比例函数的图象经过点该函数的表达式为解得误区纠错此题主要考查了错反比例函数系数的几何意义例湖南娄底如图为反比例函数足为的面积为则的值为的图象上的一点垂直轴垂北京市解了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数的图象中任取一点过这一个点向轴和轴分别作垂线与坐标轴围成的矩北京市 Earlybird 【解析】先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B,C,D三点的坐标,再从矩形的平移过程发现只有A、C两点能同时在双曲线上,把A、C两点坐标代入中,得到关于a,k的方程组,从而求得k的值.【答

12、案】(1)B(2,4),C(6,4),D(6,6).如图,矩形ABCD平移后得到矩形ABCD,设平移距离为a,则A(2,6-a),C(6,4-a).点A,点C在的图象上,2(6-a)=6(4-a),解得a=3.点A(2,3).反比例函数的解析式为.专项训练 一、选择题 1.(2014 江苏泰州二中模拟)如图,已知点(m,y1),(m-3,y2),(m-4,y3)在反比例函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是().A.y1y2y3 B.y2y1y3 C.y1y3y2 D.y3y2y1 据可得再根据条件可得再解不等式即可答案反比例函数的图象经过点该函数的表达式为解得误区纠错此题主要考查了错反

13、比例函数系数的几何意义例湖南娄底如图为反比例函数足为的面积为则的值为的图象上的一点垂直轴垂北京市解了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数的图象中任取一点过这一个点向轴和轴分别作垂线与坐标轴围成的矩北京市 Earlybird(第 1 题)(第 2 题)2.(2014 山东济南二模)如图,过x轴正半轴上的任意一点P,作y轴的平行线,分别与反比例函数的图象交于A,B两点.若点C是y轴上任意一点,连接AC,BC,则ABC的面积为().A.3 B.4 C.5 D.10 3.(2013 新疆石河子中考一模)如图,矩形ABOC的面积为 3,反比例函数的图象过点A,则k的值为().(第 3 题)A.3 B

14、.-1.5 C.-3 D.-6 二、填空题 4.(2014 安徽安庆正月 21 校联考)如图,点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),点Pn(xn,yn)在函数(x0)的图象上,P1OA1,P2A1A2,P3A2A3,PnAn-1An都是等腰直角三角形,斜边OA1,A1A2,A2A3,An-1An都在x轴上(n是大于或等于 2 的正整数),则点P3的坐标是 ;点Pn的坐标是 (用含n的式子表示).(第 4 题)据可得再根据条件可得再解不等式即可答案反比例函数的图象经过点该函数的表达式为解得误区纠错此题主要考查了错反比例函数系数的几何意义例湖南娄底如图为反比例函数足为的面积为则的值为的图象上

15、的一点垂直轴垂北京市解了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数的图象中任取一点过这一个点向轴和轴分别作垂线与坐标轴围成的矩北京市 Earlybird 5.(2013 江西高安模拟)一个函数具有下列性质:它的图象经过点(-1,1);它的图象在第二、四象限内;在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,则这个函数的解析式可以为 .三、解答题 (1)求k的值及点E的坐标;(2)若点F是边上一点,且FCBDBE,求直线FB的解析式.(第 6 题)7.(2014 江苏大丰模拟)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A(-2,1),B(1,m)两点.(1)试确定上述反比例函数和一次函数

16、的关系式;(2)求AOB的面积.(第 7 题)据可得再根据条件可得再解不等式即可答案反比例函数的图象经过点该函数的表达式为解得误区纠错此题主要考查了错反比例函数系数的几何意义例湖南娄底如图为反比例函数足为的面积为则的值为的图象上的一点垂直轴垂北京市解了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数的图象中任取一点过这一个点向轴和轴分别作垂线与坐标轴围成的矩北京市 Earlybird 8.(2013 河北一模)如图,一次函数y=mx+5 的图象与反比例函数(k0)在第一象限的图象交于A(1,n)和B(4,1)两点,过点A作y轴的垂线,垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求OAM的面积

17、S;(3)在y轴上求一点P,使PA+PB最小.参考答案与解析 1.C 解析 根据图形,得 0m-11,1m2,则点(m,y1)在第一象限,而点(m-3,y2),(m-4,y3)在第三象限.2.C 解析 ABC的面积 3.C 解析 根据矩形面积,得x与y的积等于 3,图象过第二象限,所以k=-3.解析 过点P1,P2向x轴作垂线,分别求出这二点的坐标.6.(1)在矩形OABC中,B点坐标为,BC边中点D的坐标为(1,3).又 双曲线y=的图象经过点D(1,3),解得k=3.点E在AB上,点E的横坐标为 2.据可得再根据条件可得再解不等式即可答案反比例函数的图象经过点该函数的表达式为解得误区纠错此

18、题主要考查了错反比例函数系数的几何意义例湖南娄底如图为反比例函数足为的面积为则的值为的图象上的一点垂直轴垂北京市解了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数的图象中任取一点过这一个点向轴和轴分别作垂线与坐标轴围成的矩北京市 Earlybird 又经过点E,点E坐标为.(2)由(1),得BD=1,BE=,BC=2,FBCDEB,(2)在y=-x-1 中,当y=0 时,得x=-1.直线y=-x-1 与x轴的交点为C(-1,0).线段OC将AOB分成AOC和BOC,据可得再根据条件可得再解不等式即可答案反比例函数的图象经过点该函数的表达式为解得误区纠错此题主要考查了错反比例函数系数的几何意义例湖南娄底如图为反比例函数足为的面积为则的值为的图象上的一点垂直轴垂北京市解了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数的图象中任取一点过这一个点向轴和轴分别作垂线与坐标轴围成的矩北京市 Earlybird 据可得再根据条件可得再解不等式即可答案反比例函数的图象经过点该函数的表达式为解得误区纠错此题主要考查了错反比例函数系数的几何意义例湖南娄底如图为反比例函数足为的面积为则的值为的图象上的一点垂直轴垂北京市解了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数的图象中任取一点过这一个点向轴和轴分别作垂线与坐标轴围成的矩