2023年【精品推荐】初一数学一元一次方程概念与解法.pdf

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1、初一数学一元一次方程概念与解法 一、考点、热点回顾 考试要求 板块 A 级要求 B 级要求 C 级要求 方程 知道方程是刻画数量关系 能够根据具体问题中的数量关系，列出方 能运用方程解决有关 的一个有效的数学模型 程 问题 方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等手段估计方程的解 能运用整式的加减运 一元一次方 会根据具体问题列出一元一次方程 算对多项式进行变形，程 概念 进一步解决有关问题 了解一元一次方程的有关 一元一次方 程的解法 能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含 理解一元一次方程解法中 会运用一元一次方程 有字母系数（无需讨论）的一元一次方程 的各个步骤 解决简单的实际问题

2、的解 黑体小四 一、等式的概念和性质 1等式的概念 楷体五 用等号“”来表示相等关系的式子，叫做等式 在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边等式可以是数字算式，可 以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则 2等式的类型（1）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立如：数字算式 1 2 3 （2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立方程 x 5 6 需要 x 1 才 成立（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立 如 1 2 5，x 1 x 1 注意：等式由代数式构成，但不是代数式代数式没有等号 楷体 3等式的

3、性质 楷体 等式的性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若 a b，则 a m b m；等式的性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是 0）或同一个整式，所得结果 a b 仍是等式若 a b，则 am bm，(m 0)m m 注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行即：同时加或同时减，同时乘以或同时 除以，不能漏掉某一边（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即：如果 a b，那么 b a 等式具有传递性，即：如果 a b，b c，那么 a c

4、黑二、方程的相关概念 1方程 楷 含有未知数的等式叫作方程 注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有 一个待确定的数即未知的字母二者缺一不可 楷 2方程的次和元 楷 方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元 楷 3方程的已知数和未知数 楷 已知数：一般是具体的数值，如 x 5 0 中（x 的系数是 1，是已知数但可以不说）5 和 0 是 已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有 a、b、c、m、n 等表示 1/7的概念会用观察画图等手段估计方程的解了解一元一次方程的有关能运用整式的加减运算进会根据具体问题列出一元

5、有字母系数无需讨论的一元一次方程的各个步骤解决简单的实际问题的解一元一次方程概念一步解决有关问题一元一号左右两边的式子分别叫做这个等式的左边右边等式以是数字算式以是公式方程也以是用式子表示的运算律运算法则未知数：是指要求的数，未知数通常用 x、y、z 等字母表示 如：关于 x、y 的方程 ax 2by c 中，a、2b、c 是已知数，x、y 是未知数 楷 4方程的解 楷 使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 楷 5解方程 楷 求得方程的解的过程 注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程 楷 6方程解的检验 楷 要验证某个数是不是一个方程的解，

6、只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边 数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是 三、一元一次方程的定义 1一元一次方程的概念 楷 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不等于 0 的方程叫做一元一次方程，这里 的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数 2一元一次方程的形式 a 0，a，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式 标准形式：ax b 0（其中最 简形式：方程 ax b（a 注意 0，a，b 为已知数）叫一元一次方程的最简形式：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次 方程，可以通过变形为最简

7、形式或标准形式来验证如方程 x2 2 x 1 x2 6 是一元一次方程如果不变形，直接 判断就出会现错误（2）方程 ax b 与方程 ax b(a 0)是不同的，方程 ax b 的解需要分类讨论完成 四、一元一次方程的解法 黑 1解一元一次方程的一般步骤 楷（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数 注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边 注意：移项要变号；不要丢项（4）合并同类项：把方程

8、化成 ax b 的形式 注意：字母和其指数不变（5）系数化为 1：在方程的两边都除以未知数的系数 a（a 0），得到方程的解 x b a 注意：不要把分子、分母搞颠倒 楷 2解一元一次方程常用的方法技巧 楷 解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形 等 2/7的概念会用观察画图等手段估计方程的解了解一元一次方程的有关能运用整式的加减运算进会根据具体问题列出一元有字母系数无需讨论的一元一次方程的各个步骤解决简单的实际问题的解一元一次方程概念一步解决有关问题一元一号左右两边的式子分别叫做这个等式的左边右边等式以是数字算式以是公式方程也以是用式子表示的运算

9、律运算法则二、典型例题 一、等式的概念和性质【题 01】判断题（1）1 x 1 y 1 是代数式 2 3 1（2）S ah 是等式 2（3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立（4）若 x y，则 x 4 m y 4 m 【题 02】回答下列问题，并说明理由（1）由 2a 3 2b 3 能不能得到 a b？（2）由 5ab 6b 能不能得到 5a 6？（3）由 xy 7 能不能得到 y 7？x（4）由 x 0 能不能得到 x 1 1？x x【题 03】下列说法不正确的是（）A等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式 B等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式 C等式两边都除以一个数，所得

10、结果仍是等式 D一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式【题 04】下列结论中正确的是（）A 在等式 3a 6 3b 5 的两边都除以 3，可得等式 a 2 b 5 B如果 2 x，那么 x 2 C在等式 5 0.1x 的两边都除以 0.1，可得等式 x 0.5 D在等式 7x 5x 3 的两边都减去 x 3，可得等式 6x 3 4x 6 【题 05】下列变形中，不正确的是（）A 若 x2 5 x，则 x 5 B若 7x 7,则 x 1 C若 x 10 x y 1 x，则 x 1 x D若，则 ax ay 0.2 2 a a【题 06】根据等式的性质填空（1）a

11、4 b，则 a b；（2）3x 5 9，则 3x 9；1（3）6x 8 y 3，则 x；（4）x y 2，则 x 2【题 07】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的（1）如果 2 3 x，那么 x；（2）如果 x y 6，那么 x 6；（3）如果 3 x y 2，那么 y 2；4（4）如果 3x 24，那么 x 二、方程的相关概念 黑体小四【题 08】下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？8 2 3a 4；x 2 y 8；5 3 2；x 1 y；6x x 1；3；3 y y 0；x 2a 2 3a 2；3a 2a 【题 09】判断题 3/

12、7的概念会用观察画图等手段估计方程的解了解一元一次方程的有关能运用整式的加减运算进会根据具体问题列出一元有字母系数无需讨论的一元一次方程的各个步骤解决简单的实际问题的解一元一次方程概念一步解决有关问题一元一号左右两边的式子分别叫做这个等式的左边右边等式以是数字算式以是公式方程也以是用式子表示的运算律运算法则（1）所有的方程一定是等式（）（2）所有的等式一定是方程（）2（3）4 x x 1 是方程（）（4）5x 1 不是方程（）（5）7x 8x 不是等式，因为 7x 与 8x 不是相等关系（）（6）5 5 是等式，也是方程（）（7）“某数的 3 倍与 6 的差”的含义是 3x 6，它是一个代数式

13、，而不是方程（）【题 10】下列各式不是方程的是（）A y2 y 4 B m 2n C p2 2 pq q2 D x 0【题 11】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由（1）3x 7 3 x；（2）2 y 2 3；（3）3 x2 5 x 1；x y（4）1 1 2；（5）4x 2 x；（6）1 5 2【题 12】下列说法不正确的是（）A解方程指的是求方程解的过程 B解方程指的是方程变形的过程 C解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程 D解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程【题 13】检验括号里的数是不是方程的解：2 y y 1 3（y 1，

14、y 3）2 2【题 14】在 y 1、y 2、y 3 中，是方程 y 10 4 y 的解【题 15】解为 x 2 的方程是（）小四 三、一元一次方程的定义 黑体小四【题 16】下列各式中：x 3；2 5 3 4；x 4 4 x；x 4 4 x ；2 2 x 3 x x x(x 2)3；哪些是一元一次方程？1 x 2；x2 x 1 3；【题 17】下列方程是一元一次方程的是（）A 2 3 3 x 7 2 B 3 x 4 5 x x 2 2 x 3 C y2 2 y y(y 2)3 D 3x 8 y 13【题 18】(3a 8b)x2 5bx 7a 0 是关于 x 的一元一次方程，且该方程有惟一解

15、，则 x（）21 A 21 B 40 40 56 C 56 D 15 15 4a 5【题 19】已知 ax 5 3a 是关于 x 的一元一次方程，求这个方程式的解 a 1【题 20】已知方程(a 2)x 4 0 是一元一次方程，则 a；x k 1【题 21】若关于 x 的方程(k 2)x 5k 0 是一元一次方程，则 k=若关于 x 的方程(k 2)x2 4kx 5k 0 是一元一次方程，则方程的解 x=的概念会用观察画图等手段估计方程的解了解一元一次方程的有关能运用整式的加减运算进会根据具体问题列出一元有字母系数无需讨论的一元一次方程的各个步骤解决简单的实际问题的解一元一次方程概念一步解决有

16、关问题一元一号左右两边的式子分别叫做这个等式的左边右边等式以是数字算式以是公式方程也以是用式子表示的运算律运算法则4/7的概念会用观察画图等手段估计方程的解了解一元一次方程的有关能运用整式的加减运算进会根据具体问题列出一元有字母系数无需讨论的一元一次方程的各个步骤解决简单的实际问题的解一元一次方程概念一步解决有关问题一元一号左右两边的式子分别叫做这个等式的左边右边等式以是数字算式以是公式方程也以是用式子表示的运算律运算法则四、一元一次方程的解法 黑体 解方程：6(1 x)5(x 2)2(2 x 3)【题 22】解方程：3(x 3)5 2(2 5x)楷体五号 楷体五号【题 23】方程 025x

17、1的解是 x 【题 24】解方程：7x 1 1 0.2x 5 x 1 0.024 0.018 0.012 去分母，得 根据等式的性质（）去括号，得 移 项，得 根据等式的性质（）合并同类项，得 系数化为 1，得 根据等式的性质（）5/7的概念会用观察画图等手段估计方程的解了解一元一次方程的有关能运用整式的加减运算进会根据具体问题列出一元有字母系数无需讨论的一元一次方程的各个步骤解决简单的实际问题的解一元一次方程概念一步解决有关问题一元一号左右两边的式子分别叫做这个等式的左边右边等式以是数字算式以是公式方程也以是用式子表示的运算律运算法则三、课后练习 1下面的等式中，是一元一次方程的为（）1 A

18、 3x 2y 0 B 3 m 10 C 2 x 2下列结论中，正确的是（）x D a2 16 A由 5 x 13，可得 x 13 5 B由 5 x3 x 7，可得 5 x 3 x 7 9 C由 9 x 4，可得 x D由 5 x 8 2x，可得 5 x 2 x 8 4 3下列方程中，解为 x 2 的方程是（）A 3x x3 B x 3 0 C 2x6 D 5x 2 8 4解方程 时，去分母得（）A 4（x 1）x 3（5x 1）B x 1 12x (5x 1)C 3(x 1）12x 4(5x 1)D 3(x 1）x 4(5x 1)1 5若(y 1)与 3 2y 互为相反数,则 y 等于()3

19、A 2 B 2 C 8 8 D 7 7 6关于 y 的方程 3y 5 0 与 3y 3k1 的解完全相同,则 k 的值为()3 4 A 2 B C 2 D 4 3 7父亲现年 32 岁,儿子现年 5 岁,x 年前,父亲的年龄是儿子年龄的 10 倍,则 x 应满足的方程是()A 32 x5 x B 32x 10(5 x)C 32 x 5 10 D 32 x 5 10 8小华在某月的月历中圈出几个数,算出这三个数的和是 36,那么这个数阵的形式可能是()A B C D 9某商品的售价比原售价降低了 15%,现售价是 34 元,那么原来的售价是()A 28 元 B 32 元 C 36 元 D 40

20、元 10用 72cm 长的铁丝做一个长方形的教具,要使宽为 15cm,那么长是()A 28.5cm B 42cm C21cm D 33.5cm 11设某数为 x，若它的 3 倍比这个数本身大 2，则可列出方程 _.12将方程 3x 7 5x 3 变形为 3x 5x 3 7，这个变形过程叫做 _.13当 y_时，代数式 与 1y5 的值相等.4 14若 与 1 3 互为倒数，则 x _.15.三个连续奇数的和是 75，则这三个数分别是 _.16.一件商品的成本是 200 元，提高 30%后标价，然后打九折销售，则这件商品的利润为 _ 元.17.若 x 3 是关于 x 的方程 3x a 2x 5

21、的解，则 a 的值为 _.6/7的概念会用观察画图等手段估计方程的解了解一元一次方程的有关能运用整式的加减运算进会根据具体问题列出一元有字母系数无需讨论的一元一次方程的各个步骤解决简单的实际问题的解一元一次方程概念一步解决有关问题一元一号左右两边的式子分别叫做这个等式的左边右边等式以是数字算式以是公式方程也以是用式子表示的运算律运算法则18.单项式 3a x 1b4 与 9a2x 1b4 是同类项，则 x _.19.一只轮船在 A、B 两码头间航行，从 A 到 B 顺流需 4 小时，已知 A、B 间的路程是 80 千米，水流速 度是 2 千米/时，则从 B 返回 A 用 _小时.20.解方程：5x 2 7x 8 5（x 8）5 6（2x 7）21.（3 分）一个数的 5 6 与 4 的和等于最大的一位数，求这个数.7/7 的概念会用观察画图等手段估计方程的解了解一元一次方程的有关能运用整式的加减运算进会根据具体问题列出一元有字母系数无需讨论的一元一次方程的各个步骤解决简单的实际问题的解一元一次方程概念一步解决有关问题一元一号左右两边的式子分别叫做这个等式的左边右边等式以是数字算式以是公式方程也以是用式子表示的运算律运算法则