2023年【精品推荐】全等三角形截长补短拔高练习.pdf

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1、1/8 八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短（全等三角形）拔高练习试卷简介:本讲测试题共两个大题，第一题是证明题，共7个小题，每小题10分；第二题解答题，2个小题，每小题15分。学习建议:本讲内容是三角形全等的判定辅助线添加之截长补短，其中通过截长补短来添加辅助线是重点，也是难点。希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线，进而构造出全等的三角形。一、解答题(共 1 道，每道20 分)1.如图，已知点C 是 MAN 的平分线上一点，CEAB 于 E，B、D 分别在 AM、AN 上，且AE=（AD+AB）.问：1 和 2 有何关系？答案：解：1+2=180证明：过点 C 作 CFAN 于点

2、F，由于 AC平分 NAM，所以 CF=CE，则在 RtACF和 RtACE中 ACF ACE（HL），AF=AE，由于 2AE=AD+AB，所以 AB-AE=AF-AD DF=BE，在 CFD和 CEB 中所 以 CFD CEB（SAS），2=FDC，又 1+FDC=180 ，1+2=180。解题思路：见到角平分线就要想到作垂直，找到全等关系是解决此类问题的关键易错点：找到三角形全等的所有条件试题难度：四颗星知识点：三角形2/8 二、证明题(共 8 道，每道10 分)1.如图，已知 ABC 中，A90 ，AB AC，BE平分 ABC，CEBD 于 E，求证：CE=BD.答案：延长 CE交 B

3、A的延长线于点H，由 BE平分ABC，BECE，得 CE=EH=CH。又1+H=90,，2+H=901=2 在 ACH和ABD中HAC=DAB=90 AC=AB 1=2 ACH ABD（ASA）CH=BD CE=CH=BD 解题思路：根据题意，要证明CE=BD，延长 CE与 BA，由题意的垂直平分线可得CE的两倍长 CH，只需证明 CH=BD即可，很显然有全等可以证明出结论易错点：不能正确利用题中已知条件BF平分 ABC，CEBD 于 E，做出辅助线，进而解答。试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质2.如图，已知正方形 ABCD中，E 为 BC 边上任意一点，AF平分 DAE 求证：A

4、E BEDF中通过截长补短来添加辅助线是重点也是难点希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线而构造出全等的三角形所以则在和中由于所以在和中所以又解题思路见到角平分线就要想到作垂直找到全等关系是解决此问题的关键易错点的延长线于点由平分得又在和中解题思路根据题意要证明延长与由题意的垂直平分线可得的两倍长只需证明即可很显3/8 答案：证明：延长CB 到 M 使 BM=DF，连结 AM.在ADF 和 ABM 中 ADF ABM（SAS）1=3，M=4，由于 ABDC，AF平分 EAD，所以 BAF=4，1=2，2=3，从而 MAE=BAF=4=M，AE=ME=BM+BE=DF+BE，AE-BE=DF

5、.解题思路：本问题的关键是将DF 转移到与AE，BE 都有关的位置，运用等量代换解题。首先补短，将 DF 移到 BE 处，来证明 AE=BM+BE.而解决 AE=BM+BE 问题的关键是角度的转换。BAF=4 是关键。易错点：将 DF 进行合理的转化试题难度：四颗星知识点：等腰三角形的性质3.如图，已知四边形ABCD 中，ADBC，若 DAB 的平分线AE 交 CD 于 E，连结 BE，且 BE恰好平分 ABC，判断 AB 的长与 ADBC 的大小关系并证明.中通过截长补短来添加辅助线是重点也是难点希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线而构造出全等的三角形所以则在和中由于所以在和中所以又解

6、题思路见到角平分线就要想到作垂直找到全等关系是解决此问题的关键易错点的延长线于点由平分得又在和中解题思路根据题意要证明延长与由题意的垂直平分线可得的两倍长只需证明即可很显4/8 答案：在 BA 上截取 BF=BC，BE 恰好平分ABC CBE=FBE 又 BC=BF，BE=BE BCE BFE C=BFE 又 ADBC C+D=180而BFE+AFE=180AFE=D 又 AE=AE，EAF=EAD AEF AED AF=AD AD+BC=AF+BF=AB 解题思路：要证明两条线段和等于一条线段，最常想到的是截长补短法.截长：在BA 上截取 BF=BC 或者在 AB 上截取 AF=AD；补短：

7、延长BC 至 G，使 BG=BA 易错点：不会利用截长补短方法解题试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定与性质4.如图，在 ABC 中，ABAC，1=2，P 为 AD 上任意一点.求证：AB-ACPB-PC.答案：证明：在AB 上截 AE=AC，连接 PE 在 EAP和CAP中中通过截长补短来添加辅助线是重点也是难点希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线而构造出全等的三角形所以则在和中由于所以在和中所以又解题思路见到角平分线就要想到作垂直找到全等关系是解决此问题的关键易错点的延长线于点由平分得又在和中解题思路根据题意要证明延长与由题意的垂直平分线可得的两倍长只需证明即可很显5/8 AE=

8、AC 1=2 AP=AP EAP CAP(SAS)CP=EP 在BEP 中PB-PEBE，PE=PC，BE=AB-AE=AB-AC PB-PCPB-PC。解题思路：利用截长的方法易错点：不能正确作出辅助线，把零散的线段转化到一个三角形中。试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系5.如图所示：在 ABC 中，1=2，B=2C，求证：AC=AB+BD答案：在边 AC上截取 AE=AB，连接 DE.在 ABD与AED中 ABDAED（SAS）BD=DE，B=AED B=2 C AED=2 C 又 AED=C+CDE C=CDE，CE=DE，BD=CE AC=AE+EC=AB+BD 解题思路：可以用截长

9、法也可以用补短来解易错点：遇到线段和等于另一线段时，没有联想到运用截长补短法证明试题难度：四颗星知识点：三角形6.如图，ABC 中，ABC=60 ，AD、CE 分别平分BAC，ACB，判断AC 的长与AE+CD 的大小关系并证明.中通过截长补短来添加辅助线是重点也是难点希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线而构造出全等的三角形所以则在和中由于所以在和中所以又解题思路见到角平分线就要想到作垂直找到全等关系是解决此问题的关键易错点的延长线于点由平分得又在和中解题思路根据题意要证明延长与由题意的垂直平分线可得的两倍长只需证明即可很显6/8 答案：判断：AC=AE+CD 证明：令AD 与 CE 的

10、交点为G，在 AC 上截取 AF=AE，在 AEG和AFG中 AEGAFG（SAS），AGE=AGF；ABC=60 ，BAC+BCA=120，又 AD、CE 分别为 BAC 和 BCA 的角平分线，所以 2+3=60，从而 AGE=60 ；于是AGF=AGE=60 ，CGD=AGE=60 ，从 而 CGF=60；在 CGF和 CGD中 CGFCGD，CD=CF，从而 AC=AF+CF=AE+CD。解题思路：看到两段不相干的线段与另一条线段的关系的题目一定要想到分解较长线段，分别证明相等。易错点：未将全部条件找全就使两个三角形全等试题难度：四颗星知识点：三角形7.如图，RtABC中，ACB=90

11、，CDAB 于 D，AF平分 CAB交 CD于 E，交 CB于 F，且EGAB交 CB于 G，判断 CF与 GB 的大小关系并证明。中通过截长补短来添加辅助线是重点也是难点希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线而构造出全等的三角形所以则在和中由于所以在和中所以又解题思路见到角平分线就要想到作垂直找到全等关系是解决此问题的关键易错点的延长线于点由平分得又在和中解题思路根据题意要证明延长与由题意的垂直平分线可得的两倍长只需证明即可很显7/8 答案：判断：CF=GB 证明：过点F 作 FHAB 于点 H，由于 AF 平分 CAB，则在 ACF与AHF 中 ACF AHF，则 CF=FH，而 FH

12、AB，CDAB，FHCD，从而4=5，3=4，CF=CE，从而 CE=FH，又 EGAB，所以 6=B CEG=CDB=90；则 CEG FHB，CG=FB，故 CF=BG 解题思路：找到全等关系是证明的关键易错点：想到将线段转移，想不到全等。试题难度：四颗星知识点：三角形8.ABC中，BAC=60，C=40，AP平分 BAC交 BC 于 P，BQ 平分 ABC交 AC于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ 中通过截长补短来添加辅助线是重点也是难点希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线而构造出全等的三角形所以则在和中由于所以在和中所以又解题思路见到角平分线就要想到作垂直找到全等关系是解决此问

13、题的关键易错点的延长线于点由平分得又在和中解题思路根据题意要证明延长与由题意的垂直平分线可得的两倍长只需证明即可很显8/8 答案：延长 AB 到 E 使 BE=BP，连接 EP，则 AE=AB+BE=AB+BP，ABC=180-BAC-C=800.由 BQ 平分 ABC，AP 平分 BAC，则 BAP=PAC=30，ABQ=CBQ=40.又因为 C=400，我们得到CQ=BQ，BQ+AQ=CQ+AQ=AC。BE=BP，ABP=80 E=80 =40 =C 在 APE和APC中E=C BAP=CAP=30 AP=AP APE APC（AAS）AE=AP 即 AB+BP=BQ+AQ 解题思路：见答案详解易错点：正确作出辅助线，根据等量代换，把没有联系的线段转化为符合题目要求的线段。试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质中通过截长补短来添加辅助线是重点也是难点希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线而构造出全等的三角形所以则在和中由于所以在和中所以又解题思路见到角平分线就要想到作垂直找到全等关系是解决此问题的关键易错点的延长线于点由平分得又在和中解题思路根据题意要证明延长与由题意的垂直平分线可得的两倍长只需证明即可很显