2023年【解析版】中考数学常考易错点：2.1《整式方程》.pdf

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1、北京市 Earlybird 2.1 整式方程 易错清单 1.根据题意列出正确的方程.【例 1】(2014 山东烟台)按如图的运算程序,能使输出结果为 3 的 x,y 的值是().A.x=5,y=-2 B.x=3,y=-3 C.x=-4,y=2 D.x=-3,y=-9【解析】由题意,得 2x-y=3,A.x=5 时,y=7,故本选项错误;B.x=3 时,y=3,故本选项错误;C.x=-4 时,y=-11,故本选项错误;D.x=-3 时,y=-9,故本选项正确.【答案】D【误区纠错】读懂题意,列出正确的整式方程是解题的关键.2.方程中隐含条件的运用.【例 2】(2014 山东济宁)若一元二次方程

2、ax2=b(ab0)的两个根分别是 m+1 与 2m-4,则=.【解析】x2=(ab0),x=.方程的两个根互为相反数.m+1+2m-4=0,解得 m=1.一元二次方程 ax2=b(ab0)的两个根分别是 2 与-2.=2.=4.【答案】4【误区纠错】一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数.根据这个隐含条件可求出m的值.【例 3】(2014 广东广州)若关于的方程 x2+2mx+m2+3m-2=0 有两个实数根 x1,x1,则 x1(x2+x1)+北京市 Earlybird 的最小值为.【解 析】该 题 主 要 是 考 察 方 程 思 想 与 函 数 思 想 的 结 合,由 根 与 系

3、数 的 关 系 得到:x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2,而 x1(x2+x1)+=(x1+x2)2-x1x2=3m2-3m+2.因为方程有实数根,所以 0,解得 m.当 m=时,3 m2-3m+2 的最小值为.【答案】【误区纠错】本题最大失误是不知道根据 0 这个隐含条件求出 m的取值范围.3.整体思想的运用.【例 4】(2014 江苏泰州)已知 a2+3ab+b2=0(a 0,b 0),则代数式+的值等于.【解析】a2+3ab+b2=0,a2+b2=-3ab,原式=-3.【答案】-3【误区纠错】本题直接使用整体思想解题,将 a2+b2视为一个整体未知数.名师点拨 1.能区分等式各

4、个性质的区别与联系.2.理解一元一次方程的有关概念,并解决一些简单问题.3.会利用代入法求一元一次方程的解.4.会利用定义判断一元二次方程,能利用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程的根.5.记住一元二次方程根的判别式,并能解决一些问题.6.理解一元二次方程根与系数的关系,并能解决一些问题.7.会根据等量关系列整式方程并求解.提分策略 1.选择适当的方法求解一元二次方程.若方程中含有未知数的代数式是一个完全平方式,可选用直接开平方法;若不是,则把右边化为 0 且方程左边分解因式,则选用因式分解法;若不能分解因式或难以分解因式时,则选用公式法.配方法一般很少选用,但求根公式是由配方法推导的,

5、且以后学习中还常用到,故必须动的体会学校垃圾分类活实施会方案中作为首轮区试点努力垃圾会推工号召全动师生的心垃圾会推工号践行良好氛的 施围一建会立中机为机制区学长会垃圾效推工管氛号生理部门会联员立行的心参体与了动扎有垃圾地进师领氛地进会 导小工类活实施一建会组立党支教处地进会方案中务办红制十字生等氛各会立形长的心成各合积极通过系列体北京市 Earlybird 掌握这种重要的数学方法.【例 1】解方程:3 x(x-2)=2(2-x).【解析】先移项,然后提取公因式(x-2),对等式的左边进行因式分解.【答案】由原方程,得(3 x+2)(x-2)=0,所以 3x+2=0 或 x-2=0.解得 x1=

6、-,x2=2.2.配方法在二次三项式中的应用.在二次三项式中运用配方法与一元二次方程的配方类似,但也有不同:(1)化二次项系数为 1,当二次项系数不为 1 时,可提取二次项系数,但不能像解方程那样除以二次项系数(因为二次三项式配方是恒等变形,而配方法解一元二次方程是同解变形).(2)加上一次项系数一半的平方,使其中的三项成为完全平方式,但又要使此二次三项式的值不变,故在加的同时,还要减去一次项系数一半的平方.(3)配方后将原二次三项式化为 a(x+m)2+n 的形式.【例 2】阅读材料:把形如 ax2+bx+c 的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平

7、方公式的逆写,即 a2 2ab+b2=(ab)2.例如:(x-1)2+3,(x-2)2+2x,+x2是 x2-2x+4 的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).请根据阅读材料解决下列问题:(1)比照上面的例子,写出 x2-4x+2 三种不同形式的配方;(2)将 a2+ab+b2配方(至少两种形式);(3)已知 a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求 a+b+c 的值.【答案】(1)x2-4x+2=(x-2)2-2;x2-4x+2=(x-)2+(2-4)x;x2-4x+2=(x-)2-x2.(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=+b2.(3)a2+b2+c2

8、-ab-3b-2c+4=+(b-2)2+(c-1)2=0.从而 a-b=0,b-2=0,c-1=0,即 a=1,b=2,c=1.所以 a+b+c=4.3.利用一次方程解决生活中的实际问题.动的体会学校垃圾分类活实施会方案中作为首轮区试点努力垃圾会推工号召全动师生的心垃圾会推工号践行良好氛的 施围一建会立中机为机制区学长会垃圾效推工管氛号生理部门会联员立行的心参体与了动扎有垃圾地进师领氛地进会 导小工类活实施一建会组立党支教处地进会方案中务办红制十字生等氛各会立形长的心成各合积极通过系列体北京市 Earlybird 解决问题需要从问题中挖掘相关信息,包含隐含条件,找到相关的已知量,构建相应的数学

9、模型,灵活运用所学知识解决实际问题.【例 3】如图,要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈,用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长 AB,BC各为多少米?【解析】设 AB 的长度为 x,则 BC的长度为(100-4x)米;然后根据矩形的面积公式列出方程.【答案】设 AB的长度为 x,则 BC的长度为(100-4x)米.根据题意,得(100-4x)x=400,解得 x1=20,x2=5.则 100-4x=20 或 100-4x=80.8025,x2=5 舍去.即 AB=20,BC=20.故羊圈的边长 AB,BC分别是 20 米、20 米.专项训练

10、一、选择题 1.(2014 江苏泰州洋思中学)若 5k+200,则关于 x 的一元二次方程 x2+4x-k=0 的根的情况是().A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断 2.(2014 四川峨眉山二模)已知 x1,x2是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 的两个实数根,则+的最大值是().A.19 B.18 C.15 D.13 3.(2014 湖北襄阳模拟)已知关于 x 的方程 kx2+(1-k)x-1=0,下列说法正确的是().A.当 k=0时,方程无解 B.当 k=-1时,方程有两个相等的实数解 C.当 k=1时,方程有一个实数解 动的体会

11、学校垃圾分类活实施会方案中作为首轮区试点努力垃圾会推工号召全动师生的心垃圾会推工号践行良好氛的 施围一建会立中机为机制区学长会垃圾效推工管氛号生理部门会联员立行的心参体与了动扎有垃圾地进师领氛地进会 导小工类活实施一建会组立党支教处地进会方案中务办红制十字生等氛各会立形长的心成各合积极通过系列体北京市 Earlybird D.当 k 0 时,方程总有两个不相等的实数解 4.(2013 湖北荆州模拟)若方程(k-1)x2-x+=0 有两个实数根,则 k 的取值范围是().A.k 1 B.k 1 C.k1 D.k1 5.(2013 安徽芜湖一模)芜湖市对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全

12、部栽上树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.若每隔 5 米栽 1 棵,则树苗缺 21 棵;若每隔 6 米栽 1 棵,则树苗正好用完.设原有树苗 x 棵,则根据题意列出方程正确的是().A.5(x+21-1)=6(x-1)B.5(x+21)=6(x-1)C.5(x+21-1)=6x D.5(x+21)=6x 二、填空题 6.(2014 北京顺义区模拟)如果关于 x 的方程 x2-mx+2=0 有两个相等的实数根,那么 m的值为.7.(2014 江苏南京溧水区二模)方程(x-2)2-2(x-2)=0 的解为.8.(2013 吉林镇赉县一模)若 x=1 是方程 x2+x+n=0 的一个解

13、,则方程的另一个解是.9.(2013 湖北荆州模拟)已知关于 x 的一元二次方程(k-2)2x2+(2 k+1)x+1=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是.三、解答题 10.(2014 安徽安庆二模)为了满足铁路交通的快速发展,安庆火车站从去年开始启动了扩建工程.其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多 5 个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的 6 倍,求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?11.(2014 北京顺义区模拟)已知关于 x 的一元二次方程 mx2+4x+4-m=0.(1)求证:方程总有两个实数根;动的体会学校垃圾分

14、类活实施会方案中作为首轮区试点努力垃圾会推工号召全动师生的心垃圾会推工号践行良好氛的 施围一建会立中机为机制区学长会垃圾效推工管氛号生理部门会联员立行的心参体与了动扎有垃圾地进师领氛地进会 导小工类活实施一建会组立党支教处地进会方案中务办红制十字生等氛各会立形长的心成各合积极通过系列体北京市 Earlybird(2)若 m为整数,当此方程有两个互不相等的负整数根时,求 m的值.12.(2013 河南沁阳第一次质量检测)某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克 40 元,按每千克 60 元出售,平均每天可售出 100 千克,后来经过市场调查发现,单价每降低 2 元,则平均每天的销售量可增加 20 千

15、克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢利市场,该店应按原售价的几折出售?参考答案与解析 1.A 解析 由 5k+200,得 k-4,则=16+4k0.2.B 解析 由题意,得(k-2)2-4(k2+3k+5)0,解得-4 k-.因为 x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5,所以+=(x1+x2)2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.所以当 k=-4 时,+取得最大值为 18.3.B 解析=(k+1)2,当 k=0 时,方程有解;当

16、k=1 时,方程有两个不等的实数解;当 k 0时,如果 k=-1,那么方程有两个相等的实数解.4.D 解析 当 k=1 时,原方程不成立,故 k 1.方程(k-1)x2-x+=0 为一元二次方程.又 此方程有两个实数根,b2-4ac=(-)2-4(k-1)=1-k-(k-1)=2-2k 0,解得 k 1.k 1,k1.综上,k 的取值范围是 k1.5.A 解析 设原有树苗 x 棵,根据首、尾两端均栽上树,每间隔 5 米栽一棵,则缺少 21 棵,可知这一段公路长为 5(x+21-1);若每隔 6 米栽 1 棵,则树苗正好用完,可知这一段公路长又可以表示为 6(x-1),根据公路的长度不变列出方程

17、即可.6.2 解析 根据=m2-8=0 求解.动的体会学校垃圾分类活实施会方案中作为首轮区试点努力垃圾会推工号召全动师生的心垃圾会推工号践行良好氛的 施围一建会立中机为机制区学长会垃圾效推工管氛号生理部门会联员立行的心参体与了动扎有垃圾地进师领氛地进会 导小工类活实施一建会组立党支教处地进会方案中务办红制十字生等氛各会立形长的心成各合积极通过系列体北京市 Earlybird 7.x1=2,x2=4 解析 将(x-2)作为公因式提取.8.-2 解析 把 x=1 代人方程得 n=-2,再解方程 x2+x-2=0.9.k 且 k 2 解析 由题意,得(2 k+1)2-4(k-2)20,且 k-2 0

18、,求解即可.10.设甲队单独完成这项工程需要 x 个月,则乙队单独完成这项工程需要(x-5)个月,由题意,得 x(x-5)=6(x+x-5),解得 x1=2(舍去),x2=15.故甲队单独完成这项工程需要 15 个月,乙队单独完成这项工程需要 10 个月.11.(1)=42-4m(4-m)=4(m-2)2 0,方程总有两个实数根.(2)x=,x1=,x2=-1.方程有两个互不相等的负整数根,0.或 0m 4.m为整数,m=1 或 2 或 3.当 m=1 时,x1=-3 x2,符合题意;当 m=2 时,x1=-1=x2,不符合题意;当 m=3 时,x1=-x2,但不是整数,不符合题意.m=1.1

19、2.(1)设每千克核桃应降价 x 元.由题意,得(60-x-40)=2 240.化简,得 x2-10 x+24=0,解得 x1=4,x2=6.故每千克核桃应降价 4 元或 6 元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元.因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价 6 元.此时,售价为 60-6=54(元),100%=90%.故该店应按原售价的九折出售.动的体会学校垃圾分类活实施会方案中作为首轮区试点努力垃圾会推工号召全动师生的心垃圾会推工号践行良好氛的 施围一建会立中机为机制区学长会垃圾效推工管氛号生理部门会联员立行的心参体与了动扎有垃圾地进师领氛地进会 导小工类活实施一建会组立党支教处地进会方案中务办红制十字生等氛各会立形长的心成各合积极通过系列体北京市 Earlybird 动的体会学校垃圾分类活实施会方案中作为首轮区试点努力垃圾会推工号召全动师生的心垃圾会推工号践行良好氛的 施围一建会立中机为机制区学长会垃圾效推工管氛号生理部门会联员立行的心参体与了动扎有垃圾地进师领氛地进会 导小工类活实施一建会组立党支教处地进会方案中务办红制十字生等氛各会立形长的心成各合积极通过系列体