2023年七年级数学专题训练24 相交线与平行线.pdf

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1、 七年级数学专题训练 24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行.当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据 1平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行；(2)平行于同一直线的两条直线平行；(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 2平行线的性质 (

2、1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行；(2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；(3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直.熟悉以下基本图形：例题与求解 【例 1】(1)如图，ABDE，ABC 080，CDE 0140，则BCD _.（安徽省中考试题）(2)如图，已知直线 ABCD，C0115，A025，则E_.（浙江省杭州市中考试题）DB图FECA 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解.【例 2】如图，平行直线 AB，CD与相交直线 EF，GH相交，图中的同旁内角共有()A4 对 B8 对 C12 对 D16 对 （“希望杯”

3、邀请赛试题）解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手 D E C A B 图 1 ABCDGHEF FDEBCA 例 2 题图 例 3 题图 【例 3】如图，在ABC中，CE AB于 E，DFAB于 F，AC/ED，CE是ACB的平分线，求证：EDF BDF.（天津市竞赛试题）解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形 【例 4】如图，已知 ABCD，EAF 41EAB，FCF 41ECD.求证：AFC 43AEC.（湖北省武汉市竞赛试题）解题思路：分别过点 E，F作平行线，利用平行线的性质找角之间的关系.

4、ABFCDE 例 4 题图 例 5 题图 【例 5】如图，已知1 2，CD，求证：AF.解题思路：从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系，是解这类问题的基本思路.F A B C 1 D E 2 以上不同名称的角是解相关问题的基础把握对顶角有公共顶点而同位角内错角同旁内角没有公共顶点且有一条边在截等内错角相等或同旁内角互补两直线平行平行于同一直线的两条直线平行在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平如果一条直线和两条平行线中的一条垂直那么它和另一条也垂直熟悉以下基本图形例题与求解例如图则如图已知直线 【例 6】(1)已知平面内有 4 条直线 a，b，c 和 d，直

5、线 a，b 和 c 相交于一点，直线 b，c 和 d 也相交于一点，试确定这 4 条直线共有多少个交点？并说明你的理由 (2)作第 5 条直线 e 与(1)中的直线 d 平行.说明：以这 5 条直线的交点为端点的线段有多少条？（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：(1)先设直线 a，b，c 的交点为 P，直线 b，c，d 的交点为 Q，证得 P 与 Q 实为同一点，得出结论 (2)绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质.能力训练 A级 1 在同一平面内有1a，2a，3a，10a十条直线，如果1a/2a，2a3a，3a/4a，4a5a，5a/6a，6a7a，那么1a与10a的位置关系是_.2如图，已知

6、 AE BD，10130，2030，则C_ （湖南省常德市中考试题）3如图，直线 a，b 都与直线 c 相交，下列命题中，能判断 ab 的条件是_（把你认为正确的序号填在横线上）12；36；18；580180（陕西省中考试题）第4题图21第3题图第2题图7865432121DAECBab 4.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则12_.（山东省烟台市中考试题）5下面四个命题中正确的是()A相等的两个角是对顶角 B和等于0180的两个角互为邻补角 C连结两点的最短线是过这两点的直线 以上不同名称的角是解相关问题的基础把握对顶角有公共顶点而同位

7、角内错角同旁内角没有公共顶点且有一条边在截等内错角相等或同旁内角互补两直线平行平行于同一直线的两条直线平行在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平如果一条直线和两条平行线中的一条垂直那么它和另一条也垂直熟悉以下基本图形例题与求解例如图则如图已知直线 D两条直线相交所成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直 （“希望杯”邀请赛试题）6下列命题 两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直 两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等 两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直 两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直 其中正确的有()A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 7

8、如图，DHEGBC，且 DCEF，那么图中与BFE相等的角(不包括BFE)的个数是()A.2 B4 C5 D6 （山东省菏泽地区中考试题）8如图，ABCDEF GH，AE DG，点 C在 AE上，点 F在 DG上，设与相等的角的个数为 m（不包括a 本身），与互补的角的个数为 n若 a，则 mn 的值是()A.8 B.9 C.10 D.11 第8题图第7题图CFGAFGDHBCBEDHEA 9如图，已知 ABED，NCB030，CM 平分BCE，CNCM，求B的度数 10.如图，已知 E是 AB，CD外一点，DBE，求证：ABCD.ABEDNCM 以上不同名称的角是解相关问题的基础把握对顶角有

9、公共顶点而同位角内错角同旁内角没有公共顶点且有一条边在截等内错角相等或同旁内角互补两直线平行平行于同一直线的两条直线平行在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平如果一条直线和两条平行线中的一条垂直那么它和另一条也垂直熟悉以下基本图形例题与求解例如图则如图已知直线 11.平面上有 10 条直线，无任何 3 条交于一点，要使它们出现 31 个交点，怎样安排才能办到？（吉林省竞赛试题）ABEDC 12.如图，已知 CDEF，12ABC，求证：AB/GF.（重庆市竞赛试题）B 级 1.如图，A060，12，则ADC的度数是_.2如图，直线 ab，那么x的度数是_.（五城市联赛试题）ba第1题图第2题图第

10、3题图x48303012021CDEABADBCDCF 3如图，把一个长方形纸片沿 EF折叠后，点 D，C分别落在 D，C的位置，若EFB 065，则AED _.（山东省中考试题）以上不同名称的角是解相关问题的基础把握对顶角有公共顶点而同位角内错角同旁内角没有公共顶点且有一条边在截等内错角相等或同旁内角互补两直线平行平行于同一直线的两条直线平行在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平如果一条直线和两条平行线中的一条垂直那么它和另一条也垂直熟悉以下基本图形例题与求解例如图则如图已知直线 4如图，已知 DEBC，2070，1040，那EBA的度数是_.AC21EBD lk4321 第 4 题图 第

11、5 题图 5.如图，直线kl，43322 一3d0其中3090，1050，则4最大可能的整数值是()A.1070 B1080 C1090 D1100 6.如图，ABCDEF，EH CD于 H，则BAC ACE CEH等于()A1800 B2700 C3600 D4500(北京市竞赛试题）7如图，两直线 AB，CD平行，则123456()A6300 B.7200 C8000 D.9000（“希望杯”邀请赛试题）BDFAC654321HACEBDEFGH 第 6 题图 第 7 题图 8两条直线 a，b 互相平行，直线 a 上顺次有 10 个点 A1，A2，A10，直线 b 上顺次有 9 个点 B1

12、，B2，B3，将 a 上每一个点与 b 上每一个点相连可得线段若没有三条线段相交于同一点，则这些线段的交点个数是()A.90 B.1620 C.6480 D.2006 9如图，已知两条平行线 AB，CD被直线 EF所截，交点分别为 G，H，P 为 HD上任意一点，过 P点的直线交 HF于 O 点，求证：HOPAGF HPO.以上不同名称的角是解相关问题的基础把握对顶角有公共顶点而同位角内错角同旁内角没有公共顶点且有一条边在截等内错角相等或同旁内角互补两直线平行平行于同一直线的两条直线平行在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平如果一条直线和两条平行线中的一条垂直那么它和另一条也垂直熟悉以下基本图

13、形例题与求解例如图则如图已知直线 OPABCDEF 10如图，在ABC中，AB7，AC11，点 M 是 BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD.求 FC的长 (2013 年“数学周报”杯竞赛试题)DFMBCA 11平面上有七条两两不平行的直线，试证：其中必有直线的交角小于 260（莫斯科八年级竞赛试题）以上不同名称的角是解相关问题的基础把握对顶角有公共顶点而同位角内错角同旁内角没有公共顶点且有一条边在截等内错角相等或同旁内角互补两直线平行平行于同一直线的两条直线平行在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平如果一条直线和两条平行线中的一条垂直那么它和另一条也垂直熟悉以下基本图形例题与求解例如图

14、则如图已知直线 12如图，MA1NA2，则A1A2_.如图，MA1NA3，则A1A2A3_.如图，MA1NA4，则A1A2A3A4_.如图，MA1NA5，则A1A2A3A4A5_.从上述结论中你发现了什么规律？请在图，图，图中选一个证明你的结论.（2）如图 5，nNA|MA1，则nAAAA321 .（3）利用上述结论解决问题：如图已知CD|AB，ABE和CDE的平分线相交于 F，140E，求BFD的度数.A6 An A5 A4 A2 A1 M N A2（第 21 题）A1 M N A3 A2 A1 M N A3 A4 A2 A1 M N A3 A5 A4 A2 A1 M N A3 图 图 图

15、图 图 F E B A C D 图 以上不同名称的角是解相关问题的基础把握对顶角有公共顶点而同位角内错角同旁内角没有公共顶点且有一条边在截等内错角相等或同旁内角互补两直线平行平行于同一直线的两条直线平行在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平如果一条直线和两条平行线中的一条垂直那么它和另一条也垂直熟悉以下基本图形例题与求解例如图则如图已知直线 专题 24 相交线与平行线 例 1 （1）40 过点 C 作 CFAB，则BCFABC80 DCF180 140 40，BCD80 40=40.（2）90 过点 E 作 EMAB，ABCD，EMCD，AEM=18025=155.CEM=180115=65，

16、E=AEM CEM=15565=90.例 2 D 提示：原图可分解为 8 个基本图形.例 3 提示：由 DFCE 得，BDF=BCE，FDE=DEC，ACDE，得DEC=ECA.例 4 过 E 作 EMAB.AB于 CD，EMCD.AEC=AEM+CEM=EAB+ECD.同理：AFC=FAB+FCD.AEC=FAB+FCD+EAF+ECF=AFC+EAB+ECD=AFC+AEC.故AFC=AEC.例 5 提示：先证 BDCE，再证 DFBC.例 6（1）直线 a，b，c，d 共有 1 个交点，理由如下：设直线 a，b，c的交点为 P，直线 b，c，d 的交点为 Q.这意味着点 P 和点 Q 都

17、是直线 b 和 c 的交点.而两条不同直线至多有一个交点.因此 P 和 Q 必为同一个点.即 4 条直线 a，b，c 和 d 相交于同一个点.因此这 4 条直线只有一个交点.(2)不妨设（1）中交点为 O.因为作的第 5 条直线 e 与（1）中的直线 d平行，所以直线 e 和直线 d 没有公共点，因此这些 e 不过点 O.而直线 a，b，c 与直线 e 必然都相交.如图所示.设直线 e 与直线 a，b，c 分别相交于点 A，B，C.这时有 A，B，C，O 共四个不同的点.可以连出 OA，OB，OC，AB，AC，BC 共 6 条不同的线段.A级 1.2.20 3.4.90 5.D 6.B 7.C

18、 8.D 提示：m=5，n=6，m+n=5+6=11.9.60 10.提示：过点 E 作 EFAB.11 如图所示.12.作 CKFG，延长 GF，CD 交于 H 点，则1+2=ABC，故ABC+BCK=180，即 CKAB，ABGF.B 级 1.120 2.72 3.50 4.30 5.C 提示：2=50+d，3=50+2d，4=50+3d，又3=50+2d90，d20，4=50+3d14=360，与+12.(1)180 360 540 720 证明略.（2）（n-1）180 （3）过 F 作 FGAB，则 ABFGCD.则BFD=（ABE+CDE），又ABE+CDE+E=360，得ABE+CDE=220，故BFD=110 以上不同名称的角是解相关问题的基础把握对顶角有公共顶点而同位角内错角同旁内角没有公共顶点且有一条边在截等内错角相等或同旁内角互补两直线平行平行于同一直线的两条直线平行在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平如果一条直线和两条平行线中的一条垂直那么它和另一条也垂直熟悉以下基本图形例题与求解例如图则如图已知直线