2023年【解析版】中考数学常考易错点：3.3.1《二次函数的图象与性质》.pdf

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1、北京市 Earlybird 二次函数的图象与性质 易错清单 1.二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定.【例 1】(2014 山东烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:4a+b=0;9a+c3b;8a+7b+2c0;当x-1 时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有().A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【解析】根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有 4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3 时,函数值小于 0,则 9a-3b+c0,即 9a+c3b;由于x=-1 时,y=0,则a-b+c=0,易得c=

2、-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.再根据抛物线开口向下得a0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x2 时,y随x的增大而减小.【答案】抛物线的对称轴为直线x=2,b=-4a,即 4a+b=0,所以正确.当x=-3 时,y0,9a-3b+c0,即 9a+c3b.所以错误.抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),a-b+c=0.而b=-4a,a+4a+c=0,即c=-5a.8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.抛物线开口向下,a0.所以正确.对称轴为直线x=2,当-1x2 时,y随x的增大而减小.所以错误.北京市 Earlybird 故选 B.【

3、误区纠错】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a0时,抛物线向上开口;当a0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0 时,抛物线与x轴有 2个交点;=b2-4ac=0 时,抛物线与x轴有 1 个交点;=b2-4ac0 时,抛物线与x轴没有交点.2.二次函数和最值问题【例 2】(2014 浙江舟山)当-2x1 时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1 有最大值 4,则实数m的值为().【解析】二次函数的最值得分类讨论问题,根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.【答案】二次函数的对称轴为直线x=m,m-2 时,

4、x=-2 时二次函数有最大值,此时-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-,与m-2 矛盾,故m值不存在.当-2m1 时,x=m时,二次函数有最大值,此时,m2+1=4,【误区纠错】本题易错点在于不知分类讨论导致漏解.名师点拨 1.掌握二次函数的定义,能利用定义判断二次函数.2.能利用顶点式、交点式、三点式确定二次函数的解析式.3.会利用描点法画二次函数的图象并能说明其性质.4.能利用二次函数解析式中系数确定函数的对称轴、顶点坐标、开口方向与坐标轴的交点直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确

5、对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird 坐标等.提分策略 1.二次函数的图象与性质的应用.(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:配方法;顶点公式法,顶点坐标为.(2)画抛物线y=ax2+bx+c的草图,要确定五个方面,即开口方向;对称轴;顶点;与y轴交点;与x轴交点.【例 1】(1)用配方法把二次函数y=x2-4x+3 变成y=(x-h)2+k的形式;(2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3 的图象;(3)若A(x1,y1),B(x2

6、,y2)是函数y=x2-4x+3 图象上的两点,且x1 x2y2.(4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x+3=2 的根.2.二次函数的解析式的求法.二次函数的关系式有三种:(1)一般式y=ax2+bx+c;直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird(2)顶点式y=a(x-m)2+n,其中(m

7、,n)为顶点坐标;(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0)为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式求关系式;已知顶点及另一个点坐标用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.【例 2】已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且顶点的纵坐标为,求二次函数的解析式.【解析】根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式.3.二次函数的图象特征与系数的关系的应用.二次函数y=ax2+bx+c=0(a0)系数的符号与抛物线二次函数y=ax2+bx+c=0(a0)的图象有着密切的关系,我们可以根据a,b,c的符号判断抛物线的位置,也可以根据抛

8、物线的位置确定a,b,c的符号.抛物线的位置由顶点坐标、开口方向、对称轴的位置确定,顶点所在象限由的符号确定.【例 3】(2014 天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0 没有实数根,有下列结论:b2-4ac0;abc2.其中,正确结论的个数是().A.0 B.1 直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对

9、称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird C.2 D.3【解析】由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,进而判断;先根据抛物线的开口向下可知a0,故正确.抛物线的开口向下,a0.对称轴,ab0.a0.abc2,故正确.故选 D.4.二次函数的图象的平移规律的应用.(1)采用由“点”带“形”的方法.图形在平移时,图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离,抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决.(2)平移的变化规律可为:上、下平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向上平移m(m0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k+m;当抛

10、物线y=a(x-h)2+k向下平移m(m0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k-m.直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird 左、右平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向左平移n(n0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h+n)2+k;当抛物线y=a(x-h)2+k向右平移n(

11、n0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h-n)2+k.【例 4】(2014 甘肃兰州)把抛物线y=-2x2先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度后,所得函数的表达式为().A.y=-2(x+1)2+2 B.y=-2(x+1)2-2 C.y=-2(x-1)2+2 D.y=-2(x-1)2-2【解析】根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:“左加右减,上加下减.”【答案】把抛物线y=-2x2先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度后,所得函数的表达式为y=-2(x-1)2+2,故选 C.专项训练 一、选择题 1.(2014 江苏句容一模)若抛物线y=mx

12、2+(m-3)x-m+2 经过原点,则m的值为().A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2014 辽宁营口模拟)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m0)的图象可能是().3.(2014 安徽安庆正月 21 校联考)抛物线y=ax2+bx-3 经过点(2,4),则代数式 8a+4b+1 的值为().A.3 B.9 C.15 D.-15 4.(2013 山东德州一模)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:abc0;直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛

13、物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird a+b+c=2;b1.其中正确的结论是().A.B.C.D.(第 4 题)(第 5 题)5.(2013 山西中考模拟六)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图,则a的值为().6.(2013 浙江湖州中考模拟试卷)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是().二、填空题 直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根

14、据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird 7.(2014 安徽安庆正月 21 校联考)如图,大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒.(第 7 题)8.(2014 甘肃天水模拟)如图是二次

15、函数y=ax2+bx+c图象的一部分.其对称轴为x=-1,且过点(-3,0).下列说法:(1)abcy2.其中说法正确的是 .(填序号)(第 8 题)9.(2014 辽宁大连二模)如图是函数y=x2+bx-1 的图象,根据图象提供的信息,确定使-1y2 的自变量x的取值范围是 .(第 9 题)10.(2014 山东德城模拟)如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c0 的解集是 .直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开

16、口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird (第 10 题)11.(2013 江苏东台实中)已知抛物线与x轴两交点分别是(-1,0),(3,0),另有一点(0,-3)也在图象上,则该抛物线的关系式是 .12.(2013 北京龙文教育一模)点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=x2-2x-1 的图象上,若x2x11,则y1与y2的大小关系是y1 y2.(用“”“”或“=”填空)13.(2013 河北一模)如图,抛物线y=a

17、x2+bx与直线y=kx相交于点O(0,0)和A(3,2)两点,则不等式ax2+bxkx的解集为 .(第 13 题)三、解答题 14.(2014 北京平谷区模拟)已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0.(1)求证:无论m取任何实数时,方程总有实数根;(2)关于x的二次函数y1=x2-mx+m-1 的图象C1经过(k-1,k2-6k+8)和(-k+5,k2-6k+8)两点.求这个二次函数的解析式;把中的抛物线E沿x轴翻折后,再向左平移 2 个单位,向上平移 8 个单位得到抛物线.设抛物线C2交x轴于M,N两点(点M在点N的左侧),点P(a,b)为抛物线C2在x轴上方部分图象上的一个动点.

18、当MPN45时,直接写出a的取值范围.直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird (第 14 题)15.(2014 安徽安庆二模)如图,在等腰直角ABC中,ABC=90,AB=BC=4,P为AC中点,E为边AB上一动点,F为边BC上一点,且满足条件EPF=45,记四边形PEBF的面积为S1.(1)求证:APE

19、=CFP;(2)记CPF的面积为S2,CF=x.求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围,并求出y的最大值;在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形,若它们关于点P中心对称,求y的值.(第 15 题)16.(2013 山东德州一模)如图,Rt ABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为(-3,0),(0,4),抛物线y=+bx+c经过点B,且顶点在直线上.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;(3)若点M是CD所在直线下方该抛物

20、线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird 坐标.(第 16 题)参考答案与解析 1.C 解析 将(0,0)代入函数关系式即可.2.D 解析 假设函数在 D选项中正确,则m

21、0,抛物线的开口向上,顶点的横坐标.所以 D正确,别的选项这种假设均不成立.3.C 解析 将点(2,4)代入抛物线方程,得 4a+2b-3=4,4a+2b=7.8a+4b+1=27+1=15.4.D 解析 抛物线的开口向上,a0.与y轴的交点为在y轴的负半轴上,c0.abc1,.故本结论错误.当x=-1 时,函数值0,即a-b+c0(1),直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数

22、共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird 又a+b+c=2,将a+c=2-b代入(1)式,得 2-2b1.故本结论正确.综上所述,其中正确的结论是.5.D 解析 由题意,知a2-2=0,且a0.6.C 解析 当a0 时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限,故 A,D 不正确;由 B,C 中二次函数的图象可知,对称轴,且a0,则b0,b0,排除 B.7.36 解析10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同,则到达顶点时是 18 秒,所以通过拱梁部分的桥面OC共需 182=36 秒.8.(1)(2)(4)解析 其对称轴为x=-

23、1,且过点(-3,0),则另一个交点是(1,0).当x=2 时,函数值大于零,即 4a+2b+c0,(3)错误,其余的均正确.9.2 x3 或-1x0 解析 把(3,2)代入y=x2+bx-1,得b=-2,当y=-1 时,x=-1 或x=2,观察可知:使-1 y 2 的自变量x的取值范围是 2x3 或-1x0.10.x3 解析 观察可知抛物线与x轴另一交点为(-1,0),所以不等式ax2+bx+c0的解集是x3.11.y=x2-2x-3 解析 用待定系数法求二次函数解析式.12.1时,y随x的增大而增大.13.0 x3 解析 利用了图象上的点的坐标特征来解一次函数与二次函数的解析式.14.(1

24、)在x2-mx+m-1=0 中,=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2.当m取任何值时,(m-2)20,无论m取任何实数时,方程总有实数根.(2)抛物线y1=x2-mx+m-1 过点(k-1,k2-6k+8)和点(-k+5,k2-6k+8),直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird 15.(1)

25、EPF=45,APE+FPC=180-45=135.在等腰直角ABC中,PCF=45,则 CFP+FPC=180-45=135,APE=CFP.(2)APE=CFP,且 FCP=PAE=45,在等腰直角ABC中,AC=AB=4,又 P为AC的中点,则AP=CP=2,如图(1),过点P作PH AB于点H,PG BC于点G,(第 15 题(1)E在AB上运动,F在BC上运动,且 EPF=45,2x4.直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错

26、误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird 如图(2)所示:(第 15 题(2)图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称,此时EB=BF,即AE=FC,(2)在 RtABO中,OA=3,OB=4,四边形ABCD是菱形,BC=CD=DA=AB=5.C,D两点的坐标分别是(5,4),(2,0).点C和点D在所求抛物线上.直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与北京市 Earlybird 直线则有观察函数图象得到当时函数值小于则即由于时则易得所以再根据抛物线开口向下得于是有由于对称轴为直线的一个交点为而即抛物线开口向下所以正确对称轴为直线当时的值随值的增大而增大当时随的增大而减小所以错误北抛物线向上开口当时抛物线向下开口一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与