小升初数学专项训练+典型例题分析-找规律篇.pdf

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1、名校真题 测试卷 找规律篇 时间：15 分钟 满分 5 分 姓名_ 测试成绩_ 1 （12 年清华附中考题）如果将八个数 14，30，33，35，39，75，143，169 平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？2 （13 年三帆中学考题）观察 1+3=4；4+5=9；9+7=16；16+9=25；25+11=36 这五道算式，找出规律，然后填写 20012（）20022 3（12 年西城实验考题）一 串 分 数：1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 28 12,.,.,3 3,5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 9 99 11 11其 中 的 第 20

2、00 个 分 数是 .4 （12 年东城二中考题）在 2、3 两数之间,第一次写上 5,第二次在 2、5 和 5、3 之间分别写上 7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少?27583 5 (04年人大附中考题)请你从 01、02、03、98、99 中选取一些数，使得对于任何由 09 当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。(1)请你说明：11 这个数必须选出；(2)请你说明：37 和 73 这两个数当中至少要选出一个；(3)你能选出 55 个数满足

3、要求吗？【附答案】1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为 33、35、30、169 和 14、39、75、143。2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列 3、5、7、9、11，所以下面括号中填的数字为奇数列中的第 2001 个，即 4003。3 【解】分母为 3 的有 2 个，分母为 4 个，分母为 7 的为 6 个，这样个数 2+4+6+888=19802000，这样 2000 个分数的分母为 89，所以分数为 20/89。4 【解】：第一次写后和增加 5，第二次写后的和增加 15，第三次写后和增加 45，第四次写后和增加 135，第五次写后和增加 40

4、5，它们的差依次为 5、15、45、135、405为等比数列，公比为 3。它们的和为 5+15+45+135+405+12151820，所以第六次后，和为 1820+2+31825。5 【解】(1)，11，22，33，99，这就 9 个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是19 某个单一的数比如 11111，只出现 11，因此 11 必选，同理要求前述 9 个数必选。(2)，比如这个数 373737，同时出现且只出现 37 和 37，这就要求 37 和 73 必须选出一个。(3)，同 37 的例子，01 和 10 必选其一，02 和 20 必选其一，09 和 90 必选其一，选出 9 个

5、 12 和 21 必选其一，13 和 31 必选其一，19 和 91 必选其一，选出 8 个。23 和 32 必选其一，24 和 42 必选其一，29 和 92 必选其一，选出 7 个。89 和 98 必选其一，选出 1 个。如果我们只选两个中的小数这样将会选出 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。再加上 1199 这 9 个数就是 54 个。小升初专项训练 找规律篇 希望考入重点中学？奥数网是我们成就梦想的地方！的第个分数是年东城二中考题在两数之间第一次写上第二次在和之间分别写上如下所示每次都在已写上的两个相邻数得对于任何由当中的某些数字组成的无穷的一串数当中都有某两个相邻的数字是你

6、所选出的那些数中当中的一个为了解分解质因数找出质因数再分开所以分组为和解上面的规律是右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列所以下面 一、小升初考试热点及命题方向 找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。在刚刚结束的12 年小升初选拔考试中，人大附中，首师附中，十一学校，西城实验，三帆，西外，东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。二、2007 年考点预测 07 年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。三、典型例题

7、解析 1 与周期相关的找规律问题 【例 1】、（）7n化小数后，小数点后若干位数字和为 1992，求 n 为多少？【解】7n化小数后，循环数字和都为 27，这样 199227=7321,所以 n=6。【例 2】、（）有一数列 1、2、4、7、11、16、22、29那么这个数列中第 2006 个数除以 5 的余数为多少？【解】数列除以 5 的余数为 1、2、4、2、1、1、2、4、2、1这样就使 5 个数一周期，所以 20035=4003，所以余 4。【例 3】、（）某人连续打工 24 天，赚得 190 元(日工资 10 元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资).已知他打工是从 1 月

8、下旬的某一天开始的，这个月的 1 号恰好是星期日.问：这人打工结束的那一天是 2 月几日?【】第五届“华杯赛”初赛第 16 题【解】因为 372447，所以 24 天中星期六和星期日的个数，都只能是 3 或 4.又，190 是 10 的整数倍。所以 24 天中的星期六的天数是偶数.再由 240-190=50(元)，便可知道，这 24 天中恰有 4 个星期六、3 个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因为 1 月 1 日是星期日，所以 1 月 22 日也是星期日，从而 1 月下旬唯一的一个星期四是 1 月 26

9、 日.从 1 月 26 日往后算，可知第24 天是 2 月 18 日，这就是打工结束的日子.2 图表中的找规律问题 的第个分数是年东城二中考题在两数之间第一次写上第二次在和之间分别写上如下所示每次都在已写上的两个相邻数得对于任何由当中的某些数字组成的无穷的一串数当中都有某两个相邻的数字是你所选出的那些数中当中的一个为了解分解质因数找出质因数再分开所以分组为和解上面的规律是右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列所以下面 【例 4】、（）图中，任意_-个连续的小圆圈内三个数的连乘积郡是 891，那么 B=_.【】第十届数学竞赛初赛填空题第 5 题 【解】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积

10、都是 891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔 2 个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是，B=891(99)=11.【例 5】（）自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第 10 行，左起第 13 列的数；（2）数 127 应排在上起第几行，左起第几列？【解】：本题考察学生“观察归纳猜想”的能力此表排列特点：第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于所在行数的平方；第一行第 n 个数是（n-1）2+1，第 n 行中，以第一个数至第 n 个数依次递减 1；从第 2 列起该列中从第一个数至第 n 个数依次递增 1 由此（1）（13-1）2+1+9=154；（2）127=112+6=（12-1）

11、2+1+5，即左起 12 列，上起第 6 行位置 3 较复杂的数列找规律【例 6】、（）设 1，3，9，27，81，243 是 6 个给定的数。从这六个数中每次或者取 1 个，或者取几个不同的数求和（每一个数只能取 1 次），可以得到一个新数，这样共得到 63 个新数。把它们从小到大一次排列起是 1，3，4，9，10，12，第 60 个数是_。【】1989 年小学数学奥林匹克初赛第 15 题【解】最大的（即第 63 个数）是 1+3+9+27+81+243=364 第 60 个数（倒数第 4 个数）是 36413360。【例 7】、（）在两位数 10，11，98，99 中，将每个被 7 除余

12、2 的数的个位与十位之间添加-个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少?【】第五届“华杯赛”初赛第 15 题【解】原的总和是 10+11+98+99=290)9910(=4905，被 7 除余 2 的两位数是 72+2=16，73+2=23，713十 2=93.共 12 个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的101，因此这-手续使总和减少了 的第个分数是年东城二中考题在两数之间第一次写上第二次在和之间分别写上如下所示每次都在已写上的两个相邻数得对于任何由当中的某些数字组成的无穷的一串数当中都有某两个相邻的数字是你所选出的那些数中当中的一个为了解分解质因数找出质

13、因数再分开所以分组为和解上面的规律是右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列所以下面(16+23+93)(1-101)=212)9316(109=588.6 所以，经过改变之后，所有数的和是 4905588.6=4316.4.【例 8】、（）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出 100 个.肥皂泡吹出之后，经过 1 分钟有-半破了，经过 2 分钟还有201没有破，经过2 分半钟全部肥皂泡都破了小明在第 20 次吹出 100 个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有 个.【】1990 年小学数学奥林匹克决赛第 8 题【解】小明在第 20 次吹出 100 个新的肥皂泡的时候，第 17 次之前(包括第

14、 17 次)吹出的肥皂泡全破了.此时没有破的肥皂泡共有 100+100201+10021=155(个).4 与斐波那契数列相关的找规律 【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？现在我们先找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。第 1 个

15、月到第 6 个月兔子的对数是：1，2，3，5，8，13。我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第 3 个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第 12 个数，就得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。显然，第 12 个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内 1 对兔子能繁殖成 233 对。在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。【例 9】（）数

16、学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第 1 年它只有主干，第 2 年有两枝，问 15 年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？【解】1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584 绝对是一棵大树。【例 10】（）有一堆火柴共 10 根，如果规定每次取 1 3 根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法，我们可以先看只有 1

17、 根的情况开始：1 根，有：1 种；斐波那契数列非常有意思 ！的第个分数是年东城二中考题在两数之间第一次写上第二次在和之间分别写上如下所示每次都在已写上的两个相邻数得对于任何由当中的某些数字组成的无穷的一串数当中都有某两个相邻的数字是你所选出的那些数中当中的一个为了解分解质因数找出质因数再分开所以分组为和解上面的规律是右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列所以下面2 根，有 1、1，2，共两种；3 根，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共 4 种；4 根，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共 7=4+2+1种；5 根，有：1、1、1、1、1

18、，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共 13=7+4+2种；6 根，得到 24=13+7+4种；即：n 根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。由此得到，10 根为 274 种。拓展 爬楼梯问题。【例 11】（）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则加，如此进行直到得数为 1 操作停止。问经过 9 次操作变为 1 的数有多少个？【】仁华考题 【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律归纳出计算方法。在复杂的或者步子比较多的计数中

19、，找规律是一种非常常用的方法。归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。5 有趣的猫捉耗子规律 注：有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？因此我们称之为猫捉耗子的问题。【例 12】、（）50 只耗子排成一排，1 到 50 报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列出列一直这样，问最后一只剩下的是原的几号？【解】第一次剩下的是：2、4、6、8、10、1250 都是 2 的倍数；第二次剩下的是：4、8、12、1648 都是 4=22的倍数；第三次剩下的是：8、16、24都是 8=23的倍数，

20、这样每次剩下的都是 2n的倍数，现在要剩下一只，这样就是看 150 中 2n的最大数就是 32 号。的第个分数是年东城二中考题在两数之间第一次写上第二次在和之间分别写上如下所示每次都在已写上的两个相邻数得对于任何由当中的某些数字组成的无穷的一串数当中都有某两个相邻的数字是你所选出的那些数中当中的一个为了解分解质因数找出质因数再分开所以分组为和解上面的规律是右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列所以下面【拓展】123 自然数列一直写到 100，然后按数码编号，擦去奇数号，留下的数再编号，再擦去奇数号这样请问最后留下的 3 个数字是。【解】360 【例 13】、（）50 枚棋子围成圆圈，编上号码

21、 1、2、3、4、50，每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的号码是 42 号，那么该从几号棋子开始取呢？【】03 年圆明杯数学竞赛试题 【解】：方法一：通过归纳我们知道，如果开始有 A人，A2k+m(k 是保证 m为自然数的最大值)。那么从 1 号开始取，每个 1 个取 1 个，则最后剩下的为 2m号。现在有 50 枚棋子，如果从 1 号开始取，有 5025+18，所以最后剩下的为 18236 号。现在剩下的是 42 号，所以开始取的为 1+(4236)7 号。方法二：找出规律，若开始从 2 号开始取，则若有 2 枚、4 枚、8 枚、16 枚、32 枚则最后剩下的均为 1 号。比如如

22、果 9 枚，取掉 1 号后即剩下 8 枚剩下的将是 8 枚的首位，即 3 号，而 50 枚先取 503218 枚后，剩 32 枚，取走了 2、4、6、8、36，则 37 为剩下的 32 枚重排列后的 1 号，38 为 2 号。故最后剩下的为 37 号，即若开始取 2 号，剩下 37 号，现剩下的为 42 号，故开始从 7 号开始取的。【例 14】、（）把 11993 这 1993 个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图 121，从 1 开始沿顺时针方向，保留 1，擦去 2；保留 3，擦去 4；（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？【解】分析：如果依照题意进行操作

23、，直到剩下一个数为止，实在是很困难。我们先从简单情况研究，归纳出解决问题的规律，再应用规律解题。如果是 2 个数 1、2，最后剩下 1；如果是 3 个数 1、2、3，最后剩 3；如果是 4 个数 1、2、3、4，最后剩 1；如果是 5 个数 1、2、3、4、5，最后剩的是 3；如果是 6 个数 1、2、3、4、5、6，最后剩的是 5；如果是 7 个数 1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是 7；如果是 8 个数 18，最后剩的是 1。我们发现当数的个数是 2，4，8 时，最后剩的都是 1（操作的起始数）。这是为什么呢？以 8 个数为例，数一圈，擦掉 2，4，6，8，就相当于从 1 开始，还有

24、4 个数的情况，4 个数时，从 1 开始，数一圈，又擦掉 2 个，还剩从 1 开始的两个数，擦掉 1 以外的数，最后剩 1。这样，数的个数是 16，32，64，2n 时，最后剩的都是起始数 1。当数的个数是 3 时，擦去 2，就剩 2 个数，最后应剩下一步的起始数 3；数的个数是 5 时，擦去 2，剩 4 个数，最后也应剩下一步的起始数 3。根据以上规律，如果有 18 个数，擦去 2、4，剩下 16 个数，再擦下去，最后还应剩下一步的起始数 5。就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是2n时，下一步起始数就是最后剩下的数。解：因为 1024=210，2048=211，21101993211，1

25、993-1024=969，的第个分数是年东城二中考题在两数之间第一次写上第二次在和之间分别写上如下所示每次都在已写上的两个相邻数得对于任何由当中的某些数字组成的无穷的一串数当中都有某两个相邻的数字是你所选出的那些数中当中的一个为了解分解质因数找出质因数再分开所以分组为和解上面的规律是右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列所以下面就是说，要剩 210个数，需要擦去 969 个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第 969 个数时，最后擦的是：9692=1938 下一个起始数是 1939，那么最后剩的就应该是 1939。练习 按照例 1 的操作规则 （1）如果是 1900 这 900 个自然数，

26、最后剩的是哪个数？（2）如果是 11949 这 1949 个自然数，最后剩的是哪个数？说明：这道例题的解题思路是：特 殊 一 般 特 殊 （简单情况）（一般规律）（较复杂情况）一般规律：把 1n 这 n 个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从 1 开始，顺时针方向，隔过 1，擦去 2，隔过 3，擦去 4，（每隔一个数，擦去一个数）。最后剩下的数 x 是哪个数？解：设 2kn2k+1，k 是自然数。x=（n-2k）2+1【拓展】：如果还是上面例题，但改为保留 1，擦去 2；保留 3，擦去 4；（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？【解】剩下的规律是剩下2n时，都是最

27、后一号留下，所以答案是 1938。【例 15】、（）100 个小朋友围成一圈，并依次标号为 1 至 100 号。从第 1 号开始 1 至 2 报数，凡是报到 1 的小朋友退出圈子，这样循环进行到剩下一个小朋友为止。问这个小朋友是多少号？【解】与上题不同 6 小结 本讲主要接触到以下几种典型题型：1）与周期相关的找规律问题 参见例 1，2，3 2）图表中的找规律问题 参见例 4，5 3）较复杂的数列找规律 参见例 6，7，8 4）与斐波那契数列相关的找规律 参见例，9，10，11 5）有趣的猫捉耗子规律 参见例 12，13，14，15 【课外知识】珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不

28、够漂亮。有一天，她到饰物店去买了只绿色蝴蝶结，店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺高兴，不由昂起了头，急于让大家看看，出门与人撞了一下都没在意。珍妮走进教室，迎面碰上了她的老师，“珍妮，你昂起头真美！”老师爱抚地拍拍她的肩说。那一天，她得到了许多人的赞美。她想一定是蝴蝶结的功劳，可往镜前一照，头上根本就没有蝴蝶结，一定是出饰物店时与人一碰弄丢了。自信原本就是一种美丽，而很多人却因为太在意外表而失去很多快乐。温馨提示：无论是贫穷还是富有，无论是貌若天仙，还是相貌平平，只要你昂起头，快乐会使你变得可爱人人都喜欢的那种可爱。作业题 的第个分数是年东城二中考题在两数之间第一次写上第二次在

29、和之间分别写上如下所示每次都在已写上的两个相邻数得对于任何由当中的某些数字组成的无穷的一串数当中都有某两个相邻的数字是你所选出的那些数中当中的一个为了解分解质因数找出质因数再分开所以分组为和解上面的规律是右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列所以下面 （注：作业题-例题类型对照表，供参考）题 1类型 3；题 2，3，4类型 5；题 5，6，7类型 2，、（）已知一串有规律的数：1，2/3，5/8，13/21，34/55，。那么，在这串数中，从左往右数，第10 个数是_。【解】找规律，前面分子分母和就是后一个数分子，分母等于分子和前一个分数分母的和，这样第10 个数就是 4181/6765。、

30、（）在一个圆圈上，逆时针标上 1、2、3、19，从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数 1。求从哪个数起？【解】先取走 15.（）把 11992 为 1992 个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从 1 开始逆时针方向，保留 1，涂掉 2；保留 3，涂掉 4，。（每隔一个数涂去一个数），求最后剩下哪个数？【解】（1992-1024）2+1=1937 .（）把 11987 这 1987 个数，均匀排成一个大圆圈。从 1 开始数，隔过 1，划掉 2，3；隔过 4，划掉 5，6；，（每隔一个数，划掉两个数）一直划下去，问最后剩下哪个数？【解】.（）如下图，小方和小张进

31、行跳格子游戏，小方从 A跳到 B，每次可跳 1 步或 2 步；小张从 C跳到 D，每次可跳 1 步、2 步或 3 步。规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。问获胜方的跳法比另一方多 种。A C B D【解】同例题可知 A到 B共 11 格，共 144 种跳法；C到 D共 9 格，共 149 种，所以多 5 种。6、（）如下图，从 A处穿过房间到达 B处，如果要求只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？【解】到 1 号房间有 1 种走法，到 2 号房间有 2 种方法，到 3 号房间有 3 种方法所以到 8 号房间总共有 34 种房间。7、（）如数表：第 1 行 1 2 3

32、 14 15 第 2 行 30 29 28 17 16 第 3 行 31 32 33 44 45 第 n 行 A 第 n1 行 B 第 n 行有一个数 A，它的下一行（第 n1 行）有一个数 B，且 A和 B在同一竖列。如果 A+B 391，那么 n=_。【】1995 年小学数学奥林匹克初赛 A卷第 7 题、B卷第 9 题 【解】相邻两行，同一列的两个数的和都等于第一列的两个数的和，而从第 1 行开始，相邻两行第一列的两个数的和依次是 31，61，91，121，。（*）的第个分数是年东城二中考题在两数之间第一次写上第二次在和之间分别写上如下所示每次都在已写上的两个相邻数得对于任何由当中的某些数字组成的无穷的一串数当中都有某两个相邻的数字是你所选出的那些数中当中的一个为了解分解质因数找出质因数再分开所以分组为和解上面的规律是右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列所以下面 每项比前一项多 30，因此 391 是（*）中的第(391 31)30113 个数，即 n13.的第个分数是年东城二中考题在两数之间第一次写上第二次在和之间分别写上如下所示每次都在已写上的两个相邻数得对于任何由当中的某些数字组成的无穷的一串数当中都有某两个相邻的数字是你所选出的那些数中当中的一个为了解分解质因数找出质因数再分开所以分组为和解上面的规律是右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列所以下面