圆的有关证明与计算题专题.docx

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1、圆的有关证明与计算题专题圆的有关证明与计算题专题 本文关键词：计算题，证明，专题圆的有关证明与计算题专题 本文简介：圆的证明与计算专题探讨圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成状况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关圆的有关证明与计算题专题 本文内容：圆的证明与计算专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成状况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：1.

2、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明垂直关系.(6)切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来相互转化.这在圆中的证明和计算中常常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关

3、的计算：求线段长（或面积）；求线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。三、解题秘笈：1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相像、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是相互垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要擅长进行由此及彼的联想、要总结常添加的协助线.例：（1）如图，AB是O的直径，BCAB，ADOC交O于D

4、点，求证：CD为O的切线；（2）如图，以RtABC的直角边AB为直径作O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是O的切线.（3）如图，以等腰ABC的一腰为直径作O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DEAC于E（或E为CF中点），求证：DE是O的切线.（4）如图，AB是O的直径，AE平分BAF，交O于点E，过点E作直线EDAF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是O的切线.2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相像等学问的结合，形式困难，无规律性。分析时要重点留意视察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的

5、转化。特殊是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图探讨线段（已知随意两条线段可求其它全部线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特殊是发觉其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发觉问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发觉图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量

6、关系。3、典型基本图型：图形1：如图1：AB是O的直径，点E、C是O上的两点，基本结论有：（1）在“AC平分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切线”三个论断中，知二推一。（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如图（4）：若CKAB于K，则：CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;ADCACBAC2=AD?AB（4）在(1)中的条件、中任选两个条件，当BGCD于E时（如图5），则：DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；AD?BG=DC2图形2：如图：RtABC中，ACB=90。点O是AC上一点，以OC

7、为半径作O交AC于点E，基本结论有：（1）在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。（2）G是BCD的内心；BCOCDEBO?DE=CO?CE=CE2；（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如图（3），若BC=CE，则：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5；（在、中知一推二）设BE、CD交于点H，,则BH=2EH图形3：如图：RtABC中，ABC=90,以AB为直径作O交AC于D，基本结论有：如右图：（1）DE切OE是BC的中点；（2）若DE切O，则：DE=BE=CE；D、O、B、E四点共圆CED=2ACD

8、CA=4BE2,图形特别化：在（1）的条件下如图1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：;图形4：如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：（1）DEACDE切O；（2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；EF=EC；D是的中点。与基本图形1的结论重合。连AD，产生母子三角形。图形5：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于，基本结论有：（1）如图1：AD+BCCD；COD=AEB=90；OD平分ADC（或OC平分BCD）；（注：在、及“CD是O的切线”四个论断中，知一推

9、三）ADBC2=R2；（2）如图2，连AE、CO，则有：COAE，CO?AE=2R2(与基本图形2重合)（3）如图3，若EFAB于F，交AC于G，则：EG=FG.图形6：如图：直线PRO的半径OB于E，PQ切O于Q，BQ交直线PQ于R。基本结论有：（1）PQ=PR(PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一（3）2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2图形7：如图，ABC内接于O，I为ABC的内心。基本结论有：（1）如图1，BD=CD=ID；DI2DEDA；AIB=90+ACB;（2）如图2，若BAC=60，则：BD+CE=BC.图形8：已知，AB是O的

10、直径，C是中点，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有：（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是中点)（2）OE=AF，OEAC；ODEAGF（3）BEBG=BDBA（4）若D是OB的中点，则：CEF是等边三角形；四、范例讲解：1.ABP中，ABP=90，以AB为直径作O交AP于C点，弧=，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.（1）求证：CD为O的切线；（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求的值。2直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.求证：CD为

11、O的切线若，求的值3如图，AB为直径，PB为切线，点C在O上，ACOP。（1）求证：PC为O的切线。（2）过D点作DEAB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求的值。4。如图，已知ABC中，以边BC为直径的O与边AB交于点D，点E为的中点，AF为ABC的角平分线，且AFEC。（1）求证：AC与O相切；（2）若AC6，BC8，求EC的长5.如图，RtABC，以AB为直径作O交AC于点D，过D作AE的垂线，F为垂足.（1）求证：DF为O的切线；（2）若DF=3，O的半径为5，求的值.6如图，AB为O的直径，C、D为O上的两点，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.（1）求证

12、：EF为O的切线；（2）若AC=6，BD=5，求的值.7如图，AB为O的直径，半径OCAB，D为AB延长线上一点，过D作O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.（1）求证：DE=DF；（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求的值.8如图，RtABC中，C=90，BD平分ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作O，O交AB于点一点E，EFAC于点F.（1）求证：O与AC相切；（2）若EF=3，BC=4，求的值.9如图，等腰ABC中，AB=AC，以AB为直径作O交BC于点D，DEAC于E.（1）求证：DE为O的切线；（2）若BC=，AE=1，求的值.10如图，BD为O的直径，A为的中点，AD交

13、BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE.（1）求证：DF为O的切线；（2）若AE=2，DE=4，BDF的面积为，求的值.11、如图，AB是O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且ECF=E（1）求证：CF是O的切线；（2）设O的半径为1，且AC=CE，求的长12、如图，AB是O的直径，BCAB，过点C作O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.（1）求证：AD是O的切线；（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.13、如图，ABC中，AB=BC，以AB为直径的O交AC于点D，

14、且CD=BD.（1）求证：BC是O的切线；（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交O于E，EFAC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.14、如图，AB是半O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F.且ADO=B.（1）求证：CF为O的O切线；（2）求sinBAD的值.11、如图，ABC中，ABAC，以AC为直径的O与AB相交于点E，点F是BE的中点（1）求证：DF是O的切线（2）若AE14，BC12，求BF的长第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页