实验5--非线性方程求根及其MATLAB实现.ppt

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1、分类数学实验之方程求近似实根问题方程求近似实根问题.考虑方程考虑方程 f(x)=0 求根分为两步：求根分为两步：（）先确定某个根的近似值；（）先确定某个根的近似值；（）再将初始近似值加工成满足精度要求的结果。（）再将初始近似值加工成满足精度要求的结果。.两分法迭代（理论基础：零点定理）两分法迭代（理论基础：零点定理）设设f(x)Ca,b，f(a)f(b)0。区间。区间(a,b)就是方程就是方程根的存在区间，再用下面的方法改善根的精度。根的存在区间，再用下面的方法改善根的精度。方程求根数值算法的基本思想方程求根数值算法的基本思想取取a,b的中点的中点x0=(a+b)/2，若，若f(x0)=0，则

2、，则x0即是根；即是根；否则，否则，f(a)f(x0)0，令，令a1=a，b1=x0(取取a,b的左半部的左半部)；f(x0)f(b)0，令，令a1=x0，b1=b(取取a,b的右半部的右半部)。.abf(a)f(a+b)/2)f(b)f(x)xy.将上述做法重复将上述做法重复n次，得到次，得到n个小区间，且个小区间，且 bn-an=(b-a)/2n，a,b经过一次这样对原区间经过一次这样对原区间a,b的处理，得到了一个新的处理，得到了一个新的有根区间的有根区间a1,b1，且，且 b1-a1=(b-a)/2，a,ba1,b1。.两分法迭代两分法迭代当当n足够大时即可达到满意的精度。足够大时即可

3、达到满意的精度。a1,b1an,bn。.例例1 求方程求方程 x 3+1.1x 2+0.9x 1.4=0的一个实根。使误差不超过的一个实根。使误差不超过10-3.两分法迭代两分法迭代解：（）首先观测图形，作f(x)的图像:ezplot(x3+1.1*x2+0.9*x-1.4)x=-1:0.01:1;y=x.3+1.1.*x.2+0.9.*x-1.4;%函数表达式figure;plot(x,y,LineWidth,2)%画出图形hold on;y1=zeros(size(x);%y10plot(x,y1,r,LineWidth,4);.bisect.m关于此程序的解释见“方程求根的代码解释”一文

4、（）按两分法的思想，进行迭代求根。为了使得程序具有通用性，将方程的表达式写成一个函数：function y=myequation(x);y=x.3+1.1.*x.2+0.9.*x-1.4;这样修改y的表达式，即可求出其他方程的实根。（3）运行二分法的程序：.两分法迭代的加速：两分法迭代的加速：abf(a)f(a+b)/2)f(b)f(x)xyc以f(a),f(b)的连线在x轴的交点作为新的出发点。但此方法不一定能真正加速。原理请详见教材p191。程序：fastbisect.m.不动点迭代不动点迭代n 称满足方程称满足方程 f(x)=x f(x)=x的点的点x x为函数为函数f f的的不动点不动

5、点.n求函数求函数f f的不动点。可以从一个初始点的不动点。可以从一个初始点x x0 0出发，出发，以格式以格式 xn+1=f(xn)进行迭代；进行迭代；n x1=f(x0)，x2=f(x1)，xk+1=f(xk)，n得到得到x0,x1,x2,xn,.n如果该数列是收敛的，则如果该数列是收敛的，则.将方程将方程 f(x)=0 化为等价方程化为等价方程 x=(x)（2）取某个定数取某个定数x0，做数列，做数列xn，其中，其中，x1=(x0)，x2=(x1)，xk+1=(xk)，（3）设设(x)连续，且连续，且a就是方程就是方程f(x)=0的根。的根。a就是函数就是函数的一个不动点，即的一个不动点

6、，即 a=(a)等价于等价于 f(a)=0.y=f(x)x0f(x0)x1=f(x0)f(x1)x2=f(x1)y=xx收敛的迭代：收敛的迭代：.发散的迭代：发散的迭代：x0.不动点迭代不动点迭代例例2 求方程求方程 在在 x=3附近的近似实根。附近的近似实根。解：可将方程写成下三种形式：解：可将方程写成下三种形式：x=14 x 2,function f=iterfun(x)%f=14-x.2;%f=14./(x+1);f=x-(x.2+x-14)./(2*x+1);(1)将三种迭代形式写成函数存起来：(2)演示程序使用的程序：iter.m.不动点迭代不动点迭代收敛性蛛网图一般地，若函数一般地

7、，若函数(x)在含不动点在含不动点的某邻域内一阶导的某邻域内一阶导数连续，且数连续，且 则存在一个邻域则存在一个邻域：|-x|，对任何的，对任何的x0，其迭代序列必收敛。其迭代序列必收敛。高级例子iterexample2.m请同学们自己消化.3.牛顿迭代法牛顿迭代法记记a,b为方程为方程 f(x)=0的根的存在区间，的根的存在区间，f(a)与与f(b)异号，且对于每个异号，且对于每个xa,b，f(x)0,f(x)保持符号不变。保持符号不变。取取x0a,b，对，对f(x)用微分中值定理，近似地，用微分中值定理，近似地，有有 f(x)p(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)令令p(x)=0，得

8、到，得到f(x)=0的近似根的近似根 记为记为x1=为改善根的精确程度，反复实施这一过程，得到牛顿为改善根的精确程度，反复实施这一过程，得到牛顿迭代公式迭代公式:.xk+1就是从线性方程就是从线性方程 f(xk)+f(xk)(x xk)=0 (1)中解得的根中解得的根x.以点以点(xk,f(xk)为切点，曲线为切点，曲线y=f(x)的切线的切线 y=f(xk)+f(xk)(x xk)(2)方程（方程（2）与）与 y=0相联立，得到与相联立，得到与x轴的交点，该交点轴的交点，该交点即即xk+1.x*x0 x0,f(x0)x1x1,f(x1)x2.例例3 求方程求方程 在在 x0=2附近的近似实根。附近的近似实根。准确到小数点后准确到小数点后4位数字位数字解：迭代公式为：计算步骤如下：（1）选x0=2,按照迭代公式计算x1；（2）若|x1-x0|0.00001 x0=x1;fun,dfun=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp(the solution is x1=)x1disp(the iter time is)inewtuniter.m.