力学教学课件ch5 1.pptx

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1、v 刚体运动的描述刚体运动的描述v 力矩力矩 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程v 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理v 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 1.刚体刚体：在力作用下，形状和大小都不发生变化的：在力作用下，形状和大小都不发生变化的物体物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）平动平动:转动转动:定轴转动定轴转动和非定轴转动和非定轴转动 复杂运动：平动复杂运动：平动+转动转动 2.平动：平动：若刚体中所有点若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的或者说刚

2、体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始连线总是平行于它们的初始位置间的连线位置间的连线.刚体的刚体的运动形式运动形式 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chslingr 平动的特点平动的特点:xyzOABM刚体上各质点的运动轨迹相同；刚体上各质点的运动轨迹相同；任意时刻刚体上各点的速度、加速度都相同任意时刻刚体上各点的速度、加速度都相同 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling3.刚体的定轴转动刚体的定轴转动定轴转动：定轴转动：刚体的转轴相对参考系固定不动。刚体的转轴相对参考系固定不动。转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所

3、有的点都绕同一直线做圆周运动动.转动又分转动又分定轴转动定轴转动和非定轴转动和非定轴转动.1）每一质点均作圆周运动，但半径不一；每一质点均作圆周运动，但半径不一；2）任一质点运动角量相同，但相应的线量不同；任一质点运动角量相同，但相应的线量不同；3）运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标.定轴转动的特点定轴转动的特点 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling 刚体的平面运动刚体的平面运动.注意：图中刚体运动的特点注意：图中刚体运动的特点 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+5.1 刚体运

4、动的描述刚体运动的描述 chsling4.刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度参考平面参考平面 角坐标角坐标q约定约定沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 参考轴参考轴运动学方程运动学方程角位移角位移角速度矢量角速度矢量 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling定轴定轴转动角速度方向转动角速度方向沿转沿转轴轴方向，可视为方向，可视为代数量代数量.方向方向:右手右手螺旋方向螺旋方向以转速来表示角速度以转速来表示角速度角加速度角加速度方向在转轴上，方向在转轴上，由由 决定。决定。5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling5.匀变速

5、转动公式匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling6 角量与线量的关系角量与线量的关系 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度 例例1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、转速为转速为150rmin-1，因因受制动而均匀减速，经受制动而均匀减

6、速，经 30 s 停止转动停止转动.试求：试求：（1）角）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始）制动开始后后 t=6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t=6 s 时飞轮边缘上时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解解（1）t=30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动时，时，t=0 s 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling（2）时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度该点

7、的切向加速度和法向加速度转过的圈数转过的圈数 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling 例例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时，它的角速度开始时，它的角速度 ，经，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1.已知转子的角加已知转子的角加速度与时间成正比速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？问在这段时间内，转子转过多少转？得得当当t=300s 时时所以所以 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling解解 由题意，令由题意，令

8、 ，即，即 ，积分，积分 转子的角速度转子的角速度由角速度的定义由角速度的定义得得有有在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling 练习练习 一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机,滑论半径为滑论半径为 0.5m,如果升降机从静止开始以如果升降机从静止开始以a=0.4m/s2匀加速上升，匀加速上升，(1)滑轮的角加速度滑轮的角加速度;(2)开始上升后开始上升后,5 秒末滑轮的角速度秒末滑轮的角速度;(3)在这在这5 秒内滑轮转过的圈数秒内滑轮转过的圈数;(4)开始上升后开始上升后,1 秒末滑轮边缘上一点的加速

9、度秒末滑轮边缘上一点的加速度(不打滑不打滑)。解解:(1)轮缘上一点的切向加速度与轮缘上一点的切向加速度与 物体的加速度相等物体的加速度相等 ar 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 chsling(2)(3)(4)合加速度方向合加速度方向与切向夹角与切向夹角圈圈平动：力平动：力 改变状态改变状态 质点质点转动：力矩转动：力矩 改变状态改变状态 刚体刚体 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chslingP*O :力臂力臂 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转,力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P,且在且在转动转动平面平面内内,为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点

10、P 的径矢的径矢.对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 一一 力矩力矩（力对轴的力矩力对轴的力矩）1.力矩是矢量，方向符合右手螺旋，单位：力矩是矢量，方向符合右手螺旋，单位：Nm；2.通过转轴的力无力矩，最大值为通过转轴的力无力矩，最大值为Fr；3.定轴转动的力矩可用正负表示。定轴转动的力矩可用正负表示。5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chslingO讨论讨论 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 其中其中 对转轴的力对转轴的

11、力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling3）刚体刚体内内作用力和作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消O 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling4.力与力矩的区别：力与力矩的区别：5.力矩是普遍适用的力矩是普遍适用的定义，无论刚体有无定义，无论刚体有无转轴、矩心和转轴矩转轴、矩心和转轴矩心是否在刚体内部都心是否在刚体内部都是适用的。是适用的。转转动动平平面面 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling 例例1 有一大型水坝高有一大型水坝

12、高110 m、长、长1000m，水深，水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示水面与大坝表面垂直，如图所示.求作用在大坝上的力，求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点以及这个力对通过大坝基点 Q 且与且与 x 轴平行的力矩轴平行的力矩.解解 设水深设水深h，坝长，坝长L，在坝面上取面积元，在坝面上取面积元 作用在此面积元上的力作用在此面积元上的力yOhyxQyOx 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling令大气压为令大气压为 ，则，则 代入数据，得代入数据，得yOhyx 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling代入数据，得

13、代入数据，得 对通过点对通过点 Q 的轴的力矩的轴的力矩yQOhy 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chslingO二二 转动定律转动定律2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接外外力矩力矩内内力矩力矩O 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.转动定律转动定律定义转动惯量定义转动惯量O 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的

14、转动定律 chsling2.刚体定轴转动定律是矢量式（但在定轴转动中刚体定轴转动定律是矢量式（但在定轴转动中 力矩只有两个方向）；力矩只有两个方向）；3.与牛顿第二定律相当，力矩与角加速度具有瞬时性；与牛顿第二定律相当，力矩与角加速度具有瞬时性；4.M为合外力矩，等于各质元所受力矩的总和。为合外力矩，等于各质元所受力矩的总和。1.M、J、是对同一转轴而言的。是对同一转轴而言的。说说 明明质点质点牛顿第二定律牛顿第二定律：刚体刚体定轴转动定律：定轴转动定律：5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling三三 转动惯量转动惯量 物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的

15、量度.质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量转动惯量的计算方法转动惯量的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量：质量元：质量元 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度：质量元：质量元 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chslingOO 解解 设棒的线

16、密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 例例2 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.OO如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chslingORO 例例3 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量.解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环而

17、而圆环质量圆环质量所以所以圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling四四 平行轴定理平行轴定理 垂直轴定理垂直轴定理P 转动惯量的大小取决于转动惯量的大小取决于转轴的位置、刚体转轴的位置、刚体的质量和质量对轴的分布情况的质量和质量对轴的分布情况.质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CO注意注意圆盘对圆盘对P 轴轴的转动惯量的转动惯量O 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 ch

18、sling垂直轴定理垂直轴定理x,y轴在薄板内；轴在薄板内；z 轴垂直薄板。轴垂直薄板。zxy 例如求对圆盘的一条直径的转动例如求对圆盘的一条直径的转动惯量惯量 yx z 圆盘圆盘 R C m 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling求求 半径为半径为R、质量为、质量为m的球体绕其直径为轴的的球体绕其直径为轴的J。O OR Rr rZ Zm m解：解：在球体上沿垂直于转轴在球体上沿垂直于转轴OZ 取一半径取一半径为为r、高为、高为dz 的小球台，其质量为：的小球台，其质量为：其绕其绕OZ 轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴

19、转动的转动定律 chsling 薄圆盘转轴通过薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直中心与盘面垂直r2r1圆筒转轴沿几何轴圆筒转轴沿几何轴典型的几种刚体的转动惯量典型的几种刚体的转动惯量P131 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chslinglr圆柱体转轴沿几何轴圆柱体转轴沿几何轴lr 圆柱体转轴通过圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直中心与几何轴垂直 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chslingl 细棒转轴通过细棒转轴通过中心与棒垂直中心与棒垂直l 细棒转轴通过细棒转轴通过端点与棒垂直端点与棒垂直 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律

20、 chsling竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling 例例4 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上.滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计.问：（问：

21、（1）两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体物体 B 从从 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力.静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为ABC 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chslingABCOO 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取受力分析，取坐标如图坐标如图，运用牛顿第二定律运

22、用牛顿第二定律 、转、转动定律列方程动定律列方程.5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling如令如令 ，可得，可得（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling（3）考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩擦力矩 ，转动定律，转动定律结合（结合（1）中其它方程）中其它方程f 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chslingABC 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling 例例5 一长为一

23、长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动.由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时的角加速度和角速度速度.解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律

24、chsling式中式中得得由角加速度的定义由角加速度的定义代入初始条件积分代入初始条件积分 得得 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chslingRa 阿特伍德机阿特伍德机 两侧悬挂的两侧悬挂的质量分别为质量分别为m1、m2的重物时的的重物时的加速度、滑轮的角加速度及绳加速度、滑轮的角加速度及绳中的张力，已知滑轮质量为中的张力，已知滑轮质量为M,半径为半径为R,绳为不可伸缩的轻绳，绳为不可伸缩的轻绳，绳与滑轮间无滑动，且滑轮轴绳与滑轮间无滑动，且滑轮轴处的摩擦可忽略不计。处的摩擦可忽略不计。NMgT2T1T2m2gT1m1g 解：解：选取两重物以及绳子与滑轮接触部分和滑

25、轮整选取两重物以及绳子与滑轮接触部分和滑轮整体作为研究对象：体作为研究对象：5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling对滑轮：对滑轮：对对m1 ：对对m2 ：可得：可得：5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling1.忽略滑轮质量时忽略滑轮质量时 T1=T2 ,用牛二律解决；用牛二律解决；2.考虑滑轮质量时，考虑滑轮质量时，T1和和T2不相等；不相等；3.T1和和T2并非作用在滑轮上，而是作用在绳上，使并非作用在滑轮上，而是作用在绳上，使滑轮转动的是静摩擦力，但静

26、摩擦力力矩等于上两滑轮转动的是静摩擦力，但静摩擦力力矩等于上两力的力矩，参看：力的力矩，参看：关于阿特武德机的讨论关于阿特武德机的讨论，何延春，何延春，甘肃高师学甘肃高师学报，报，2006.5(11).说说 明明 5.2 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 chsling1.刚体平动刚体平动 质点运动质点运动角速度矢量角速度矢量右手右手螺旋方向，定轴转螺旋方向，定轴转动视为代数量，逆时针动视为代数量，逆时针为正，顺时针为负。为正，顺时针为负。角加速度角加速度 方向在转轴上，由方向在转轴上，由 决定。决定。小小 结结2.描述刚体绕定轴转动的物理量描述刚体绕定轴转动的物理量运动学方程运动学方程 转动定律转动定律转动惯量转动惯量 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 3.刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动解决刚体定轴转动解决刚体定轴转动动力学的基本方程动力学的基本方程作业：5.1-5.5课后作业：表5.1其中转动惯量的证明其中转动惯量的证明