不等式练习题一元二次不等式高次不等式分式不等式解法文档.pdf

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1、一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 1 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例 1 解不等式0)1)(4(x x.分析：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，原不等式的解集是下面两个不等式组：0 40 1xx与 0 40 1xx的解集的并集，即 x|0 40 1xx 0 40 1|xxx=x|-4x1=x|-4x1.书写时可按下列格式：解：(x-1)(x+4)0 0 40 1xx或 0 40 1xx x 或-4x1-4x1，原不等式的解集是 x|-4x0；解：检查各因式中 x 的符号均正；求得相应方程的根为：-2，1，3；列表如下：-2 1 3 一元二次不

2、等式、高次不等式、分式不等式解法 2 x+2-+x-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知，原不等式的解集为：x|-2x3.小结：此法叫列表法，解题步骤是：将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0.x|-1x0或 2x3.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数图像求解 例 2图 练习图 直接写出解集：x|-2x3.x|-1x0或 2x0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.注意：奇穿偶不穿 例 3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)0.解：检查各因式中 x 的符号均正；求得相应方程的根为：-1，2，3（注意

3、：2 是二重根，3 是三重根）；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自 右上 方开始），如下图：原不等式的解集为：x|-1x2或 2x3.一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 3 说明：3是三重根，在 C 处穿三次，2 是二重根，在 B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧 f(x)有相同因式(x-x1)n时，n 为奇数时，曲线在 x1点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在 x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2 0；求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3；在数轴

4、上表示各根并穿线，如图：原不等式的解集是 x|-1 x 3 或 x=-2.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2 点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.2分式不等式的解法 例 4 解不等式：073xx.错解：去分母得 0 3 x 原不等式的解集是 3 x|x.解法 1：化为两个不等式组来解：073xx 0 70 30 70 3xxxx或或 x 或 3 7 x 3 7 x，原不等式的解集是 3 7 x|x.解法 2：化为二次不等式来解：073xx 0 70)7)(3(xx x 3 7 x，原不等式的解集是 3 7 x|x 说明：若本题带“=”，即(x

5、-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意 x-7的条件，解集应是 x|-7x 3.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数 x，不等式两边同乘以一个含 x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项，通分，右边化为 0，左边化为)x(g)x(f的形式.例 5 解不等式：03 22 322 x xx x.解法 1：化为不等式组来解较繁.解法 2：03 22 322 x xx x 0 3 20)3 2)(2 3(22 2x xx

6、x x x 0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(x xx x x x，原不等式的解集为 x|-1x 1 或 2 x3.一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 4 练习：解不等式 253xx.答案：2.x|-13x-5.练习：解不等式：12 34 22 xx xx.（答：x|x 0 或 1x0(或)x(g)x(f0)的形式，转化为：)0)(0)()(0)(0)()(x gx g x fx gx g x f或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式.3一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.4注意必要的讨论.5一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴

7、.五、思考题：1 解关于 x 的不等式：(x-x2+12)(x+a)0，相应方程的根为：-3，4，-a，现 a的位置不定，应如何解？讨论：当-a4，即 a-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x|-3x-a.当-3-a4，即-4a3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x|-3x4.当-a3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x|-ax4.0当-a=4，即 a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x|x-3.当-a=-3，即 a=3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 5 原不等式的解集为 x|x4.2 若不等式 13 6 42 222 x xk kx x对于 x取任何实数均成立，求 k 的范围.(提示：4x2+6x+3 恒正)（答：1k3）一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 6