高一数学知识点汇总讲解大全文档.pdf

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1、高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一）.1 一、集合和命题.2 二、不等式.4 三、函数的基本性质.6 四、幂函数、指数函数和对数函数.12 （一）幂函数.12 （二）指数&指数函数.13 （三）反函数的概念及其性质.14 （四）对数&对数函数.15 五、三角比.17 六、三角函数.24 一、集合和命题 一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系：a A a 属于集合 A；a A a 不属于集合 A （3）常用的数集：N 自然数集；N*正整数集；Z 整数集；Q 有理数集；R 实数集；空集；C 复数集；Z 正整数集 Q ；Z 负整数集 Q 正有

2、理数集 R ；负有理数集 R 正实数集 负实数集 （4）集合的表示方法：有限集 集合 无限集 列举法；描述法 例如：列举法：z,h,a,n,g （5）集合之间的关系：；描述法：x x 1 A B 集合 A 是集合 B 的子集；特别地，A A；A B A C B C A B A B 或 A B 集合 A 与集合 B 相等；A B 集合 A 是集合 B 的真子集 例：N Z Q R C；N Z Q R C 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（6）集合的运算：交集：A B x x A且x B 集合 A 与集合 B 的交集；并集：A B x x A或x B 集合 A 与集合 B 的并集；补集

3、：设 U 为全集，集合 A 是U 的子集，则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫 做集合 A 在全集 U 中的补集，记作 CU A 得摩根定律：CU (A I B)CU A U CU B；CU(A U B)CU A I CU B（7）集合的子集个数：若集合 A 有 n(n N*)个元素，那么该集合有 2n 个子集；2n 1个真子集；2n 1个非空子集；2n 2 个非空真子集 二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句（2）四种命题：如果用 和 分别表示原命题的条件和结论，用 和 分别表示 和 的否定，那么四种命题形式就是：逆否命题关系同真同假关系 原命题 逆否命题 逆命题 否命

4、题（3）充分条件，必要条件，充要条件：若，那么 叫做 的充分条件，叫做 的必要条件；若 且，即，那么 既是 的充分条件，又是 的必要条件，也就是说，是 的充分必要条件，简称充要条件 欲证明条件 是结论 的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件 结论；第二步：证明必要性：结论 条件 （4）子集与推出关系：设 A、B 是非空集合，A x x 具有性质 ，B y y 具有性质 ，则 A B 与 等价 结论：小范围 大范围；例如：小明是上海人 小明是中国人小范围是大范围的充分非必要条件；大范围是小范围的必要非充分条件 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表示形式 若，则 若，则；若，

5、则；若，则 逆命题关系 原命题 逆命题 逆否命题 否命题 否命题关系 原命题 否命题 逆否命题 逆命题 1 2 0 0 1 2 二、不等式 一、不等式的性质：1、a b,b c a c；2、a b a c b c；不等式的性质 3、a b,c 0 ac bc；4、a b,c d a c b d；5、a b 0,c d 0 ac bd；6、a b 0 0 1 1；a b 7、a b 0 二、一元一次不等式：a n b n(n N*)；8、a b 0 n a n b(n N*,n 1)一元一次不等式 ax b a 0 a 0 解集 x b x b a a a 0 b 0 b 0 R 三、一元二次不

6、等式：ax 2 bx c 0(a 0)b 2 4ac 0 b 2 4 ac 0 b 2 4ac 0 的根的判别式 y ax2 bx c(a 0)ax 2 bx c 0(a 0)x1,x2，x1 x2 x0 ax 2 bx c 0(a 0)(,x)U(x,)(,x)(x,)R ax 2 bx c 0(a 0)(x1,x2)ax 2 bx c 0(a 0)(,x U x,)R R 2 ax bx c 0(a 0)x1,x2 x0 四、含有绝对值不等式的性质：（1）a b a b a b；（2）a1 a2 an a1 a2 an 五、分式不等式：（1）ax b 0 cx d(ax b)(cx d)0

7、；（2）ax b 0 cx d(ax b)(cx d)0 六、含绝对值的不等式：x a a 0 a 0 x a a 0 a 0 x a a 0 a 0 a 0 x a a 0 a 0 a 0 a x a x a或x a R a x a x 0 x a或x a R 七、指数不等式：（1）a f(x)a(x)(a 1)f(x)(x)；（2）a f(x)a(x)(0 a 1)f(x)(x)八、对数不等式：(x)0（1）loga f(x)log a(x)(a 1)f(x)；(x)（2）loga f(x)log a(x)(0 a 1)f(x)f(x)0 (x)九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：a

8、 2 b 2 2ab(a、b R，当且仅当 a b时取“”号)；a b 2 ab(a、b R a2 b2，当且仅当 a a b b 时取“”号)；2 补充公式：2 ab 2 1 1 a b a 3 b 3 c3 3abc(a、b、c R，当且仅当 a b c 时取“”号)；a b c 3 3 abc(a、b、c R ，当且仅当 a b c 时取“”号)；a1 a 2 n a n n a1 a2 a n(n 为大于 1 的自然数，a1,a2,an R ，当且仅当 a1 a2 an 时取“”号)；（2）证明不等式的常用方法：比较法；分析法；综合法 0 三、函数的基本性质 一、函数的概念：（1）若自

9、变量 对应法则 x 因变量 y，则 y 就是 x 的函数，记作 y f(x),x D；x 的取值范围 D 函数的 定义域；y 的取值范围 函数的 值域求定义域一般需要注意：y 1，f(x)f(x)0；y n f(x)，f(x)0；y(f(x)，f(x)0；y log a f(x)，f(x)0；y log f(x)N，f(x)0 且 f(x)1 （2）判断是否函数图像的方法：任取平行于 y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点；（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：定义域是否相同；对应法则是否相同 二、函数的基本性质：（1）奇偶性：函数 y f(x),x D “定义域 D 关于 0 对称”成立“

10、定义域 D 关于 0 对称”；前提条件 f(x)f(x)f(x)f(x)“f (x)f(x)”；“f(x)f(x)”成立 成立 不成立 或者 成立、都不成立 奇偶性 偶函数 奇函数 奇偶函数图像性质 关于 y 轴对称 关于 O(0,0)对称 非奇非偶函数 注意：定义域包括 0 的奇函数必过原点（2）单调性和最值：O(0,0)前提条件 y f(x),x D，I D，任取 x1,x2 区间 I 单调增函数 x1 x2 或 x1 x2 f(x1)f(x2)f(x1 )f(x2)单调减函数 x1 x2 或 x1 x2 f(x1)f(x2)f(x1 )f(x2)最小值 ymin f(x0)任取 x D,

11、存在 x0 D,f(x)f(x0)最大值 ymax f(x0)任取 x D,存在 x0 D,f(x)f(x0)f 注意：复合函数的单调性：函数 外函数 y f(x)内函数复合函数 y g(x)y f g(x)如果函数 y f(x)在某个区间 I 上是增（减）函数，那么函数 y f(x)在区间 I 上是单调函 数，区间 I 叫做函数 y f(x)的单调区间 （3）零点：若 y f(x),x D，c D 且 f(c)0，则 x c 叫做函数 y f(x)的零点 y 零点定理：f(x),x a,b 存在x0(a,b)；特别地，当 y f(x),x a,b 是单调函数，f(a)f(b)0 f(x0)0

12、 且 f(a)f(b)0，则该函数在区间 a,b 上有且仅有 一个零点，即存在 唯一 x0(a,b)，使得 f(x0)0 （4）平移的规律：“左加右减，下加上减”函数 向左平移 k 向右平移 k 向上平移 h 向下平移 h 备注 y f(x)y f(x k)y f(x k)y h f(x)y h f(x)k,h 0 （5）对称性：轴对称的两个函数：函数 y f(x)对称轴 x 轴 y 轴 y x y x x m y n 函数 y f(x)y f(x)x f(y)x f(y)y f(2 m x)2n y f(x)中心对称的两个函数：函数 对称中心 函数 y f(x)(m,n)2n y f(2m

13、x)轴对称的函数：函数 y f(x)对称轴 y 轴 x m 条件 f (x)f(x)f(x)f(2 m x)单调性 Z Z Z Z Z Z 注意：f(a x)f(b x)f(x)关于 x a b 对称；2 f(a x)f(a x)f(x)关于 x a 对称；f(x)f(x)f(x)关于 x 0 对称，即 f(x)是偶函数 中心对称的函数：函数 对称中心 y f(x)(m,n)条件 f(x)2n f(2 m x)注意：f(a x)f(b x)c f(x)关于点(a b,c)对称；2 2 f(a x)f(b x)0 a b f(x)关于点(,0)2 对称；f(a x)f(a x)2b f(x)关于

14、点(a,b)对称；f(x)f(x)0 f(x)关于点(0,0)对称，即 f(x)是奇函数 （6）凹凸性：设函数 y f(x),x D，如果对任意 x,x D，且 x x ，都有 f x1 x2 f(x1)f(x2)，则称 1 2 1 2 2 2 函数 y f(x)在 D 上是凹函数；例如：y x2 进一步，如果对任意 x,x,L x D，都有 f x1 x2 L xn f(x1)f(x2)L f(xn)，则称函 1 2 n n n 数 y f(x)在 D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数 y f(x),x D，如果对任意 x,x D，且 x x ，都有 f x1 x2 f

15、(x1)f(x2)，则称 1 2 1 2 2 2 函数 y f(x)在 D 上是凸函数例如：y lg x 进一步，如果对任意 x,x,L x D，都有 f x1 x2 L xn f(x1)f(x2)L f(xn)，则称函 1 2 n n n 数 y f(x)在 D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式（7）翻折：函数 翻折后 翻折过程 y f(x)将 y f(x)在 y 轴右边的图像不变，并将其翻折到 y 轴左边，并覆盖 y f(x)将 y f(x)在 x 轴上边的图像不变，并将其翻折到 x 轴下边，并覆盖 y f(x)y f(x)第一步：将 y f(x)在 y 轴右边的图像不变，并

16、将其翻折到左边，并覆盖；第二步：将 x 轴上边的图像不变，并将其翻折到 x 轴下边，并覆盖 y f(x)（8）周期性：将 y f(x)在 x 轴上边的图像保持不变，并将 x 轴下边的图像翻折到 x 轴上边，不覆盖 若 y f(x),x R，T 0，任取 x R，恒有 f(x T)f(x)，则称 T 为这个函数的周期 注意：若 T 是 y f(x)的周期，那么 kT(k Z,k 0)也是这个函数的周期；周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期 f(x a)f(x b)，a b f(x)是周期函数，且其中一个周期 T a b；（阴影部分下略）f(x)f(x p)，p 0 T 2 p；f(x

17、a)f(x b)，a b T 2 a b；f(x)1 或 f(x p)f(x)1 ，p 0 f(x p)T 2 p；f(x)1 f(x p)或 f(x)f(x p)1，p 0 T 2 p；1 1 f(x)f(x p)f(x p)或 f(x)f(x p)1 f(x p)1，p 0 T 4 p；1 f(x p)f(x p)1 f(x)关于直线 x a，x b，a b 都对称 T 2 a b；f(x)关于两点(a,c)，(b,c)，a b 都成中心对称 T 2 a b；f(x)关于点(a,c)，a 0 成中心对称，且关于直线 x b，a b 对称 T 4 a b；若 f(x)f(x a)f(x 2a

18、)L f(x na)m（m 为常数，n N*），则 f(x)是以(n 1)a 为周期的周期函数；若 f(x)f(x a)f(x 2a)L f(x na)m（m 为常数，n 为正偶数），则 f(x)是以 2(n 1)a 为周期的周期函数 三、V 函数：定义 形如 y a x m h(a 0)的函数，称作 V 函数 分类 y a x m h,a 0 y a x m h,a 0 图像 定义域 R 值域 h,)(,h 对称轴 x m 开口 向上 向下 顶点(m,h)单调性 在(,m 上单调递减；在(,m 上单调递增；在 m,)上单调递增 在 m,)上单调递减 注意 当 m 0时，该函数为偶函数 四、分

19、式函数：定义 形如 y x a(a x 0)的函数，称作 分式函数 分类 y x a,a x 0（耐克函数）y x a,a 0 x 图像 定义域(,0)U(0,)值域(,2 a U 2 a,)R 渐近线 x 0，y x 单调性 在(,a ，a,)上单调递增；在(,0)，(0,)上单调递增；在 a,0)，(0,a 上单调递减 五、曼哈顿距离：在平面上，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则称 d x1 x2 y1 y2 为 MN 的曼哈顿距离 六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数 y x m，在 x m 时取最小值；2、对于函数 y x m x n，m n，在 x m,n 时取最小值；3、对于

20、函数 y x m x n x p，m n p，在 x n 时取最小值；4、对于函数 y x m x n x p x q，m n p q，在 x n,p 时取最小值；x2n，x1 x2 L x2n，在 x xn,xn 1 时取最小值；x2n 1 ，x1 x2 L x2 n 1，在 x xn 时取最小值 思考：对于函数 y x 1 2 x 3 x 2，在 x 时取最小值 5、推广到 y x x1 x x2 L x y x x1 x x2 L x 四、幂函数、指数函数和对数函数 （一）幂函数 （1）幂函数的定义：形如 y xa(a R)的函数称作幂函数，定义域因 a 而异 （2）当 a 0,1 时，

21、幂函数 y xa(a R)在区间 0,)上的图像分三类，如图所示 （3）作幂函数 y xa(a 0,1)的草图，可分两步：根据 a 的大小，作出该函数在区间 0,)上的图像；根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在(,0 上的图像 （4）判断幂函数 y xa(a R)的 a 的大小比较：方法一：y xa(a R)与直线 x m(m 1)的交点越靠上，a 越大；方法二：y xa(a R)与直线 x m(0 m 1)的交点越靠下，a 越大 （5）关于形如 y ax b(c cx d 0)的变形幂函数的作图：作渐近线（用虚线）：x d、y a；c c 选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,

22、b)；d 画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）x x x x x xy（二）指数&指数函数 1、指数运算法则：a a y a x y；(a)a；(a b)x x a x a b；()a x x ，其中 (a,b 0,x、y R)2、指数函数图像及其性质：/y x a(a 1)b b x y a(0 a 1)图像 定义域 R 值域(0,)奇偶性 非奇非偶函数 渐近线 x 轴 单调性 在(,)上单调递增；在(,)上单调递减；指数函数 y a x 的函数值恒大于零；指数函数 y 性质 a 的图像经过点(0,1)；当 x 0 时，y 1；当 x 0时，0 y 1；当

23、x 0 时，0 y 1 当 x 0时，y 1 3、判断指数函数 y a 中参数 a 的大小：方法一：y a 与直线 x m(m 0)的交点越靠上，a 越大；方法二：y a x 与直线 x m(m 0)的交点越靠下，a 越大 y x 1 1 1（三）反函数的概念及其性质 1、反函数的概念：对于函数 y f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A，如果对于 A 中任意一个值 y，在 D 中总有唯 一确定的 x 值与它对应，且满足 y f(x)，这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y f(x)的反函数，记作 x f(y)在习惯上，自变量常用 x 表示，而函数用 y 表示，所以把它改写为 y f(x)

24、(x A)2、求反函数的步骤：（“解”“换”“求”）将 y f(x)看作方程，解出 x f(y)；将 x、y 互换，得到 y f 1(x)；标出反函数的定义域（原函数的值域）3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应 4、反函数的性质：原函数 y f(x)过点(m,n)，则反函数 y f 1(x)过点(n,m)；原函数 y f(x)与反函数 y f(x)关于 y x 对称，且单调性相同；奇函数的反函数必为奇函数 5、原函数与反函数的关系：/函数 y f(x)y f 1(x)定义域 D A 值域 A D（四）对数&对数函数 1、指数与对数的关系：a b N a b N log a N b 指

25、数 幂 底数 对数 真数 2、对数的运算法则：log a 1 0，log a a 1，a log a N N；常用对数 lg N log10 N，自然对数 ln N log e N；log a (MN)log a M log a M N，log a N log a M log a N，log a M n log a M；log N loga N，log b 1 m ，log n b m log b，log c b log log b b，a N log a b N b log a b log b a a n a 3、对数函数图像及其性质：/y log a x(a 1)y log a x(0 a

26、 1)图像 定义域(0,)值域 R 奇偶性 非奇非偶函数 渐近线 y 轴 单调性 在(0,)上单调递增；在(0,)上单调递减；对数函数 y log a x 的图像在 y 轴的右方；对数函数 y 性质 log a x 的图像经过点(1,0)；当 x 1时，y 0；当 x 1时，y 0；当 0 x 1 时，y 0 当 0 x 1 时，y 0 a a a c n 4、判断对数函数 y log a x,x 0 中参数 a 的大小：方法一：y log a x,x 0 与直线 y m(m 0)的交点越靠右，a 越大；方法二：y log a x,x 0 与直线 y m(m 0)的交点越靠左，a 越大 五、三

27、角比 1、角的定义：（1）终边相同的角：与 2k,k Z 表示终边相同的角度；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；与 k,k Z 表示终边共线的角（同向或反向）（2）特殊位置的角的集合的表示：位置 角的集合 在 x 轴正半轴上 2k,k Z 在 x 轴负半轴上 2k,k Z 在 x 轴上 k,k Z 在 y 轴正半轴上 2k,k Z 2 在 y 轴负半轴上 2k 3,k Z 2 在 y 轴上 k ,k Z 2 在坐标轴上 k,k Z 2 在第一象限内 2k 2 k,k Z 2 在第二象限内 2k 2 2k,k Z 在第三象限内 2k 2k 3 2,k Z 在第四象限内 2k 3 2

28、 2k 2,k Z （3）弧度制与角度制互化：180 rad 180；1rad；1 180 rad （4）扇形有关公式：l；r 弧长公式：l r；扇形面积公式：S 1 lr 1 r 2（想象三角形面积公式）2 2 （5）集合中常见角的合并：x 2k x 2k x 2k x 2k x 2k x k x k 2 x k 2 2 2 4 x k x k,k Z 4 x 2k x 2k 5 4 4 x k 3 2 4 x 2k 4 x k 4 4 （6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，在 的终边上任取一个异 于原点的点 P(x,y)，点

29、P 到原点的距离记为 r，则（7）特殊角的三角比：角度制 0 弧度制 0 sin 0 1 2 270 360 3 2 2 2 3 1 0 1 0 2 2 cos 1 3 2 2 1 0 1 0 1 2 2 tan 0 3 1 3 无 0 无 0 3 （8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，k 的取值范围是 k Z）角 和角 的终边：角 和角 的终边 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点对称 sin sin cos cos tan tan sin sin cos cos tan tan sin sin cos cos tan tan 的终边与 的终边的关系 2 的终边在第一象限(

30、2k ,2 k)2 (k,k )；2 4 的终边在第二象限 (2 k,2 k 2)(k 2,k)；4 2 的终边在第三象限(2k,2 k 3)(k,k 3)；2 2 2 4 的终边在第四象限(2k 3,2 k 2)(k 3,k)sin 与 cos 的大小关系：3 2,2 k 2 4 0）；4 4,2 k 5 0）；4 4，2k 5 0）4 4 30 45 60 90 180 6 4 3 2 sin cos(2 k sin cos(2 k sin cos 2 k )的终边在直线 y x 右边（x y)的终边在直线 的终边在直线 y y x 左边（x 上（x x y y sin 与 cos 的大小

31、关系：,k)4 4 x y 的终边在 x y 0 x y 0 或；0 x y 0 ,k 3)x y 的终边在 0 x y 0 或；4 4 x y 0 x y 0 ,k 3 ，k Z 的终边在 y x 4 4 2、三角比公式：（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式：第二组诱导公式：第三组诱导公式：（周期性）（奇偶性）（中心对称性）sin(2 k)sin sin()sin sin()sin cos(2 k)cos cos()cos cos()cos tan(2k)tan tan()tan tan()tan cot(2 k)cot cot()cot cot()cot

32、第四组诱导公式：（轴对称）第五组诱导公式：（互余性）第六组诱导公式：sin()sin sin(2)cos sin(2)cos cos(tan(cot()cos)tan)cot cos(2 tan(2 cot(2)sin )cot )tan cos()2 tan()2 cot()2 sin cot tan （2）同角三角比的关系：倒数关系：商数关系：平方关系：sin csc 1 tan sin(cos 0)sin 2 cos 2 1 cos tan sec 1 cot 1 cot cos cos sin(sin 0)2 1 tan 2 1 cot 2 sec 2 csc （3）两角和差的正弦公式

33、：sin()sin cos cos sin；两角和差的余弦公式：两角和差的正切公式：cos(tan()cos cos )tan tan sin sin；1 tan tan sin cos(k sin cos (k sin cos k（4）二倍角的正弦公式：sin 2 2 sin cos；二倍角的余弦公式：二倍角的正切公式：cos 2 tan 2 cos 2 2 tan sin 2 ；1 2 sin 2 2 cos 2 1；1 tan2 降次公式：万能置换公式：1 cos 2sin 2 sin2 2 1 cos2 2 2 1 cos 2cos2 1 cos2 2 sin 2 2 tan 1 ta

34、n 2 1 tan 2 cos 2 2 ；1 sin sin cos cos 2 1 tan 2 tan2 1 cos2 1 cos2 2 2 2 1 sin sin cos 2 2 tan 2 2 tan 1 tan 2 sin 1 cos 半角公式：tan；2 1 cos（5）辅助角公式：版本一：sin sin b a 2 b 2 a sin b cos 版本二：a 2 b2 sin()，其中 0 2,cos a a2 b2 a sin bcos a2 b2 sin()，其中 a,b 0,0,tan b 2 a 3、正余弦函数的五点法作图：以 y sin(x)为例，令 x 依次为 0,3,

35、2 2 2，求出对应的 x 与 y 值，描点(x,y)作图 4、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：a sin A b sin B c sin C 2R(R 为外接圆半径)；其中常见的结论有：a 2Rsin A，b 2Rsin B，c 2Rsin C；sin A a ，sin B 2R b ，sin C c；2R 2R sin A:sin B:sin C a:b:c；aRsin B sin C S ABC 2R2 sin A sin B sin C；S ABC bR sin A sin C；S ABC abc 4 R cRsin A sin B （2）余弦定理：版本一：a 2 b 2 c2 b

36、2 a 2 c2 c 2 a 2 b2 2bc cosA 2accosB 2abcosC ；版本二：cos A cosB cosC b2 c2 a 2 2bc a 2 c2 b；2ac b 2 a2 c 2 2ab （3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：5、与三角形有关的三角比：（1）三角形的面积：a b cos C c cos B b c cos A a cos C c a cos B b cos A S ABC S ABC 1 dh；2 1 absin C 1 bcsin A 1 ac sin B；2 2 2 S ABC l l a l b l c，l 为 ABC 的周长 2 2 2

37、2（2）在 ABC 中，a b A B sin A sin B cos A cosB cot A cot B；若 ABC 是锐角三角形，则 sin A cosB；sin(A B)sin C cos(A B)cos C tan(A B)tan C sin(B C)sin A；cos(B C)cos A；tan(B C)tan A；sin(A C)sin B cos(A C)cos B tan(A C)tan B sin A cos B C tan A cot B C 2 2 2 2 sin B cos A C；tan B cot A C；2 2 2 2 sin C cos A B tan C c

38、ot A B 2 2 2 2 sin A cos B sin B cos A sin C cos A 2 2；sin A cosC 2 2；sin B cos C 2 2；sin C cos B 2 2 2 2 2 2 sin A sin B cos A cos B 2 2 2 2 sin A sin C cos A cosC sin A sin B sin C cos A cos B cos C；2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin B sin C cos B cosC 2 2 2 2 2(sin A sin B sin C 4cos A cos B cosC 2 2 2 cos

39、A cosB cosC 1 4sin A sin B sin C；2 2 2 sin A sin B sin C 4sin A sin B cosC 2 2 2 sin 2A sin 2B sin 2C 4sin Asin B sin C；cos2A cos2B cos2C 4cos A cosB cosC 1 sin A cos A sin B cosB sin C cosC (0,3 3 2；3(1,2 sin Asin B sin C sin Asin B sin C cos A cosB cosC(0,3 3 8 cosA cosB cosC 1 1,8 其中，第一组可以利用琴生不等式

40、来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明 （3）在 ABC 中，角 A、B、C 成等差数列 B 3（4）ABC 的内切圆半径为 r 6、仰角、俯角、方位角：略 2S a b c 7、和差化积与积化和差公式（理科）：（1）积化和差公式：sin cos cos sin cos cos sin sin 1 sin()sin()2 1 sin()sin()2；1cos()cos()2 1 cos()cos()2 （2）和差化积公式：sin sin 2sin sin sin 2cos cos cos 2cos cos cos 2sin cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 2 2

41、六、三角函数 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像：y sin x y cosx y tan x 定 义 R R 域 x x k ,k Z 2 值 1,1 域 奇 1,1 R 偶 奇函数 偶函数 奇函数 性 周 期 性 最小正周期 T 2 最小正周期 T 2 最小正周期 T 2 k 单,2 k 2 Z；2 2 k,2k Z；(k,k)Z 调 2 k,2 k 3 2 k,2 k 2 2 性 2 2（k Z）（k Z）（k Z）当 x 2k 最 时，ymin 1；2 当 x 2k 时，ymin 1；无 值 当 x 2k 时，y 2 max 1；当 x 2k 时，y max 1；图像 例 1

42、：求函数 y 5sin(2 x)的周期、单调区间和最值（当 x 的系数为负数时，单调性相反）3 解析：周期 T 2 2，由函数 y sin x 的递增区间 2 k,2 k 2 2 ，可得 2k 2x 2k，即 k 5 x k，2 3 2 12 12 5 于是，函数 y 5sin(2 x)7 的递增区间为 k 3,k 12 12 7 同理可得函数 y 5sin(2 x)7 递减区间为 k 3,k 12 12 当 2x 2k 3，即 x k 2 时，函数 y 12 5sin(2 x)取最大值 5；3 当 2x 2k，即 3 2 x k 5 时，函数 y 12 5sin(2 x)取最大值 5 3 例

43、 2：求函数 y 5sin(2x)7,x 3 0,的单调区间和最值 2 解析：由 x 0,，可得 2x 2 ,4 3 3 3 然后画出 2 x 的终边图，然后就可以得出 3 当 2x ,，即 x 3 3 2 4 0,时，函数 y 12 5sin(2 x)7 单调递增；3 当 2x ,，即 x 3 2 3 ,时，函数 y 12 2 5sin(2 x)7 单调递减 3 同时，当 2x，即 x 3 2 时，函数 y 12 5sin(2 x)7 取最大值 12；3 当 2 x 4，即 3 3 x 时，函数 y 2 5sin(2 x)7 取最小值 7 3 5 3；2 注意：当 x 的系数为负数时，单调性

44、的分析正好相反 2、函数 y A sin(x)h&y A cos(x)h&y A tan(x)h，其中 A 0,0：（1）复合三角函数的基本性质：三角函数 y A sin(x)h y A cos(x)h y A tan(x)h 其中 A 0,0 其中 A 0,0 其中 A 0,0 振幅 A 无基准线 y h 定义域(,)x x k,k Z 2 值域 A h,A h(,)最小正周期 T 2 T 1 1 频率 f f T 2 T 相位 x 初相 2（2）函数 y A sin(x)h 与函数 y sin x 的图像的关系如下：相位变换：当 0 时，y sin x 向左平移 个单位 y sin(x)；

45、当 0 时，y 周期变换：sin x 向右平移 个单位 y sin(x)；当 1时，y sin(x 所有各点的横坐标缩短到原来的)1 倍（纵坐标不变）y sin(x)；当 0 1时，y 振幅变换：sin(x 所有各点的横坐标伸长到原来的)1 倍（纵坐标不变）y sin(x)；当 A 1时，y sin(x)所有各点的纵坐标伸长到原来的 A倍（横坐标不变）y A sin(x)；当 0 A 1时，y sin(x)所有各点的纵坐标缩短到原来的 A倍（横坐标不变）y A sin(x)；最值变换：当 h 0时，当 h 0 时，y A sin(x y A sin(x 所有各点向上平行移动 所有各点向下平行移

46、动 h 个单位 h 个单位 y A sin(x y A sin(x)h；)h；注意：函数 y A cos(x)h 和函数 y A tan(x)h 的变换情况同上 3、三角函数的值域：（1）y a sin x b 型：设 t sin x，化为一次函数 y at b 在闭区间 1,1 上求最值 （2）y a sin x b cos x c，a,b 0 型：引入辅助角,tan b，化为 y a a b sin(x)c （3）y a sin2 x b sin x c 型：设 t sin x 1,1，化为二次函数 y at 2 bt c 求解 （4）y a sin xcos x b(sin x cos

47、x)c 型：a(t 2 1)设 t sin x cos x 2,2，则 t 2 1 2sin x cos x，化为二次函数 y bt c 在闭 2 区间 t 2,2 上求最值 2)2 2 2（5）y a tan x b cot x 型：设 t （6）y tan x，化为a sin x b 型：c sin x d y at b，用“Nike 函数”或“差函数”求解 t 方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为 1 sin x 1 求解（7）y a sin x b 型：c cosx d 化为 a sin x yc cos x b dy，合并 a y c sin(x)b dy，利用有界性

48、，sin(x)b dy 1,1 求解 a2 y2c2 （8）a sin x cos x b sin2 x c cos2 x，（a 0,b,c 不全为 0）型：利用降次公式，可得 asin x cosx b sin2 x ccos2 x a sin 2 x c b cos2x b c，然后利用辅 助角公式即可 4、三角函数的对称性：2 2 2 对称中心 对称轴方程 y sin x(k,0)，k Z x k，k Z 2 y cos x(k,0)，k Z 2 x k，k Z y tan x y cot x k(,0)k Z/2(k,0)k Z/2 备注：y sin x 和 y cosx 的对称中心在

49、其函数图像上；y tan x 和 y cot x 的对称中心不一定在其函数图像上（有可能在渐近线上）例 3：求函数 y 5sin(2 x)7 的对称轴方程和对称中心 3 解析：由函数 y sin x 的对称轴方程 x k，k Z 2，可得 2x k 3，k Z 2 解得 x k，k Z 12 2 k 所以，函数 y 5sin(2 x)7 的对称轴方程为 3 x，k Z 12 2 由函数 y sin x 的中心对称点(k,0)，k Z，可得 2x 3 k，k Z 解得 x k，k Z 6 2 所以，函数 y 5sin(2 x)7 的对称中心为(3 k,7)，k Z 6 2 5、反正弦、反余弦、反

50、正切函数的性质和图像：y arcsin x y arccosx y arctanx 定义域 1,1 1,1(,)值域 ,2 2 0,(,)2 2 奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在 1,1上是增函数 在 1,1上是减函数 在(,)上是增函数 对称中心 点(0,0)点(0,)2 点(0,0)图像 重要结论：（1）先反三角函数后三角函数：a 1,1 sin(arcsin a)cos(arccosa)a；a R tan(arctan a)a （2）先三角函数后反三角函数：,2 2 arcsin(sin)；0,arccos(cos)；(,)2 2 arctan(tan)（3）反三角函数对