高一数学知识点汇总讲解大全资料文档.pdf

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1、高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一）.1 一、集合和命题.2 二、不等式.4 三、函数的基本性质.6 四、幂函数、指数函数和对数函数.12（一）幂函数.12（二）指数&指数函数.13（三）反函数的概念及其性质.14（四）对数&对数函数.15 五、三角比.17 六、三角函数.24 一、集合和命题 一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系：a A a 属于集合 A；a A a 不属于集合 A（3）常用的数集：N 自然数集；N*正整数集；Z 整数集；Q 有理数集；R 实数集；空集；C 复数集；Z 正整数集 Q；Z 负整数集 Q 正有理数集 R；

2、负有理数集 R 正实数集 负实数集（4）集合的表示方法：有限集 集合 无限集 列举法；描述法 例如：列举法：z,h,a,n,g（5）集合之间的关系：；描述法：x x 1 A B 集合 A 是集合 B 的子集；特别地，A A；A B A C B C A B A B 或 A B 集合 A 与集合 B 相等；A B 集合 A 是集合 B 的真子集 例：N Z Q R C；N Z Q R C 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（6）集合的运算：交集：A B x x A且 x B 集合 A 与集合 B 的交集；并集：A B x x A或 x B 集合 A 与集合 B 的并集；补集：设 U 为全

3、集，集合 A 是 U 的子集，则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫 做集合 A 在全集 U 中的补集，记作 CU A 得摩根定律：CU(A I B)CU A U CU B；CU(A U B)CU A I CU B（7）集合的子集个数：若集合 A 有 n(n N*)个元素，那么该集合有 2n 个子集；2n 1个真子集；2n 1个非空子集；2n 2 个非空真子集 二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句（2）四种命题：如果用 和 分别表示原命题的条件和结论，用 和 分别表示 和 的否定，那么四种命题形式就是：逆否命题关系同真同假关系 原命题 逆否命题 逆命题 否命题（3）充分条

4、件，必要条件，充要条件：若，那么 叫做 的充分条件，叫做 的必要条件；若 且，即，那么 既是 的充分条件，又是 的必要条件，也就是说，是 的充分必要条件，简称充要条件 欲证明条件 是结论 的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件 结论；第二步：证明必要性：结论 条件（4）子集与推出关系：设 A、B 是非空集合，A x x具有性质，B y y具有性质，则 A B 与 等价 结论：小范围 大范围；例如：小明是上海人 小明是中国人小范围是大范围的充分非必要条件；大范围是小范围的必要非充分条件 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表示形式 若，则 若，则；若，则；若，则 逆命题关系

5、原命题 逆命题 逆否命题 否命题 否命题关系 原命题 否命题 逆否命题 逆命题 1 2 0 0 1 2 二、不等式 一、不等式的性质：1、a b,b c a c；2、a b a c b c；不等式的性质 3、a b,c 0 ac bc；4、a b,c d a c b d；5、a b 0,c d 0 ac bd；6、a b 0 0 1 1；a b 7、a b 0 a n b n(n N*)；8、a b 0 n a n b(n N*,n 1)一元一次不等式 ax b a 0 a 0 解集 x b x ba a a 0 b 0 b 0 R 三、一元二次不等式：ax 2bx c 0(a 0)b 2 4

6、ac 0 b 2 4 ac 0 b 2 4ac 0的根的判别式 y ax2bx c(a 0)ax 2bx c 0(a 0)x1,x2，x1 x2 x0 ax 2bx c 0(a 0)(,x)U(x,)(,x)(x,)R ax 2bx c 0(a 0)(x1,x2)ax 2bx c 0(a 0)(,x U x,)R R 2 ax bx c 0(a 0)x1,x2 x0 二、一元一次不等式：（1）a b a b a b；（2）a1 a2 an a1 a2 an 五、分式不等式：（1）ax b 0 cx d(ax b)(cx d)0；（2）ax b 0 cx d(ax b)(cx d)0 六、含绝对

7、值的不等式：x a a 0 a 0 x a a 0 a 0 x a a 0 a 0 a 0 x a a 0 a 0 a 0 a x a x a或 x a R a x a x 0 x a或 x a R 七、指数不等式：（1）a f(x)a(x)(a 1)f(x)(x)；（2）a f(x)a(x)(0 a 1)f(x)(x)八、对数不等式：(x)0（1）loga f(x)log a(x)(a 1)f(x)；(x)（2）loga f(x)log a(x)(0 a 1)f(x)f(x)0(x)九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：a 2 b 2 2ab(a、b R，当且仅当 a b时取“”号)；a

8、 b 2 ab(a、b R a2 b2，当且仅当 a a b b 时取“”号)；2 补充公式：2 ab 2 1 1 a b a 3 b 3 c3 3abc(a、b、c R，当且仅当 a b c 时取“”号)；a b c 3 3 abc(a、b、c R，当且仅当 a b c 时取“”号)；a1a 2n a nn a1 a2a n(n 为大于 1 的自然数，a1,a2,an R，当且仅当a1a2an 时取“”号)；（2）证明不等式的常用方法：比较法；分析法；综合法四、含有绝对值不等式的性质：0 三、函数的基本性质 一、函数的概念：（1）若自变量对应法则 x 因变量 y，则 y 就是 x 的函数，记

9、作 y f(x),x D；x 的取值范围 D 函数的 定义域；y 的取值范围 函数的 值域求定义域一般需要注意：y1，f(x)f(x)0；y n f(x)，f(x)0；y(f(x)，f(x)0；y log a f(x)，f(x)0；y log f(x)N，f(x)0 且 f(x)1（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于 y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点；（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：定义域是否相同；对应法则是否相同 二、函数的基本性质：（1）奇偶性：函数 y f(x),x D“定义域 D 关于 0 对称”成立“定义域 D 关于 0 对称”；前提条件 f(x)f(x)f(x)f

10、(x)“f(x)f(x)”；“f(x)f(x)”成立 成立 不成立 或者 成立、都不成立奇偶性 偶函数 奇函数 奇偶函数图像性质关于 y 轴对称 关于 O(0,0)对称 非奇非偶函数 注意：定义域包括 0 的奇函数必过原点（2）单调性和最值：O(0,0)前提条件 y f(x),x D，I D，任取 x1,x2 区间 I单调增函数 x1 x2 或 x1 x2 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)单调减函数 x1 x2 或 x1 x2 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)最小值 yminf(x0)任取 x D,存在 x0D,f(x)f(x0)最大值 ymaxf(x0)任取 x D,存在 x

11、0 D,f(x)f(x0)f 注意：复合函数的单调性：函数 外函数 y f(x)内函数复合函数 y g(x)y f g(x)如果函数 y f(x)在某个区间 I 上是增（减）函数，那么函数 y f(x)在区间 I 上是单调函 数，区间 I 叫做函数 y f(x)的单调区间（3）零点：若 y f(x),x D，c D 且 f(c)0，则 x c 叫做函数 y f(x)的零点y 零点定理：f(x),x a,b 存在 x0(a,b)；特别地，当 y f(x),x a,b 是单调函数，f(a)f(b)0 f(x0)0 且 f(a)f(b)0，则该函数在区间 a,b 上有且仅有 一个零点，即存在 唯一

12、x0(a,b)，使得 f(x0)0（4）平移的规律：“左加右减，下加上减”函数 向左平移 k 向右平移 k 向上平移 h 向下平移 h 备注 y f(x)y f(x k)y f(x k)y h f(x)y h f(x)k,h 0（5）对称性：轴对称的两个函数：函数 y f(x)对称轴 x 轴 y 轴 y x y x x m y n 函数 y f(x)y f(x)x f(y)x f(y)y f(2 m x)2n y f(x)中心对称的两个函数：函数 对称中心 函数 y f(x)(m,n)2n y f(2m x)轴对称的函数：函数 y f(x)对称轴 y 轴 x m 条件 f(x)f(x)f(x)

13、f(2 m x)单调性 Z Z Z Z Z Z 注意：f(a x)f(b x)f(x)关于 x a b 对称；2 f(a x)f(a x)f(x)关于 x a 对称；f(x)f(x)f(x)关于 x 0 对称，即 f(x)是偶函数中心对称的函数：函数 对称中心 y f(x)(m,n)条件 f(x)2n f(2 m x)注意：f(a x)f(b x)cf(x)关于点(a b,c)对称；2 2 f(a x)f(b x)0a b f(x)关于点(,0)2 对称；f(a x)f(a x)2bf(x)关于点(a,b)对称；f(x)f(x)0 f(x)关于点(0,0)对称，即 f(x)是奇函数（6）凹凸性

14、：设函数 y f(x),x D，如果对任意 x,x D，且 x x，都有 f x1 x2 f(x1)f(x2)，则称1 2 1 2 2 2 函数 y f(x)在 D 上是凹函数；例如：y x2 进一步，如果对任意 x,x,L x D，都有 f x1x2L xnf(x1)f(x2)L f(xn)，则称函1 2 n n n 数 y f(x)在 D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数 y f(x),x D，如果对任意 x,x D，且 x x，都有 f x1 x2 f(x1)f(x2)，则称1 2 1 2 2 2 函数 y f(x)在 D 上是凸函数例如：y lg x 进一步，如果

15、对任意 x,x,L x D，都有 f x1x2L xnf(x1)f(x2)L f(xn)，则称函1 2 n n n 数 y f(x)在 D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式（7）翻折：函数 翻折后 翻折过程 y f(x)将 y f(x)在 y 轴右边的图像不变，并将其翻折到 y 轴左边，并覆盖 y f(x)将 y f(x)在 x 轴上边的图像不变，并将其翻折到 x 轴下边，并覆盖 y f(x)y f(x)第一步：将 y f(x)在 y 轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖；第二步：将 x 轴上边的图像不变，并将其翻折到 x 轴下边，并覆盖 y f(x)（8）周期性：将 y

16、f(x)在 x 轴上边的图像保持不变，并将 x 轴下边的图像翻折到 x 轴上边，不覆盖 若 y f(x),x R，T 0，任取 x R，恒有 f(x T)f(x)，则称 T 为这个函数的周期注意：若 T 是 y f(x)的周期，那么 kT(k Z,k 0)也是这个函数的周期；周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期 f(x a)f(x b)，a bf(x)是周期函数，且其中一个周期 T a b；（阴影部分下略）f(x)f(x p)，p 0 T 2 p；f(x a)f(x b)，a b T 2 a b；f(x)1 或 f(x p)f(x)1，p 0 f(x p)T 2 p；f(x)1 f(

17、x p)或 f(x)f(x p)1，p 0T 2 p；1 1 f(x)f(x p)f(x p)或 f(x)f(x p)1f(x p)1，p 0T 4 p；1 f(x p)f(x p)1f(x)关于直线 x a，x b，a b 都对称 T 2 a b；f(x)关于两点(a,c)，(b,c)，a b 都成中心对称 T 2 a b；f(x)关于点(a,c)，a 0 成中心对称，且关于直线 x b，a b 对称 T 4 a b；若 f(x)f(x a)f(x 2a)L f(x na)m（m 为常数，n N*），则 f(x)是以(n 1)a 为周期的周期函数；若 f(x)f(x a)f(x 2a)L f

18、(x na)m（m 为常数，n 为正偶数），则 f(x)是以 2(n 1)a 为周期的周期函数 三、V 函数：定义 形如 y a x m h(a 0)的函数，称作 V 函数分类 y a x m h,a 0 y a x m h,a 0 图像 定义域 R 值域 h,)(,h 对称轴 x m 开口 向上 向下 顶点(m,h)单调性 在(,m 上单调递减；在(,m 上单调递增；在 m,)上单调递增 在 m,)上单调递减 注意 当 m 0时，该函数为偶函数 四、分式函数：定义 形如 y x a(a x 0)的函数，称作 分式函数 分类 y x a,ax 0（耐克函数）y x a,a 0 x 图像 定义域

19、(,0)U(0,)值域(,2 a U 2 a,)R 渐近线 x 0，y x 单调性 在(,a，a,)上单调递增；在(,0)，(0,)上单调递增；在 a,0)，(0,a 上单调递减 五、曼哈顿距离：在平面上，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则称 d x1 x2 y1 y2 为 MN 的曼哈顿距离六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数 y x m，在 x m 时取最小值；2、对于函数 y x m x n，m n，在 x m,n 时取最小值；3、对于函数 y x m x n x p，m n p，在 x n 时取最小值；4、对于函数 y x m x n x p x q，m n p q，在 x n,

20、p 时取最小值；x2n，x1x2 Lx2n，在 x xn,xn 1 时取最小值；x2n 1，x1 x2 L x2 n 1，在 x xn 时取最小值思考：对于函数 y x 1 2 x 3 x 2，在 x 时取最小值 5、推广到 y x x1 x x2 L x y x x1 x x2 L x 四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如 y xa(a R)的函数称作幂函数，定义域因 a 而异（2）当 a 0,1 时，幂函数 y xa(a R)在区间 0,)上的图像分三类，如图所示（3）作幂函数 y xa(a 0,1)的草图，可分两步：根据 a 的大小，作出该函数在区间 0,)

21、上的图像；根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在(,0 上的图像（4）判断幂函数 y xa(a R)的 a 的大小比较：方法一：y xa(a R)与直线 x m(m 1)的交点越靠上，a 越大；方法二：y xa(a R)与直线 x m(0 m 1)的交点越靠下，a 越大（5）关于形如 yax b(c cx d 0)的变形幂函数的作图：作渐近线（用虚线）：xd、y a；c c 选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,b)；d 画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）x x x x x xy（二）指数&指数函数1、指数运算法则：a a ya x y；(a)a

22、；(a b)x x a x a b；()a xx，其中(a,b 0,x、y R)2、指数函数图像及其性质：/y x a(a 1)b b x y a(0 a 1)图像 定义域 R 值域(0,)奇偶性 非奇非偶函数 渐近线 x 轴 单调性 在(,)上单调递增；在(,)上单调递减；指数函数 y a x 的函数值恒大于零；指数函数 y性质 a 的图像经过点(0,1)；当 x 0 时，y 1；当 x 0时，0 y 1；当 x 0 时，0 y 1 当 x 0时，y 1 3、判断指数函数 y a 中参数 a 的大小：方法一：y a 与直线 x m(m 0)的交点越靠上，a 越大；方法二：y a x 与直线

23、x m(m 0)的交点越靠下，a 越大y x 1 1 1（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数 y f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A，如果对于 A 中任意一个值 y，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 y f(x)，这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y f(x)的反函数，记作x f(y)在习惯上，自变量常用 x 表示，而函数用 y 表示，所以把它改写为 y f(x)(x A)2、求反函数的步骤：（“解”“换”“求”）将 y f(x)看作方程，解出 x f(y)；将 x、y 互换，得到 y f 1(x)；标出反函数的定义域（原函数的值域）3、反函数的条件：

24、定义域与值域中的元素一一对应 4、反函数的性质：原函数 y f(x)过点(m,n)，则反函数 y f 1(x)过点(n,m)；原函数 y f(x)与反函数 y f(x)关于 y x 对称，且单调性相同；奇函数的反函数必为奇函数5、原函数与反函数的关系：/函数 y f(x)y f 1(x)定义域 D A 值域 A D（四）对数&对数函数1、指数与对数的关系：a b N a b N log a N b指数 幂 底数 对数 真数 2、对数的运算法则：log a 1 0，loga a 1，a log a N N；常用对数lg N log10 N，自然对数 ln N log e N；log a(MN)l

25、og a M log aM N，log a N log a M log a N，log a M n log a M；log N loga N，log b 1 m，logn b m log b，logc b log log b b，a N log a b N b log a blog b aa n a3、对数函数图像及其性质：/y log a x(a 1)y log a x(0 a 1)图像 定义域(0,)值域 R 奇偶性 非奇非偶函数 渐近线 y 轴 单调性 在(0,)上单调递增；在(0,)上单调递减；对数函数 y log a x 的图像在 y 轴的右方；对数函数 y性质 log a x 的图

26、像经过点(1,0)；当 x 1时，y 0；当 x 1时，y 0；当 0 x 1 时，y 0 当 0 x 1 时，y 0 a a a c n 4、判断对数函数 y log a x,x 0 中参数 a 的大小：方法一：y log a x,x 0 与直线 y m(m 0)的交点越靠右，a 越大；方法二：y log a x,x 0 与直线 y m(m 0)的交点越靠左，a 越大五、三角比 1、角的定义：（1）终边相同的角：与 2k,k Z 表示终边相同的角度；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；与 k,k Z 表示终边共线的角（同向或反向）（2）特殊位置的角的集合的表示：位置 角的集合 在

27、 x 轴正半轴上 2k,k Z 在 x 轴负半轴上 2k,k Z在 x 轴上 k,k Z 在 y 轴正半轴上 2k,k Z 2 在 y 轴负半轴上 2k 3,k Z 2 在 y 轴上 k,k Z 2 在坐标轴上 k,k Z 2 在第一象限内 2k 2 k,k Z 2 在第二象限内 2k 2 2k,k Z 在第三象限内 2k 2k 32,k Z 在第四象限内 2k 32 2k 2,k Z（3）弧度制与角度制互化：180 rad 180；1rad；1180 rad（4）扇形有关公式：l；r 弧长公式：l r；扇形面积公式：S 1 lr1 r 2（想象三角形面积公式）2 2（5）集合中常见角的合并：

28、x 2k x 2k x 2k x 2k x 2k x k x k 2 x k2 2 2 4 x k x k,k Z 4 x 2k x 2k 5 4 4 x k 3 2 4 x 2k 4 x k 4 4（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，在 的终边上任取一个异 于原点的点 P(x,y)，点 P 到原点的距离记为 r，则（7）特殊角的三角比：角度制 0 弧度制 0 sin 012 270 360 3 22 2 3 1 0 1 0 2 2 cos 13 2 2 1 0 1 0 1 2 2 tan 0 3 1 3 无 0 无 0 3（8

29、）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，k 的取值范围是 k Z）角 和角 的终边：角 和角 的终边 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点对称 sin sin cos cos tan tan sin sin cos cos tan tan sin sin cos cos tan tan 的终边与 的终边的关系 2 的终边在第一象限(2k,2 k)2(k,k)；2 4 的终边在第二象限(2 k,2 k 2)(k 2,k)；4 2 的终边在第三象限(2k,2 k 3)(k,k 3)；2 2 2 4 的终边在第四象限(2k 3,2 k 2)(k 3,k)sin 与 cos 的大小关系：3

30、 2,2 k 2 4 0）；4 4,2 k 50）；4 4，2k 50）4 4 30 45 60 90 180 6 4 3 2 sin cos(2 k sin cos(2 k sin cos 2 k)的终边在直线 y x 右边（x y)的终边在直线 的终边在直线 y y x 左边（x 上（x x y y sin 与 cos 的大小关系：,k)4 4 x y 的终边在 x y 0 x y 0 或；0 x y 0,k 3)x y 的终边在 0 x y 0 或；4 4 x y 0 x y 0,k 3，k Z 的终边在 y x 4 4 2、三角比公式：（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看

31、象限）第一组诱导公式：第二组诱导公式：第三组诱导公式：（周期性）（奇偶性）（中心对称性）sin(2 k)sin sin()sin sin()sin cos(2 k)cos cos()cos cos()cos tan(2k)tan tan()tan tan()tan cot(2 k)cot cot()cot cot()cot 第四组诱导公式：（轴对称）第五组诱导公式：（互余性）第六组诱导公式：sin()sin sin(2)cos sin(2)cos cos(tan(cot()cos)tan)cot cos(2 tan(2 cot(2)sin)cot)tan cos()2 tan()2 cot()

32、2 sin cot tan（2）同角三角比的关系：倒数关系：商数关系：平方关系：sin csc 1 tan sin(cos 0)sin 2cos 21 cos tan sec 1 cot 1 cot cos cos sin(sin 0)2 1 tan2 1 cot2 sec 2 csc（3）两角和差的正弦公式：sin()sin cos cos sin；两角和差的余弦公式：两角和差的正切公式：cos(tan()cos cos)tan tan sin sin；1 tan tan sin cos(k sin cos(k sin cos k（4）二倍角的正弦公式：sin 2 2 sin cos；二倍角

33、的余弦公式：二倍角的正切公式：cos 2 tan 2 cos 22 tan sin 2；1 2 sin 22 cos 21；1 tan2降次公式：万能置换公式：1 cos 2sin 2sin22 1 cos2 2 2 1 cos 2cos21 cos2 2 sin 2 2 tan 1 tan 21 tan 2cos 2 2；1 sin sin cos cos 2 1 tan 2tan21 cos2 1 cos2 2 2 2 1 sin sin cos 2 2 tan 2 2 tan 1 tan 2sin 1 cos 半角公式：tan；2 1 cos（5）辅助角公式：版本一：sin sin b

34、a 2 b 2a sin b cos 版本二：a 2 b2 sin()，其中 0 2,cos a a2 b2a sin bcos a2 b2 sin()，其中 a,b 0,0,tan b 2 a 3、正余弦函数的五点法作图：以 y sin(x)为例，令 x 依次为 0,3,2 2 2，求出对应的 x 与 y 值，描点(x,y)作图 4、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：a sin A b sin B c sin C 2R(R 为外接圆半径)；其中常见的结论有：a 2Rsin A，b 2Rsin B，c 2Rsin C；sin A a，sin B 2R b，sin C c；2R 2R sin

35、A:sin B:sin C a:b:c；aRsin B sin C S ABC2R2 sin A sin B sin C；S ABCbR sin A sin C；S ABC abc 4 R cRsin A sin B（2）余弦定理：版本一：a 2 b 2 c2b2 a 2 c2c 2 a 2 b22bc cosA 2accosB 2abcosC；版本二：cos A cosB cosC b2c2 a 22bc a 2c2 b；2ac b 2a2 c 22ab（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：5、与三角形有关的三角比：（1）三角形的面积：a b cos C c cos B b c cos

36、A a cos C c a cos B b cos A SABC S ABC1 dh；2 1 absin C 1 bcsin A 1 ac sin B；2 2 2 SABCl l al b lc，l 为 ABC 的周长2 2 2 2（2）在 ABC 中，a b A B sin A sin B cos A cosB cot A cot B；若 ABC 是锐角三角形，则 sin A cosB；sin(A B)sin C cos(A B)cos C tan(A B)tan C sin(B C)sin A；cos(B C)cos A；tan(B C)tan A；sin(A C)sin B cos(A

37、C)cos B tan(A C)tan B sin A cos B C tan A cot B C2 2 2 2 sinB cos A C；tan B cot A C；2 2 2 2 sin C cos A B tan C cot A B2 2 2 2 sin A cos Bsin B cos Asin C cos A2 2；sin A cosC2 2；sin B cos C2 2；sin C cos B2 2 2 2 2 2 sin A sin B cos A cos B2 2 2 2 sin A sin C cos A cosC sin A sin B sin C cos A cos B

38、cos C；2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin B sin C cos B cosC2 2 2 2 2(sin A sin B sin C 4cos A cos B cosC 2 2 2 cos A cosB cosC 1 4sinA sin B sin C；2 2 2 sin A sin B sin C 4sin A sin B cosC 2 2 2 sin 2A sin 2B sin 2C 4sin Asin B sin C；cos2A cos2B cos2C 4cos A cosB cosC 1 sin A cos A sin B cosB sin C cosC(0,3 3

39、2；3(1,2 sin Asin B sin C sin Asin B sin C cos A cosB cosC(0,3 3 8 cosA cosB cosC 1 1,8 其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明（3）在 ABC 中，角 A、B、C 成等差数列 B 3（4）ABC 的内切圆半径为 r6、仰角、俯角、方位角：略 2S a b c 7、和差化积与积化和差公式（理科）：（1）积化和差公式：sin cos cos sin cos cos sin sin 1 sin()sin()2 1 sin()sin()2；1cos()cos()2 1 cos()c

40、os()2（2）和差化积公式：sin sin 2sin sin sin 2cos cos cos 2cos cos cos 2sin cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 2 2 六、三角函数 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像：y sin x y cosx y tan x 定 义 R R 域 x x k,k Z 2 值 1,1 域 奇 1,1 R 偶 奇函数 偶函数 奇函数性 周 期 性 最小正周期 T 2 最小正周期 T 2 最小正周期 T 2 k 单,2 k 2 Z；2 2 k,2k Z；(k,k)Z 调 2 k,2 k 3 2 k,2 k 2 2性 2 2（

41、k Z）（k Z）（k Z）当 x 2k 最 时，ymin1；2 当 x 2k 时，ymin1；无 值 当 x 2k 时，y 2 max 1；当 x 2k 时，y max 1；图像 例 1：求函数 y 5sin(2 x)的周期、单调区间和最值（当 x 的系数为负数时，单调性相反）3 解析：周期 T 22，由函数 y sin x 的递增区间 2 k,2 k 2 2，可得 2k 2x 2k，即 k 5 x k，2 3 2 12 12 5 于是，函数 y 5sin(2 x)7 的递增区间为 k 3,k 12 12 7 同理可得函数 y 5sin(2 x)7 递减区间为 k 3,k 12 12 当 2

42、x 2k 3，即 x k 2 时，函数 y 12 5sin(2 x)取最大值 5；3 当 2x 2k，即 3 2 x k 5 时，函数 y 12 5sin(2 x)取最大值 5 3 例 2：求函数 y 5sin(2x)7,x 3 0,的单调区间和最值 2 解析：由 x 0,，可得 2x 2,4 3 3 3 然后画出 2 x 的终边图，然后就可以得出3 当 2x,，即 x 3 3 2 4 0,时，函数 y 12 5sin(2 x)7 单调递增；3 当 2x,，即 x 3 2 3,时，函数 y 12 2 5sin(2 x)7 单调递减 3 同时，当 2x，即 x 3 2 时，函数 y 12 5si

43、n(2 x)7 取最大值 12；3 当 2 x 4，即 3 3 x 时，函数 y 2 5sin(2 x)7 取最小值 7 3 5 3；2 注意：当 x 的系数为负数时，单调性的分析正好相反2、函数 y A sin(x)h&y A cos(x)h&y A tan(x)h，其中 A 0,0：（1）复合三角函数的基本性质：三角函数 y A sin(x)h y A cos(x)h y A tan(x)h 其中 A 0,0 其中 A 0,0 其中 A 0,0 振幅 A 无基准线 y h 定义域(,)x x k,k Z 2 值域 A h,A h(,)最小正周期 T 2 T 1 1 频率 f f T 2 T

44、 相位 x 初相 2（2）函数 y A sin(x)h 与函数 y sin x 的图像的关系如下：相位变换：当 0 时，y sin x 向左平移 个单位 y sin(x)；当 0 时，y 周期变换：sin x 向右平移 个单位 y sin(x)；当 1时，y sin(x 所有各点的横坐标缩短到原来的)1 倍（纵坐标不变）y sin(x)；当 0 1时，y 振幅变换：sin(x 所有各点的横坐标伸长到原来的)1 倍（纵坐标不变）y sin(x)；当 A 1时，y sin(x)所有各点的纵坐标伸长到原来的 A倍（横坐标不变）y A sin(x)；当 0 A 1时，y sin(x)所有各点的纵坐标缩

45、短到原来的 A倍（横坐标不变）y A sin(x)；最值变换：当 h 0时，当 h 0 时，y A sin(x y A sin(x 所有各点向上平行移动 所有各点向下平行移动 h 个单位 h 个单位 y A sin(x y A sin(x)h；)h；注意：函数 y A cos(x)h 和函数 y A tan(x)h 的变换情况同上 3、三角函数的值域：（1）y a sin x b 型：设 t sin x，化为一次函数 y at b 在闭区间 1,1 上求最值（2）ya sin x b cos x c，a,b 0 型：引入辅助角,tan b，化为 y a a b sin(x)c（3）ya sin

46、2x b sin x c 型：设 t sin x 1,1，化为二次函数 y at 2 bt c 求解（4）ya sin xcos x b(sin x cos x)c 型：a(t 2 1)设 t sin x cos x 2,2，则 t 2 1 2sin x cos x，化为二次函数 y bt c 在闭 2 区间 t 2,2 上求最值 2)2 2 2（5）y a tan x b cot x 型：设 t（6）ytan x，化为a sin x b 型：c sin x d y at b，用“Nike 函数”或“差函数”求解 t 方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为 1 sin x 1 求

47、解（7）ya sin x b 型：c cosx d 化为 a sin x yc cos x b dy，合并 a y c sin(x)b dy，利用有界性，sin(x)b dy 1,1求解 a2y2c2（8）a sinx cos x b sin2 x c cos2 x，（a 0,b,c 不全为 0）型：利用降次公式，可得 asin x cosx b sin2 x ccos2 x a sin 2 x c b cos2x b c，然后利用辅助角公式即可 4、三角函数的对称性：2 2 2 对称中心 对称轴方程 y sin x(k,0)，k Z x k，k Z 2 y cos x(k,0)，k Z 2

48、x k，k Z y tan x y cot x k(,0)k Z/2(k,0)k Z/2 备注：y sin x 和 y cosx 的对称中心在其函数图像上；y tan x和 y cot x 的对称中心不一定在其函数图像上（有可能在渐近线上）例 3：求函数 y 5sin(2 x)7 的对称轴方程和对称中心 3 解析：由函数 y sin x 的对称轴方程 x k，k Z 2，可得 2x k 3，k Z 2 解得 x k，k Z 12 2 k 所以，函数 y 5sin(2 x)7 的对称轴方程为 3 x，k Z 12 2 由函数 y sin x 的中心对称点(k,0)，k Z，可得 2x 3 k，k

49、 Z 解得 x k，k Z 6 2 所以，函数 y 5sin(2 x)7 的对称中心为(3 k,7)，k Z 6 2 5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像：y arcsin x y arccosx y arctanx 定义域 1,1 1,1(,)值域,2 2 0,(,)2 2 奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在 1,1上是增函数 在 1,1上是减函数 在(,)上是增函数 对称中心 点(0,0)点(0,)2 点(0,0)图像 重要结论：（1）先反三角函数后三角函数：a 1,1 sin(arcsin a)cos(arccosa)a；a R tan(arctan a)a（2）先三角函数后反三角函数：,2 2 arcsin(sin)；0,arccos(cos)；(,)2 2 arctan(tan)（3）反三角函数对称中心特征方程式：a 1,1arcsin(a)arcsin a；a 1,1arccos(a)arccos a；a(,)arctan(a)arctan a 6、解三角方程公式：sin x a,a 1 x k(1)k arcsina,k Z cos x a,a 1 x 2k arccosa,k Z tan x a,a R x k arctana,k Z