西安交大《电磁场与电磁波》课后答案.pdf

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1、习题1.1已知N =2+3 /；：=+g-2 2 ,求:(a)A和B的大小(模)；(b)A和5的单位矢量；(c)AB；(d),x月；(e)4和8之间的夹角；(f)A在8上的投影。解：(a)A和8的大小A=网=鼻 A；+A；+3、+=3.74B =同=J 比+B；+B；=712+12+22=76=2.45(b)A和的单位矢量2 1a=-=痂(22+3 y-z)=0.535%+0.802-0.267 人 B 1b=*=总(x+y-2 z)=0.408x+0.408y-0.816z(c)A BA-B=AAB A +A5B y+4Z ,N=2+3+2=7(d)A xB人XA xB =AxB、人 Ay

2、zA&By BzX21人 Ay z3-1 -5 x +3 y-z1 -2(e)4和3之间的夹角a根据，5=ABcosa得A Bcos a=-AB79.163=0.764a =40.19(f)A在5上的投影A-bA B7245=2.86B1.2如果矢量A、和C在同一平面，证明A(5xC)=0。证明：设矢量A、8和C所在平面为盯平面A=Ax/+Ayv yB=Bxx+ByyC=Cxx+Cyy人 人 人X y ZBXC=BX By Bz=(ByCz-BzCy)x +(BzCx-BxCz)y+BxCy-ByCx)zCt Cy Cz=(B、q-B,C,)WA(B x C)=O x (B、C,-4 c)”2

3、 =01.3 已知 A=Fco s a+g s i n a、B=xco s-y s i n D C=x c os/3+y sin/3,证明这三个矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。证明：1）三个矢量都是单位矢量A=网=不A；+A；+A：=7 co s2 a+s i n2 a -18=同=J 比+B；+B；=7 co s2 +s i n2/7 =1C=忖=也+C j+C；=7 co s2 +s i n2/7 =12）三个矢量是共面的x y zB x C =Bx By B_=2 co s Q s i n /a q aA(B x C)=Ox2 co s/7 s i n&2 =01.4 A=x+2

4、y -z；B=a x +y -3z 当 X_l_后时，求a。解：当,，月时，A B=0A-B=a+2 +3 =0所以a -51.5 证明三个矢量4 =5 2 5$、B=3 x-7 y-z C=一2 2 2$2形成一个三角形的三条边，并利用矢积求此三角形的面积。证 明：因 为A-B 2 x +2 y +zA+(月)+6 =0所以三个矢量A、8和C形成一个三角形此三角形的面积为SAx B2-5-70-17 52+52+2 02/2 =1 0.61.6 P点和Q点的位置矢量分别为5 2+1 2$+2和2充 一 3$+2,求从P点到Q点的距离矢量及其长度。解：从P点到Q点的距离矢量为=(2 x-3 y

5、 +z)-(5 x+1 2 y +z)=-3 x-1 5 y从P点到Q点的距离为7?=同=犷 +&=1 5.31.7 求与两矢量A=4 3$+2和3 =2 +$2都正交的单位矢量。解：设矢量6 两矢量A=4 -3/+/和3=2 S +都正交，则A C=4 C-3 CV+C-=0B C 2CX+Cy-C:=0(1)+(2)得 6 C-2 CV=0(1)+3 x(2)得 1 0 Cv-2 C;=0如果矢量6是单位矢量，则c=l4 =；+c；+所以 C,=,1=0.1 6 97 1 +9+2 5(1)(2)C 3 c(3)/X-CC 一 =5CX;(4)J C；+9C；+2 5 C：=1Cv=3 C

6、,=0.5 0 7C:=5CX=0.84 5C=0.1 6 9x+0.5 0 7 y +0.84 5 z1.8将直角坐标系中的矢量场(x,y,z)=2,E(x,y,z)=$分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。解：在圆柱坐标系中F p;co s*sin(po-Fx lco s*s i n。o-Tco s。=-s i n 9co s 夕0=-s i nco s。0 0=-s i n p001儿001 00F(p,(p,z)=co s /一 s i n(p(pco s es i n 0o-FX2co s 夕s i n o-o-s i n 夕F g=-s i n COS 0 0=_s i n co

7、 s。0 1=co s。工2 _001001_0 _0片 2 3 9,z）=s i n 始 +co s（p q）在圆球坐标系中*s i n。co s。s i n s i nco s。心F i=COS。COS 0 co s Os i n 一 s i n。GF叫-s i n 9co s。04s i n 8 co s s i n Os i n。co s。Ts i n 夕 co s =co s co sco s s i n一 s i n。o=co s 0 co s (p-s i n 9co s。00.s i n e*人(p)-s i n co s +co s 0 co s(p 6 -s i n(p(p

8、F：s i n。co s s i n Os i n 0co s。口co s 夕 co s 0co s Os i n o-s i n。F*一 s i n co s。0%_s i n Oco s es i n Os i n。c os。o-s i n Os i n。co s。co s co s Os i n 夕-sin 31 =co s s i n-s i nco s。0 J0co s。人F2(r,0,(p)=s i n s i n (p p+co s s i n(p 0+co s(p(p1.9将圆柱坐标系中的矢量场4（0,2z）=2 2,E（p,夕,z）=3 0 用直角坐标系中的坐标分量表示。解：

9、根据44ACOS 9-s i n/0&s i n eCOS 0 A.001A.(1)得-s i n co s。0R(x,y,z)=2 co s 就+2 s i n 5又 因 为 co s。s i n。_ XG+y2_ XJ/+Vz 二 z(2)一2F1(x,y,z)=2 p =-=(xx+y y)F2(X,y,z)=-3 s i n 孤+3 co s 行利 用(2)式可得户2(x,y,z)=3 0 =3(xy-yx)1.1 0将圆球坐标系中的矢量场后（几40=5户,（L。犷）=。用直角坐标系中的坐标分量表示。解：根据得=s i n Oco s。s i n Os i n 夕cos 0 cos(/

10、)co s s i n-s i nco s 0A,(1)A：co s。一 s i n。0 JA./s i n co sco s 夕 co s e-s i n5 s i n co s 9Ky=s i n 9 s i n。co s s i nco s。0=5 s i n。s i n A.COS0一 s i n。0|_ o5 co s。F(x,y,z)=5 s i n eco s+5 s i n 6 s i n o +2 5 co s 6x =r s i n 0c os(p又因为 x r,7 (x x +y y +z z)7 x2+/+Z2人 q /人 人、2)+(Z1 -0)一=7(5XCOS(/

11、6)-2XCOS(/3)2+(5 xs i n(/6)-2 xs i n(/3)2+(5-4)2=(3.3 3)2 +(0.7 6 8)2 +2 =J1 2.6 9=3.5 61.1 2 空间中同一点上有两个矢量，取圆柱坐标系，4 =3。+5。-4 2，B=2 Q +4 0 +3 2,求:（a）4+8；（b）A x B；（c）A和5的单位矢量；（d）A和8之间的夹角；（e）A和B的大小；（f）A在5上的投影。解：(a).+月=(3 +2馅+(5 +4)0 +(-4 +3)2 =5 0 +90-2P(b)Ax B-ApB.(PAPB.人 人Z PA：.=3B.2八 人(p z5 4 =3 力-1

12、 7 0 +2 24 3(C)6 =1AA/32+52+42A/22+42+32(3。+5 0 4 2)=*(2 p +4 0 +3 2)b =B1(2。+4 0 +3 2)=孤(2 Q +4 0 +3 2)(d)A和B之间的夹角0-co s-1(B)=co s-1()=6 8.4 0AB 3 8.0 7 7(e)A和B的大小A=，；+A；+A；=7.0 7 1B=B；+B；+B；=538 5(DA在3上的投影-A JA/=(3。+5。-42 (2。+4 0 +3 2)=2.61.1 3 矢量场中，取圆柱坐标系，已知在点P(l,%/2,2)矢量为A=2 Q +3。，在点。(2,%,3)矢量为5

13、=-3。+1 0 2；求:(a)A+3 :(b)A(c)A和B之间的夹角。解：转换到直角坐标系(a)(b)(c)A,A,A.-100co s”s i n。0-s i n 夕co s。0-10000-3x +2 y p0-10-301 03 x+1 0 A+B-2 g+1 0 2A-B=9A和8之间的夹角001AAA 一AB01000I0=co s-1(-)=co s-l(-)=1 2 5.7 AB 1 5.4 41.1 4 计算在圆球坐标系中两点尸(1 0,万/4,万/3)和。(2,万/2,万)之间的距离及从P点 到Q点的距离矢量。解：根据圆球坐标与直角坐标的关系x=r s i n 0c os

14、(p y =r s i n s i n z=r co s x=r s i n co s =1 0 x0.7 0 7 x 0.5 =3.5 3 5%=r s i n s i n =1 0 x 0.7 0 7 x 0.86 6 =6.1 2 2q =r co s =1 0 x0.7 0 7 =7.0 7x2=r s i n Oco s。=2 x 1 x(-1)=-22)一 +(Z-2)=J(3.5 3 5 +2)2 +(6.1 2 2)2 +(7.0 7)2 =10 8 71.1 5空间中的同一点上有两个矢量，取圆球坐标系，A=3r+0+5,5=2-。+4 0,求:(a)A+3 ：(b)A B；(

15、c)A和8的单位矢量；(d)A和5之间的夹角；(e)A和5的 大小；(f)4在5上的投影。解:(a)4+3=5 3+9。(b)A-B=2 5(c)4和5的单位矢量人 人 人6 =(3户+，+5。)：b =(2户一6 +4。)V 3 5 V 2 1(d)4和5之间的夹角0=co s-1=co s (-)=2 2.7 5 AB 2 7.1 1(e)A和5的大小A=-：+A；+A：=5.92B=$B；+B A B；=4.5 8A在5上的投影 A 人 I 人46=侪 +。+5办-7=(2 2 6 +4 0)=5.4 5 51.1 6 求/(x,y,z)=的梯度。解：V/=x +y +z-3x2y2zx

16、+2x3yzy+-3y2za 4 21.17求标量场f(x,y,z)=xy+lz1在点(1,1,1)沿，=-2亍+2 方向的变化率。解:=x-+y +z =yx+xy+4zzda 小 皮I,(XX-2 y+z)G+i-2X+4Z厘”+.+i所以9|a.ij)c+D小人冽人助人冽)1.18由=x+y+z,丹 丹 戊利用圆柱坐.标和直角坐标的关系，推导V=p人为)人1冽)+夕-dp p d(p+Z方解：在直角坐标系中 /逆+3+23&4 员X=pcos(p y=psin(p、z=zp=ylx2+y2y (p-arctg xz=zx=Qcos。-0siney=0sine+0cos0由(2)、(3)式

17、可得bpdx=cos 夕(1)(2)(3)(4)(5)(6)d(pd xyx2l+(2)2Xy 1 .r =一一s i n e%+y p(7)迦=小(8)1d(pSyx由 一i+(2)2X(5)式得X 1-3-于=COS0X+厂 P(9)D 小 人&人出 人逸V O =x+y +Z金 为 戊,人 人.、3 I)/人.人 、夕I)人处=kp co s 夕 一 0 s i n c p)+(。s i n (p+0 co s (p)+z d x,4 及而d p 3 d(p S O 1 .=-+-=COS(p-S i n 6 9今 d p d x d(p d x d p p d(p前 d 3 夕 5 0

18、 ,1 5 0=-+-=s i n 6 9+-co s 6 7 d p d y d(p d y d p p d(p再 由（6）（9）式可得人 人 3 +鹏电。s%+生+2驾8 s源”+#d p p d(p d p p d(p 血人H)人1&人&=p+0-+z d p p的 及1.1 9 求，（p，9，z）=p co s。的梯度。解：守=?旦+0 _LJL+2 =aco s Q _0 s i n 9d p p 的 a1.20由 =效+9 色+/理，力 小 E利用圆球坐标和直角坐标的关系，推导小 人 冽）”冽）人1 加V0）=r +8-+。-。%r dO r sin。勿解：x=rsin0cos(p

19、 dr d dO SO d(p今 dr dx dO dx d(p dx4)50 dr 3 50 3 d(p=-1-1-4 br dy d0 dy d(p dydr dO d d(p&dr dz S3 dz d(p dz=sinOcos。5 r5 r-&a x加一分=sin。sin/=cos。=-COS COS 9r=cosOsin。rd 0 UK J 0 i 召-d)H-0 H-/=OAM I v Ml?Q Q /(e u-e-e s。，的 呼=7 一)+v 。iJQ(。叩夕一JS。力(0。=)+v gd)Q UISJ(d)soo d)-d)msg soo uis uis(d)soo-:-)+

20、“,9 0Q /(d)soo。+。u【s夕 sooe+Ou【seu【s/)(彷ins。soo-)+v v v 0 I也(d)soo 0+。ins夕 soo 夕 +。uis。u【s/)(。uis g uis )+7 ,Offd)g guis/(d)uisd)-d)soog soo。soo。uis，)(。uis-：)-(D5 I0Q J(d)msd)-d)sooQ soo夕 +。soouisz)(d)soog s o o 1)+AQd)isd)-d)soo g soo 0+d)soo uis(soo uis)=v*.0IQ d)Q 2g 0Q 2Q JQ(0 uis(9soo(-+-+-)+，蜒

21、Q 9 。Q 叩Q刈 d)Q 1 Q Q&AQ(。SOO。U【S 8 SO O 夕 +。UIS e UIS/)(-+-+-)4-7 ,一。0 5XQ d)Q XQ Q Q XQ JQ(d)UIS-SOOSOO+6SOO UIS:Z)(-+-4-)=。e。，。-2 H-1 4-Y=(1)叱叱叱V20=而夕1 1 尸，_0力 SO O d)QUIS XQ力 iqs-d)Q/2g6 uis-=I 091.2 1 求/（r,。,*）=/si n O c o s。的梯度。解：V f =r+0-+（p-d r r 30 rsi n d（p=rlr si n 0 c o s（p+Or c o s 0 c o

22、 s（p -（p r s x （p1.2 2 求梯度夕,其中为常数。解：v p =方 冬=方a pV 7 人分人Y r=rd r及kr*=户=rkekrd r1.2 3 在圆球坐标系中，矢量场户（尸）为户（尸）=与 户，其中人为常数，证明矢量场户（尸）对r任意闭合曲线/的环量积分为零，即 F d l=0I证明：根据斯托克思定理：jF-d l=J J V x F-J SjF d l=J V x 户.曲=0i srrd si n 6。-k 1V v F(r V v r v x jri rJ v x .r。aaAr 厂 si n。dea(pU00所以 11.2 3 证 明(1)V=(T V O-O

23、V T)；(2)V F(D)=/()V。证明：八、口.d O 入3(1 )V=X-F V-1-Z-T&乎 力 乎 及5且-建生-2?以T dx 好力中-p2 dy T dz T2 dz%,0 小-小”3%八 日 八 科,=T-X +y +z -x-F y +z T2 dx dy dz T2 dx dy dz=/(+V V )(2)V F(O)=i F +y F +z Fdx dy dza a a=加 一 中+尸 亍 一 中+*二 中=(-A cos sin 夕工 sin(pcos(p A+-sin2(pAdp dp p d(p p+l sin+lsincos+lcos.lcossinKp d(

24、p p p d(p p+sinAA+lcossinAA+lcosM+Adp dp p d(p p%8+a 生dp p p a(p 女1 日,、1 次。加.-(M)+-+-p dp p d(p 戊，=!多4)+焉!酬外)+焉得=sinOcos。dxa r-5 ya r&竺a x”冲2&加&即8=sin Osin。=cos。1 八=COS0COS(pr1 八.=cos，sinr1 .八=sin 9rsinersin。COS0rsin。dx,小 Ed(p _二 03z4一sinOcos。cos 0 cos 一 sin*ArAv=sin Osin*cosSsin。cos*Ae4 _cos3-sin。0

25、 _ 勺VM=d x 用、，次.+L+dAx dr dAx dO dAx d(p 羽、dr 5Av Q 0 8Ay Q(p=:-1-:-1-1-:-1-:-1-:-dr dx SO dx d(p dx dr dy dO dy d(p dy&dr dA.dO dA d(p+dr dz dO dz d(p dz=sinecose)(sin6cosM+coscos(pA0-sin(pA)+cos 0 cos cp-(sin 8 cos(pAr+cos 0 cos(pA0-sin 补中)si”drsinO d(p(sin6cos湘+cos。cos出。-sincpA)e+sin Osin (sin 0s

26、in(pA.r+cos sin(pA.o+cos(pA)dr a+cos e sin (sin 3 sin(pAr+cos 0 sin(pA()+cos(pA)r 30+-c-o-s。-6-(/s in八，si n(pA4 n.A%、r+cos 0 sin(pA.e+cos(fA)rsin。却a+cos 0(cos 0Ar-sin 0Ae)drsin。3/.、-(cos 6Ar-sin 0AO)r ee=sin2 cos2(p Ar+sin coscos2(p Ae-sin 0cos9sin Adr dr dr2 2 3 d+sin Osirr cp-Ar+sincossin(p Ae+sin

27、sincos?一Sr dr+cos2 0 A,-cossinA.+-(sincoscos2(p Ar+cos2 cos2(p A0-cos 0coscpsin cp A)r dO 30 dO+(sincossin2(p Ar+cos2 Osin?(p Ae+cos0sin(pcoscp A)r 30 30 36-L(sin6cose旦 A,-sin2 0 Ao)r 30 30+(cos2 cos2(pAr-sin cos cos2(pA0r+(cos2 Osin2 期-sin cos sin2(pAe)r+(sin2 弭 +sincos0Ae)r+(一 sin A)rsing d(p d(p

28、d(p1d-rsin 01d-rsin。(sin sin2 油 4-cos sin2(pA0 4-sin?cos4)(sin 0 cos2 泡.+cos 0 cos2(pA0-sin(p cos(pA)2(A,)+2A,+皿旦)+*4+，冬dr r rsinO 0 rsin。rsin6 说1 5/2.、1 1 叫=-(r A)H-(sin 0A.Q)H-r dr rsin。花 rsin0 d(p1.2 6计算下列矢量场的散度a)F =y z x +z y y +x z zb)F =p +p(pc)F =2 r+r c o s 00+r(p解：a)VF小r 灰-+-+泳 4 也b)工亘（吟+上

29、区+强 p d p p d（p E pc)户=二2(工)+旦(si n/)+1 。2r d r rsi n 30 rsi n d(p=si n 6 +c o s2 0si n。1.2 7计算散度(万)、F,&*),其中为常矢量。解：1 aV (洲=-(/7?)=2P 即V r=V F =-!7 (r2r)=3r d rV(ke )=k-V eif=-Z?V(-r)=k-keif=k?J1.2 8由力中推导7 2 1 3 ,孤、1 万 益 9 不）+/布京-7-1-7解:v2a)京-今-2-I-抄-2-3 d p 3 d(p 5 0 S O 1=-+-=CO S 6 7-S i n 6 9-d

30、x d x d p d x d(p d p p d(p3 d p 3 d(p 3中,1=-+-=si n (p+c o s 6?-d y d y d p d y d(p d p p d(pJ?/d,1 d w 3.1 S O、=(c o s。-si n-)(c o s。-s m 0-)d x d p p d(p d p p d(p2 0,1 d、.1 3/d、=c o s(p-si n 0c o s ()-si n (c o s )3p d p p d(p p d(p d p.i a /.取+s m。(si n。)p d(p d(pa2o办2n/+c sj 马(si n。+c sj 驾)d p

31、 p d(p d p p d(p.2次 .3/3、1 3 /.=sm-(p-+sm c o s?(-)+c o sc p-(si n。-)d p p d(p p d(p d p+CO S (p 1 d (z c o s(p 30、)p d(p d(pr 2 a?.e,1 a、.id,现d p d p p d(p p d(p d p1 3 .微、+si n (si n )p d(p o(p.2 a2o .e/现 1 e/.e、+si rr -+si n o c o s c p (-)+c o s c p-(si n c p )b p-d p p d(p p d(p d p+CO S (p 1 d

32、 (z c o s(p 30、)p d(p d(p粤+s iMj 辿.si n ec o sj+si”c o s竺d p p d p p d(p d p p-d(p.2+sm-1 a2op 5(p-2 1 e .i a?.i e 2 1 d2+c o s(p-+c o s si n -c o s si n?z-+c o s-(pz-rp d p p d(p d p p d(p p d(p d2d)1 a o 1中 1 J，邠、1 夕 中=三 丁 +一+2 -2 =一=(P工)+不 二 -d p p d p p d(p-p op d p p d(p1.2 9已知a)f (r)x2zb)/(r)=

33、pc)f(r)=r求 力 九解：a)亨+彖筌=2zb)v2/5割焉+箓+箓=2V f -1 -日-，2 4、1 A。、1 32 f(r )H-(si n 0)H-r2 d r d r r2 si n 30 箔 r2 si n2 0 d(p 21.3 0求矢量场户=痂+0+夜穿过由24 1,0 肛04 z 4 1确定的区域的封闭面的通量。解：F =p p+(p +z z解 法1：名 声 JP-d S+j p -J S+I P-d S+j p -J 5S S S S3 S4S 1为半径为1的圆弧侧面；5 2为侧平面；S 3下端面；S 4上端面。1 ”|jF-d S=+0+z z p d(p d z

34、=j p p d(p d z =兀5,S,0 0J J片-d S=jj(x?+0 +z?)(-j?)d x d z =_ J J(y +s2 s,-10Jr+y 2 yd z d x=00 1=J公 _ 二 0-1 0+0+z 2)(一 2)p d p d(p =0S3S3 Z -u=J J(+o+z)54 54 z p d p d(p =7v Hz=1s解法2：心乙曲=p.而+J户MM+J户d M+J/M =3T Z72Ss2S4V F =-(p F )+-+-=2 +1 =3p d p p 的 e胪次=游”=啊=3V =3/2S V VA.di1.31 由(V x A)=j m -推导 V

35、 x 4A D ASxdSx.2解:1)设贷=2，/为边长为Ay和 小 的，中心在(x,y,z)的矩形回路l -5A Q AaA dl=-A A -(A,+-Az)Ay+(A.+-Ay)Az +/dz dy-Az Ay H-L Ay Azdz dySA-diI=二 吼As dz dy2)设齿=亍，/为边长为Ar和Az的，中心在(x,y,z)的矩形回路.O A 0 4A-dl=-AXJX-(A:+-A)AZ+(AY+A)Av +A.Az/ox 8 z-S-4,-AAz x AAz +-dAx-Az Axdx dzSA-dTi dA.dAx s dx dz3)设企=2，/为边长为Ax和 )，的，中

36、心在(x,y,z)的矩形回路-dl=-AvAy -(Af d-Ay)Ax +(Av H-Ax)Ay +AvAxdy dx=-A j A x +-A x A dy dxSA-dl1_ _ _ _ 巩A，_+_As dy dx因此D x A7 =xW(-M-v-+洲 工、)+wy(-3-A-,-+5-A-)+z(-d-A-x-+d-A-)&dy dx dz dy dxZ(xaAx1.32 计算矢量场F=xyx+2yzy-z.的旋度解：V x F =A人y za a4戊Fy Fzxa今%x y za 3 a为 0 2xy 2yz-1=x(-2y)+y(0+0)+(-x+0)c 人 人=-2yx-xz

37、1.33 计算 V x p y x r,V x(p),V x 解：=02日一0旦劭oPV x p =lPApv X(z p)=P 3Pzzd0=0o-.InA珈or s而旦弟oi ar sin。drV x Fr rdV x 二=-i-a-a-r sin。dr d00 0r sin 80ad(prsin。人cos。久1r；-6r sin 0 r1.3 4已知,=)企一行，计算才(V x H)解:xVx A=daAXz人 人 人x y zd,旦 旦 旦仇次 4 次&y-x 0A.(Vx=(yx-xy).(-2z)=0对于任意矢量，若 =Ax(x,y)x+Av(x,y)yV x A-22戊Azy24

38、Av.今A*人Xa今4(x,y)22及Ho7y3-4)H4y一 汽 弘+啊）一 一 诙 十 工）-dA dAvA x A)引A g)x +A,(x,y)亦(-盂+瓦)=。1.35 证明矢量场E=y戒+应 +孙2既是无散场，又是无旋场。证:dEx dE dE.MV-E=-+-H-=0dx dy dzV xE=人 人e d今 乃E Ex yzaEEz2 ye ddx,小 Eyz xz xy1.36 已知 E=0 cos历一EoSin。，求 V E 和 V x。解：V-E=(r2Er)+(sin6Eg)+1r2 dr rsin dO rsin d(p5枭库斓）+焉篇（s i Mf s i n。）2E

39、0 cos 0 2E。cos 0-=()而且箔应Fg分ErV xE=1r sin 0(pd3(prsinOE1.37解:r1d/sin。drEo c o s 0reade-r E0 sin 0r sin 0(ped(p0=(-Eo sin 8+&sin 6)=0r证明 V x (M)=O V x A 4-V O x A oV x (4)=xadx,Ay翥+Fp、.(-x-+-a/,2总)2 +y2 A x+a/2 x-a/22+y2(arcfg-arctg-)4%(x-a/2)-+y y y2-5.已知真空中电荷分布为P=r2a2r aps=b,r=ar为场点到坐标原点的距离，a,b为常数。求

40、电场强度。解：由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取 泮 径 为r的球面，利用高斯定理S%等式左边为可 及dM =4加2与半 径 为r的球面内的电量为4=14 5TV；。5a.a3+5ba24乃-,r a因此，电场强度为Er=r35()aa3+5ba2 r a 5%厂2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为r;r ar为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。解：由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理q。等式左边为f f后 次=2m-ErS半径为r、高 为1的圆柱面内的电量为qj plrcrdr=o o a2 dr2 md3a2

41、aJ a因此，电场强度为r2-;r a1 3%厂2-7.在直角坐标系中电荷分布为p(x,y,z)=p M-a0;|x|a求电场强度。解：由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理，穿过面积为S的电通量为E、2 S,方形封闭面内的电量为2 xS p o；k|2 a s p 0；卜|a因此，电场强度为四;|x|。Ex=皿 2-8.在直角坐标系中电荷分布为,I x l;I x l (|x2S;|xl C l2%X2-a x 02 4a2-x -a2%;0 x a2-9.在电荷密度为夕(常数)半径为a的带电球中挖个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离

42、为c(b+c a),求空腔中的电场强度。题2-9图解:由电场的叠加性，空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。利用高斯定理，可求得完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为E=座 3 4完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为瓦T所以，空腔中某点的电场为月=瓦+瓦=片(巨 一a=fc为从球心指向空腔中心的矢量。2-10.已知电场分布为 x-b/2 x b/2_ b 人E=b/2-x x h/2求电荷分布。题2-1 0图解:由二夕/分 得p 4 V -E b/22-11.已知在圆柱坐标中，电场分布为E=)a r t)其中。为常数。求电荷分布。b解

43、：由V 月=2/4 ,得P=-E在a r 6,V E=V-()=0(在圆柱坐标系)在r b,V-E=0因此 p=0在/a,r=b有面电荷.电荷面密度为Ps=D“=%E“=sQC/a;r=a1br=b2-12.若在圆球坐标系中电位为(b-a)r(r)=(-a,a r b求电荷分布。解:由力 二 一p/4得体 电 荷 密 度/?=-4 2(b-a,r aah对(r)=(-a);a r /?求拉普拉斯运算得V?=0因此 夕=0下面计算匚a,r=b的分界面上的面电荷。_ 60E=-V(P=-rdr0r a尸 ,、ab.E,.(r)=l a r /?一 ,._j Srb!ar-a面 电 荷 密 度2=。

44、“=%=aa/b,r-bA个2-13.分别计算方形和圆形均匀线电荷在轴线上的电位。占L(a)解：(a)方形均匀线电荷在轴线上的电位方形每条边均匀线电荷的电位中=af F=jj4兀网上2Vd2 +z2 4阳 dl(b)J2+(1)2+L/22+号)2-L/2其中 J2=Z2+(L/2)2方形均匀线电荷在轴线上的电位为兀 。y lz2+1/2-L/2(b)圆形均匀线电荷在轴线上的电位2-1 4.计算题2-5给出的电荷分布的电位。解：题2-5给出的电荷分布的电场为r3r -r；QJ 5 e()a5b a2由电位的定义，电位为C Oa小，、p3+5b a2()=u 2 d r：r 5qr对于r a小,

45、“3 +5加2O(r)=-；d r d_ /+5力 27 r3 a2+Sh a a2 r4-d r=-+-7a5 4 r r 5 g。5%2-1 5四偶极子电荷与圆球坐标位置为q(,/2,0),一 夕(。,/2,3%/2),求 处 的 电 位。解：(D(r)=-(-+-)4万%叫 R2 R3 R4其中=r-r；%=r2+r f-2 r-r,11/2Ri r l-2 r l-r/r 1/2 r-r-r2 0 4 2 0%a”-02%J z +a式 中a为圆盘半径.对上式做变换,Z=Z-L/2,。，=耳,可上端面上束缚电荷产生的电场为%(z)=L/22血 力/；+JC，同理，做变换,z =z +L

46、 /2,-耳，可下端面上束缚电荷产生的电场为Z +L/2 、-)；z-L/27(z +L/2)2+a2Z +L I2、一，I9=7)，z L/2-,-L/2 z L l2Z+L/2z +L/2)2+a2Z-L/2d (z -L /2)-+4-,z -L/22-21.半径为a的介质球均匀极化，P=P y2,求束缚电荷分布。解：(1)介质中的束缚电荷体密度为“=一 7 户=0(2)介质表面的束缚电荷面密度为p s=n-P=t-rP.=P。c os。2-22.求上题中束缚电荷在球中心产生的电场。解:介质表面的束缚电荷在球心产生的电场在 介 质 球 表 面 取 半 径 为 厂=。011。宽 度 为 凶

47、=。的 环 带，可 看 成 半 径 为r=a sin 0,z =-o co s g,电荷线密度为p(=a P(osOd d的线电荷圆环，例中给出了线电荷圆环的电场，对e积分得石 _ 4 1 s in co s2 3d 0 _ Pi)2 4 J(Q s in e)2+(co s0)23/2 3%题2-22图2-23.无限长的线电荷位于介电常数为 的均匀介质中，线电荷密度q为常数，求介质中的电场强度。解：设无限长的线电荷沿z轴放置，利用高斯定理，容易求得介质中的电场强度为Ep=上 p为场点到线电荷的距离.Inep2-24.半径为a的均匀带电球壳，电荷面密度 为常数，外包一层厚度为d、介电常数为的介

48、质，求介质内外的电场强度。解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为r的球面，采用高斯定理加 次=qS上式左右两边分别为jrr-Dr ps2由此得=巴 白r因为力=京，所以a1 P、,-a r a+aI?_2-25.两同心导体球壳半径分别为a、b,两导体之间介质的介电常数为,内、外导体球壳电位分别为V。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度。解：设内导体带电荷为q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为Er4兀口两导体球壳之间的电压为bjV=frJr =/-(-)J a bV 1所以 Er=-1 1 fab球壳面上的电荷面密度为W 1p、

49、(r=a)=Da(r=a)=E,(r=a)=1 1 aa brV 1P，(r=b)=Dn(r=b)=eEr(r=h)=-a h2-26两同心导体球壳半径分别为a、b,两导体之间有两层介质，介电常数为勺、J，介质界面半径为c,内外导体球壳电位分别为V。求两导体球壳之间的电场和球壳面上的电荷面密度以及介质分界面上的束缚电荷面密度。解：设内导体带电荷为q，由于电荷与介质分布具有球对称性,高斯定理可得，D,=两导体球壳之间的电场为q,ar cE=4松 厂r q,-;c r b47r邑厂两导体球壳之间的电压为b c b 1 1V=Erdr=j/,d r+j 1 dr=()+*4 /*4 2r 4环 a

50、cJ_ =V/1(1 _ 1)+(1 _ 1)4 a c?c bV1 1 ；a r c(-)+(-a c-,c b-c r b L(-)+()r2a c c b2(r=a)=O“(r=&)=,.,(-)+-L(-7)2a c c bPs(r=b)=D“(r=b)=-二(-)+(-)b2a c c b取半径为r的球面，采用J)4 府2 c bp x(r =c)=%(与(r =c+)Er(r =c_)2-27 圆柱形电容器，内外导体半径分别为a、b,两导体之间介质的介电常数为,介质的击穿场强为石/求此电容器的耐压。解：设圆柱形电容器长度为L,内导体电量为q,利用高斯定理，可得Er=2T TTLb,