解析几何教程+(廖华奎王宝富)+课后习题1.pdf

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1、第 一 章 向 量 代 数 习 题 1.11.试 证 向 量 加 法 的 结 合 律，即 对 任 意 向 量 a,Z,c成 立(a+b)+c=a+(b+c).证 明：作 向 量 通=凡 丽=方,丽=。(如 下 图)，则(a+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD,a+(b+c)=AB+(BC+CD)=AB+B b=AD,故(a+b)+c=a+(Z+c).2.设 a,Z,c两 两 不 共 线，试 证 顺 次 将 它 们 的 终 点 与 始 点 相 连 而 成 一 个 三 角 形 的 充 要 条 件 是 Q+6+C=0.证 明：必 要 性，设 a,b,c的 终 点 与 始 点 相 连 而

2、 成 一 个 三 角 形 A 45c,则 a+5+c=M+就+瓦=/+瓦=右=0.充 分 性，作 向 量 瓦=4,胫=加 丽=。，由 于 0=。+/+，=彳 万+及+丽=/+丽=而，所 以 点 4 与 0 重 合，即 三 向 量 a,b,c的 终 点 与 始 点 相 连 构 成 一 个 三 角 形。3.试 证 三 角 形 的 三 中 线 可 以 构 成 一 个 三 角 形。证 明：设 三 角 形 A 4 3 C 三 边 A 3,5 C,C 4的 中 点 分 别 是(如 下 图)，并 且 记 a=AB,b=B C,c=CA,则 根 据 书 中 例 1.1.1,三 条 中 线 表 示 的 向 量

3、分 别 是 CD=-(c-b),A E=-(a-c),B F=-(b-a),2 2 2所 以，CD+AE+BF=-(c-b)+-(a-c)+-(b-a)=O 故 由 上 题 结 论 得 三 角 形 2 2 2的 三 中 线。,4 后,3 厂 可 以 构 成 一 个 三 角 形。4.用 向 量 法 证 明 梯 形 两 腰 中 点 连 线 平 行 于 上、下 底 且 等 于 它 们 长 度 和 的 一 半。证 明：如 下.图，梯 形 A 3C D两 腰 中 点 分 别 为,记 向 量 通=a,方=，则 而=而 向 量 D C 与 A B共 线 且 同 向，所 以 存 在 实 数 2 0,使 得 丽

4、=4 瓶.现 在 丽=b+a,所=-6+痴，由 于 E 是 的 中 点，所 以 丽=!(而+无)=3+4+；1 4-6)=9(1+；1=1_(1+；|1)荏.且 2 2 2 2冏 二(1+网 二(网+之 画)=；(网+|D C|).故 梯 形 两 腰 中 点 连 线 平 行 于 上、下 底 且 等 于 它 们 长 度 和 的 一 半。5.试 证 命 题 1.1.2o证 明：必 要 性，设 a,A c共 面，如 果 其 中 有 两 个 是 共 线 的，比 如 是 6,则 a,b线 性 相 关，从 而 a,/,c线 性 相 关。现 在 设。，儿 c 两 两 不 共 线，则 向 量 c 可 以 在

5、两 个 向 量 Q,5上 的 进 行 分 解，即 作 以 c 为 对 角 线，邻 边 平 行 于 a,5 的 平 行 四 边 形，则 存 在 实 数；I,”使 得 c=Aa+b,因 而 明 加 c 线 性 相 关。充 分 性,设 Q,九 c 线 性 相 关,则 存 在 不 全 为 零 的 数 无 使 得 占 a+右 方+43c=0。不 妨 设 右，则 向 量 c 可 以 表 示 为 向 量 a,6 的 线 性 组 合，因 此 由 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 知 道 向 量 c 平 行 于 由 向 量 a,决 定 的 平 面，故 a,ZJ,c共 面。6.设 A,5,C 是 不

6、 共 线 的 三 点，它 们 决 定 一 平 面 口，则 点 P 在 口 上 的 充 要 条 件 是 存 在 唯 一 的 数 组(九,力 使 得 OP=AOA+nOB+vOC,A,+ju+v=1,其 中，。是 任 意 一 点。P 在 A 4 5 C内 的 充 要 条 件 是(*)与;12 0,2 0比 2 0 同 时 成 立。证 明：必 要 性，作 如 下 示 意 图，连 接 4 P 并 延 长 交 直 线 6 C 于 R。则 由 三 点 5,R,C 共 线，存 在 唯 一 的 数 组 A”七 使 得 丽=叫 丽+心 反，并 且 占+七=1。由 三 点 A,P,R共 线，存 在 唯 的 数 组

7、/2 使 得 而=4函+4。斤，并 且 Z,+Z,=1 o 于 是 OP=l.OA+l2OR=l.OA+l2k.OB+l2k2OC,设=4，=l2kvv=12k2,由 kl9k2,li9l2 的 唯 一 性 知 道(2,/z,y)的 唯 一 性，则 OP=AOA+juOB+vOC9 且 P+i=4+12kl+l2k2=1。充 分 性，由 已 知 条 件 有 OP=W A+ROB+vOC=W A+juOB+(1-2-)OC=A(OA-OC)+O B-O C)+OC=ACA+pCB+OC,得 到 CP=ACA+*B，因 而 向 量 方，而，而 共 面，即 P 在 A,B,C决 定 的 平 面 上。

8、如 果 P 在 A 4 5 c内，则 P 在 线 段 A R内，R 在 线 段 5 c 内，于 是 0 V 1，则 04 4,/z,v 4 1。女 睬（*）成 立 且 0 1,贝 忖 方=4 瓦+丽，这 说 明 点 尸 在 角 N A C 3内。同 样 可 得 到 衣=彳*+这 说 明 点 P 在 角 N 8 A C内。故 尸 在 A 4 5 C内。7.在 A 4B C中，点。,E 分 别 在 边 3 C 与 CA上，且 5D=g3C,C E=；C 4,4 D 与 B E交 于 R,试 证 RD=-A D,R E=-B E.7 7证 明：作 如 下 示 意 图，由 三 点 5,R,E 共 线，

9、存 在 人 使 得 丽=4而+(1-A)丽，由 三 点 A,R,。共 线，存 在/使 得 CR=lCA+(l-l)C D,由 于 BD=BC,CE=C A,有.2.1.一 一 1 一 一 2 一。=。5,。后=3。4,因 而 以 二。8+(1 4)。4=ICA+-(1-1)C B o 由 于-.2 1 4 1向 量 C4,C笈 不 共 线，所 以 A=g(l-/)J=g(l-A),解 此 方 程 组 得 A=,/=,。山 4-3 此 得 CR=C3+CE,7 7,4 3 4 4 ER=CR-CE=-C B+-C E-C E=(C B-C E)=-E B。7 7 7 7 1 1 4同 理 得 到

10、。R=4。故 得 RD=A3,KE=7 7 78.用 向 量 法 证 明 A 45C的 三 条 中 线 交 于 一 点 P,并 且 对 任 意 一 点 0 有 OP=(OA+OB+OC).证 明：设 O,E/分 别 是 边 4B,3C,C A的 中 点，则 A E,3/交 于 一 点 P,连 接 CP,CD o 由 A,P,E三 点 共 线，存 在 无 使 而=无 丽+(1-幻 而=,4 瓦+(1-4)而，2由 5,P,/三 点 共 线，存 在/使 丽=/酝+(1-1)刀=1/而+(1-1)而，于 是 得 21 1 2 1 1-k=l-l,-l=l-k,解 得 k=l=。从 而 有 CP=-C

11、 B+-C A,然 而 2 2 3 3 3丽=无+4 瓦，故 而=2 而，即 C,P,O三 点 共 线，AA3C的 三 条 中 线 交 于 一 点 2 2 3P O任 取 一 点 0,由 而=；而+：而，得 到 而 一 沆;=；(万 一 近)+；(西 一 说)，于 是 丽=(西+砺+说).39.用 向 量 法 证 明 四 面 体 ABC。的 对 棱 中 点 连 线 交 于 一 点 尸，且 对 任 意 一 点。有 OP=(OA+OB+OC+OD).证 明：设 四 面 体 A3CO的 棱 A3,AC,4。的 中 点 分 别 是 B,C,0,棱 BC,CD,OB的 中 点 分 别 是 E/,G,如

12、下 图。！)对 棱 中 点 连 线 为 BF,CG,OE。A,CC则 容 易 知 道 乐=,砺=万 匕，C D=-C D=E G,因 此 四 边 形 CDGE是 平 行 2 2四 边 形，CG,DE相 交 且 交 点 是 各 线 段 的 中 点。同 理 BF,CG也 相 交 于 各 线 段 的 中 点，故 5P,CG,OE 交 于 一 点 P。由 以 上 结 论 知 道，对 任 意 一 点 0,由 P 是 O E的 中 点，有 OP=-(O Di+OE)=-(-O A+-O D+-O C+-O B),2 2 2 2 2 2即 而(而+砺+反+而).1 0.设 4(i=l,2,是 正 边 形 的

13、 顶 点，0 是 它 的 中 心，试 证 为 西=0.证 明：设。=之 西，将 正 边 形 绕 着 中 心 旋 转 冬。一 方 面 向 量。绕 点 0 旋 转 了 角 度 加 然 而 得 到 一 个 新 的 向 量 一;另 一 方 面，正 边 形 绕 着 中 心 旋 转,后 与 原 正 边 形 重 合，因 而 向 量。没 有 变 化。方 向 不 同 的 向 量 要 相 等 只 能 是 零 向 量，故 证 法 2：由 于 A(i=是 正 边 形 的 顶 点，0 是 它 的 中 心，所 以 网+可 二=4两 二(i=l,2,，)，其 中 4”+1=4,4“+2=42。由 三 角 不 等 式 得 到

14、|河+西 1=阿 丽 口|河|+|西 口=2|西(，=1,2,)，故 有 四 2。所 以 力(西+西 二)=2次 西 西，由 于|6 2,所 以 数=0.1 1.试 证：三 点 A,5,C共 线 的 充 要 条 件 是 存 在 不 全 为 零 的 实 数 4,力 使 得AOA+fiOB+vOC=0 且+v=0其 中，。是 任 意 取 定 的 一 点。证 明：必 要 性，如 果 三 点 A,3,C 中 至 少 有 两 点 重 合，比 如 4,3 重 合，则 西 一 3 5=0,所 以 结 论 成 立。如 果 A,8,C互 不 重 合，由 例 1.1.1知 道 三 点 A,5,C共 线 的 充 要

15、 条 件 是 存 在 数 左 使 得 AOA+(1=0,令 4=%,=1一%/=一 1,则 九 并 不 全 为 零，有 AOA+nOB+vOC=0,4+v=M+(l-A)-1=0。充 分 性，设；I函+0万+v反=0且 丸+4+=0,则 4厉+/丽 一(丸+)反=0,A(O A-dC)+(O B-dC)=ACA+juCB=0,由 于 心,v 不 全 为 零，以 及 点。的 任 意 性，可 知;不 全 为 零，否 则 也 为 零。所 以 不 妨 设 2*0,则 西=一 丸 7 而，因 而 三 点 4,3,C共 线。习 题 1.21.给 定 直 角 坐 标 系，设 尸(x,y,z)，求 P 分 别

16、 关 于 xOy平 面，x 轴 与 原 点 的 对 称 点 的 坐 标。解：在 直 角 坐 标 系 下，点 P(x,y,z)关 于 xOy平 面，x 轴 与 原 点 的 对 称 点 的 坐 标 分 别 是 2.设 平 行 四 边 形 A 3 C 0的 对 角 线 交 于 点 P,设 丽=,丽，丽=1西.在 仿 射 标 5 6架 卜;而，而 下，求 点 P,M,N 的 坐 标 以 及 向 量 丽 的 坐 标。解：作 如 下 示 意 图，因 为?是。3 中 点，所 以/=,彳 石+!而.2 2A M=D M+A D-D B+A D=-A B-A D+A-A B+-A D.A2V=|A C=(A B

17、+而).故 在 仿 射 标 架 A;砾 砌 下 点 P,M,N 的 坐 标 分 别 为 品 德 3(泠 MN=MD+I)C+CN=-B D+A B-A C5 6=-(A D-A B)+A B-(AB+A b)=AB+ADt5 6 30 30所 以 向 量 汨 在 仿 射 标 架 A;彳 瓦 同 下 的 坐 标 为 啥，手.3.设=(1,5,2),)=(0,3,4),c=(-2,3,-1),求 下 列 向 量 的 坐 标:(1)2d+c；(2)3a+2b+4 c。解(1)C+c=2(1,5,2)(0,3,4)+(2,3,1)=(0,16,1).(2)3d+2b+4c 3(1,5,2)+2(0,3

18、,4)4-4(2,3,1)(11,9,2).4.判 断 下 列 各 组 的 三 个 向 量。，儿 c 是 否 共 面？能 否 将 c 表 示 成。，力 的 线 性 组 合？若 能 表 示，则 写 出 表 示 式。(1)a=(5,2,1),*=(-1,4,2),c=(-1,-1,5);(2)a=(6,4，%=(-9,6,3),c=(3,6,3);(3)a=(1,2,-3),6=(2,4,6),c=(1,0,5).解：(1)设&+电 5+A3c=0,即 占(5,2,1)+42(-1,4,2)+&3(-1,-1,5)=0,则 有 5Al 一 七 一 仁 二 0，2匕+4 一 勺=，该 方 程 组 只

19、 有 零 解 占=七=%=，所 以 三 向 量 不 共 面。k+2k 2+5k 3=0.(2)设 占。+段 力+/。=0,即 41(6,4,2)+42(-9,6,3)+=(-3,6,3)=0,则 有6k 9k2-3k3=0,4占+6+6 4 3=0,该 方 程 组 等 价 于 23+3k 2+3k3=0.2ki 3kz k3=0,2kl+3k2 4-3k3=0.由 此 得 到 尤=一,七,七=一 2 4 3,只 要 不 为 零，占,心 就 不 为 零，所 以 三 向 量 共 面。取 以=1，则 占=一 3，&=一|,所 以，=；4+1),即 C可 表 示 成 的 线 性 组 合。(3)设 ki

20、a+k2b+kic=0,即 kx(1,2,-3)+k2(-2,-4,6)+k3(1,0,5)=0,则 有 k 2k2+%=,-2 k 0 2 4e=0,该 方 程 组 等 价 于，:二。2 一 方 程 组 有 非 零 解(2,1,0),所 以 3k+6k2+5k3-0.1，三 向 量 共 面。由 于 心 只 能 为 零，故 C不 能 表 示 成 4,6的 线 性 组 合。5.在 A4BC中，设 O,E是 边 8 C 的 三 等 分 点，试 用 而 和 衣 表 出 而 与 亚。6.设 在 一 平 面 II上 取 一 个 仿 射 标 架。;修,02,口 上 三 点 4.(七,必)/=1,2,3,共

21、 线 当 再 必 1且 仅 当 x2 y2 1=0.x3 y3 1证 明：三 点 乃.(a,必)=1,2,3,共 线 当 且 仅 当 月 月 而，即 上 二 三=上&.展 与 一 占 K f开 得 xty2+x2y3+x3yt-x,j3-x3y2-x2yt=0.修 弘 1X2 y2 1=0 展 开 行 列 式 得 了 1%+*2%+3必 _*1%_*3了 2_*2必=,故 命 题 成 了 3 8 1立。7.在 A 48C中，设 P,Q,R分 别 是 直 线 AB,3C,CA上 的 点，并 且 AP=APB,BQ=juQC,CR=vRA.证 明 P,Q,R 共 线 当 且 仅 当=-1.证 明：

22、作 如 下 示 意 图，Q由 于 P,。,/?分 别 是 直 线 A 3/C,C A 上 的 定 比 分 点，所 以；1。一 1,。建 仿 _ _ _ _ _ _ 1射 标 架 4 彳 瓦/,由 于 AP=APB=A(A B-A P),衣=4而=帝；丽；AR=AC-R C=AC-v A R,AR=AC；1+vBQ=HQC=BC+CQ,QC=-B C,l+AQ=AC+CQ=AC+CB=AC+-（A B-A C）=-AB+-A C。l+1+M l+l+所 以 尸,Q,R在 仿 射 标 架 A;N反 右 斗 下 的 坐 标 分 别 为 P（-，。卜 以 一 1,4-）,R（0,一）。根 据 上 题

23、的 结 论，P,Q,K共 线 当 且 仅 当 1+2 1+1+1+v 0 1-1=0.展 开 行 列 式 即 得 到 沏 v=-1.1+1l+v9.试 证 命 题 1.2,1o证 明：取 定 标 架。；6,02，。3，设 向 量，。2，。3），=（”】，2，3）21+411+0(1)a+b=(a/i+a2e2+a3e3)+(biel+b2e2 4-b3e3)=(%+4)力+(4 4-b2)e2+(a3+b3)e3=(%+ba2+%，/+%)(2)a-b=(a1e1+a2e2+a3e3)-(b1e1+b2e2+b3e3)=3 i-bi)ei+(a2-b2)e2+(a3-b3)e3=(%一 仇，勺

24、 一 2，4 一。3)(3)Aa=+a2e2+3e3)=4%/+Aa2e2+/ki33=(4%,U i2，/kz3)。习 题 1.31.设+8+c=0,同=3,同=ljc|=4,求 Q+c+c a。解：由 a+b+c=0,同=3,同=ljc|=4,得 d=(a+b+c)(a+)+c)=|a+时+,+2 3 b+b c+c a)=9+1+16+2(a b+b c+c a),所 以。b+b c+c a=-13.2.已 知 同=3,0=2,4,切=%,求(3a+2b)(2a-5 6)。6解：(3a+2b)(2-5Z)=6|2-10|Z|2-l l a b=5 4-4 0-1 1 2 3 c o s-

25、=1 4-3 3 7 3.63.已 知 a+3)与 7 a-5 8 垂 直，a 4 b与 7a 2力 垂 直，求 N(a,)。解：因 为。+3Zr与 7a 5办 垂 直，a 48 与 7 一 2万 垂 直，所 以(a+3)(7。-5)=7同 i s 时+1痴=o,(a-4 b)(7 a-2 b)=7|a+8时 一 3 0 b=0得 到 同 2=时=2a，于 是 cosN(a,b)=故 N(a,A)=g.4.证 明：对 任 意 向 量 a,b都 有|a+Z|2+|-Z|2=2同 2+2时.当。与 不 共 线 时，说 明 此 等 式 的 几 何 意 义。证 明：|a+Z+|a-Z|=(a+b)(a

26、+b)+(a-b)(a b)=|a|+|Z|+2a b+|a|+时-2 a b=2同+2时.当 a 与 分 不 共 线 时，此 等 式 的 几 何 意 义 是 以 a 与 5 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 两 条 对 角 线 的 平 方 和 等 于 四 边 的 平 方 和。5.下 列 等 式 是 否 正 确？说 明 理 由（习 惯 上 把 a a 记 为 2）o(1)|a|a=a2;(2)a(b b)=ab2;(3)a(a b)=a2b;(4)(a b)2=a2b2;(5)(a b)c=a(b c);(6)c a=c byc 0=a=b.解(1)错 误，因 为 左 边 表 示 向 量

27、，右 边 是 数。(2)正 确，因 为 b=从。(3)错 误，因 为 左 边 向 量 方)与。共 线，而 右 边 向 量。2 与 力 共 线。(4)错 误，因 为 3 力)2=a252 cosN3,)Ha2b2 0(5)错 误，因 为 左 边 向 量(a)c与 c 共 线，而 右 边 向 量 a S c)与 a 共 线。(6)错 误，因 为 c a=c/0=c(a)=0=c 与。一 方 垂 直。6.证 明：三 角 形 的 垂 直 平 分 线 交 于 一 点，且 交 点 到 三 顶 点 的 距 离 相 等。证 明：设 三 角 形 A 4 B C 的 两 条 边 的 垂 直 平 分 线 交 于 一

28、 点 O,D,E,F 为 A 5,6 C,C A 边 的 中 点，以。为 始 点，为 4&C,O,尸 终 点 的 向 量 记 为。，6 c,d,e,/。1 1 1 则 d=(a+b),e=(b+c)9f=(c+a)f A B=b-a9B C=c-b9C A=a-c.2 2 2由 于 OZ),OE是 A b,S C 的 垂 直 平 分 线，所 以 A B d=-(b2-a2)=0,B C e=-(c2-b2)=0,a2=c2=b2,由 此 得 到 2 2CA/=(/。2)=0,说 明。尸 是 C A 的 垂 直 平 分 线，即 三 角 形 的 垂 直 平 分 线 交 于 一 点,2且 交 点 到

29、 三 顶 点 的 距 离 相 等。7.证 明：设，儿 c 不 共 面，如 果 向 量，满 足 r a=0,r b=,r c=0,则 r=00证 明：因 为。，。不 共 面，所 以 可 设 厂=xa+y+zc。则 r r=r(x a-yb+zc)=x m+c=0,故 r=0。8.用 几 何 方 法 证 明：若 a”?，。血 也，也;，。都 是 实 数，则 有+；+c；+J a；+；+c；+：+c；之+0 2+。)2+S+2+，)2+(C+Q+C)2 等 号 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 4:4:q=。2：2：。2=%：c 且%，?，也 也，也;,c“分 别 同 号。证 明：设 在 直

30、角 坐 标 系 下，向 量%=3”4,9)#=1,2,.则 由 三 角 不 等 式 得 兄+以+,|4|4|+|。2|+|，并 且 等 号 成 立 的 条 件 是 向 量 a,=(a”4，c j,i=l,2,，”同 向，将 坐 标 代 入 就 有 击：+鬣+可+网+用+婿+M+b：+c：N+&H-1a,y+(4+2 4-卜 b)+(q+q H-lC“)2.等 号 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是:Z,:c.=,:Z,:o证 明：由 于 优 表 示 向 量 a 在 与 向 量。0垂 直 的 平 面 上 的 投 影(如 下 图)，则 由 a,6 构 成 的 平 行 四 边 形 的 面 积 与

31、 这,方 构 成 的 矩 形 的 面 积 相 等，a x 仇 a x b 的 方 向 相 同，因 而,a x b=a x b。2.证 明：(a x b)2=a2b2-(a b)2.证 明：(a x b)2=a2b2sin2Z(a,b),a2b2-(a b)2=a2b2-a2b2 co Z(a,b)=a2b2 sin2 Z(a,b),故(a x l)2=a2b2-(a b)2。3.证 明：若 a x b=c x d,a x c=b x d,则 a-d 与 b-c 共 线。证 明：(a-d)x(b-c)=a x b-a x c-d x b+d x c=a x b-c x d-a x c+b x d

32、=0,故 a-d 与。-c 共 线。4.证 明：3-b)x(a+b)=2mx/),并 说 明 其 几 何 意 义。证 明：(a-Z)x(a+5)=a x a+a x)-Z x a-A x A=O+a x)+a x b-O=2(axb).以 a,b 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 对 角 线 构 成 的 平 行 四 边 形 的 面 积 等 于 a,b 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积 的 2 倍。5.在 直 角 坐 标 系 中，已 知。=(2,3,1),6=(1,一 2,3),求 与 a仍 都 垂 直,且 满 足 如 下 条 件 之 一 的 向 量 c：(1)c 为 单 位

33、 向 量；(2)c d=1 0,其 中)4 4 4=(4 a2b2-(a2-b2-c2)2)=(2ab-a2+b2-c2)(2 a b-a2-b2+c2)=(a+b)2-c2)(c2-(a-b)2)=(a+b-i-c)(a-i-b-c)(c+a-b)(c-a-i-b)16 16=p(p-a)(p-b)(p-c).7.证 明 Jacobi 恒 等 式 ax(bxc)+Zx(cxa)+cx(axb)=O。证 明：由 双 重 外 积 公 式 ax(bxc)+bx(cxa)+cx(axb)=(a c)b(a b)c+(b a)c(b c)a+(c b)a(c a)b=0 8.设。，0,0尸=x,求 满

34、 足 方 程。xx=b 的 点 P 的 轨 迹。解：由 外 积 的 定 义 及 外 积 模 的 几 何 意 义，点 尸 的 轨 迹 在 与 方 垂 直 的 平 面 上，且 与 过 点 Ob7平 行 于。的 直 线 的 距 离 为 的 直 线，而 且 a,X/保 持 右 手 系。习 题 1.51.证 明：(ax力)c=(xc)a=(cxa)。证 明：如 果 a,8 c 共 面，贝 ll(axZ)c=(Axe)a=(cX”)办=0。如 果 a,心 c 不 共 面，贝”(。二 6)c=|(ftxc)a=(cxa)b,c,0,c,a,c,a,b符 合 相 同 的 右 手 或 左 手 规 则，因 而(a

35、xA)c,(Axc)a,(cxa)力 有 相 同 的 符 号，故(ax)c=(5xc)a=(cxa)。2.证 明：a,b,c不 共 面 当 且 仅 当 ax，力 xc,cxa不 共 面。证 明：S(x&)x(Zxc)(cxti)=(axb)cb-(axb)bc(cxa)=(axb)c6(cxa)=(axb)cb(cxa)=(axb)c2,所 以(ax力)c=0=(axZ)x(6xc)(cxa)=0 0故 a,A,c不 共 面 当 且 仅 当 ax仇 xc,cxa不 共 面。3.在 右 手 直 角 坐 标 系 中，一 个 四 面 体 的 顶 点 为 4(1,2,0),8(1,3,4),C(-l,

36、-2-3),D(0-1,3),求 它 的 体 积。解：因 为-2 1 4(AB,AC,AD)=-2-4-3=59,-1-3 3所 以 四 面 体 A 5 C D 的 体 积 匕 g=函 记 砌|=g.4.证 明 Lagrange恒 等 式 a c a d(axb)(cxj)=。b c b a证 明：(axb)(cxd)=a bx(cxd)=a(b d)c(b c)da c a d=(a c)(b d)-(a d)(b c)=。b c b a5.证 明：(+仇 力+c,c+a)=2(a,仇 c)o证 明：因 为+e)=(axb)(d+e)=(xb)d+(axb)e=(a,b,d)+(a,b,e)

37、，所 以(a+A,5+c,c+a)=(a+仇+c,c)+(a+A,5+c,a)=(a+,8,c)+(a+8,c，c)+(a,Z+c,a)+S,+c,a)=(。+力,仇 c)+(d 6+C,G)=(a,b,c)+(b,b,c)+(b,b,a)+(b,c,a)=2(a,b9c)o6.证 明：(a 也 c x d)+(A,c,a x d)+(c,a,力 x d)=0。证 明：左 边=(a x办)xc d+(bxc)xa d+(cxa)xb d=(a c)b-(b c)a+(a)c-(c a)A+(c b)a-(a)c d=0 d=0=右 边。7.证 明：对 任 意 四 个 向 量 a,b,c,d 有

38、(b9c9d)a+(c9a9d)b+(a9b9d)c+(b9a9c)d=0。证 明：因 为 伯,c,d)a+(，a,c)d=(b9c9d)a+(c9b9a)d=(Axc)da-(cxb)a)d=(6xc)d a-(b x c)a)d=(b x c)x(a x d),同 理(c9a9d)b+(a9b9d)c=(a,d,c)b+(d,a,b)c=(a,d,c)b(a,d,b)c=(a x d)x(b x c)所 以 S,c,d)a+(c,a,d池+(a，d)c+S，a,c)d=(b x c)x(a x d)+(a x d)x(b x c)=Q o8.证 明：若 Q 与 万 不 共 线，贝 ija

39、x(a x)与 办 x(a x)不 共 线。证 明：因 为 Q与 不 共 线，所 以 a x 工 0.由 于。乂(。乂 力)乂)(。乂 力)=。*(4 乂 万)(。*力)/一。乂(。又)b(axb)=-ax(axB)b(axb)=(axb)xa b(axb)=(axb)(axb)(a xb)=(a x b)2(a x b)Q,因 而 x(a x)与。x(a x力)不 共 线。9.1 知 a,尸 都 是 非 零 实 数，向 量 明 的 混 合 积(a/,c)=，如 果 向 量，满 足 r a-a y r b=c=0,求 此 向 量 r。解：山 条 件 得 到 r(小 z-a)=0,而 且 r c

40、=0,因 此 可 设 r=夕 a-aZ)xc,现 在 两 边 分 别 与。作 内 积，则 有 a=r a-X a(/3a-a h)xc=-a 2(a,6,c)=-a a p X,一 1 4/1,1、A-,故 r=(b-)xc oa ft p a10.设 e”e2，e3不 共 血，证 明：任 一 向 量 a 可 以 表 示 成=-(a,e2,e3)e,+(a,e3,e1)e2+(a,e,e2)e3)0(，1，。2，3)证 明：因 为。述 2，03不 共 面，所 以 任 一 向 量。可 以 表 示 成 两 边 分 别 与 向 量 62乂？3*3*1 乂 62作 内 积，得 到(a,e2,e3)=x

41、(e1,e2,e3),(d,eJ,e,)=j(e1,e2,e3),(a,e1,e2)=z(e1,e2,e3)因 而 a=(4,6 2,6 3)e1+(4,63,6)2+(a,e，e,)3)(e,e2,e3)11.设 Q,c 不 共 面，设 向 量 r 满 足 r a=a,r=,r c=y,那 么 有 r=-(abxc+J3cxa+y a x b)。(a,b,c)证 明：因 为 a,仇 c 不 共 面，所 以 a x 0,5 x c,c x a不 共 面，从 而 可 设 r=x(bxc)+y(cxa)+z(a x b),两 边 分 别 与 a,b,c作 内 积，则 有 a=a r=xa(bxc)

42、,J3=b r=yb(c xa),y=c r=zc(a x b),于 是 r=-(abxc+J3cxa+y a x b)。(a,b,c)第 二 章 直 线 与 平 面 习 题 2.11.求 通 过 两 点 4(2,3,4)和 3(5,2,-1)的 直 线 方 程。解：直 线 的 方 向 向 量 为 AB=(3下 1,一 5),所 以 直 线 的 方 程 为 二=匕 上 3 1 52.在 给 定 的 仿 射 坐 标 系 中，求 下 列 平 面 的 普 通 方 程 和 参 数 方 程。过 点(一 1,2,0),(-2,-1,4),(3,1,-5)；(2)过 点(3,1-2)和 z轴;(3)过 点(

43、2,0,-1)和(一 1,3,4),平 行 于 y 轴;(4)过 点(一 1,一 5,4),平 行 于 平 面 3x 2y+5=0。解(1)平 面 的 方 位 向 量 为 匕=(1,一 3 4),匕=(4 丁 1,5),所 以 平 面 的 参 数 方 程 x=-1-A+4/,j=2-3 2-/,z=4 2-5/.平 面 的 普 通 方 程 为x+1 y-2 Z-1-3 4=0,即 19x+lly+13z-3=0.4-1-5(2)平 面 的 方 位 向 量 为 匕=(3,1,-2),匕=(0,0,1)，所 以 平 面 的 参 数 方 程 x=3+32,j=l+2,因 为 过 z轴，所 以 也 可

44、 选 经 过 的 点 为(0,0,0)，那 么 参 数 方 程 也 可 以 z=-2-24+.x=34,写 为 j=2,z=-22+平 面 的 普 通 方 程 为 x y z3 1 一 2=0,即 x-3 y=0.0 0 1(3)平 面 的 方 位 向 量 为 匕=(3,3,5),Z=(0/,0)，所 以 平 面 的 参 数 方 程 x=2 3A,j=32+/,z=1+52.平 面 的 普 通 方 程 为 x-2 y z+1-3 3 5=0,即 5x+3 z-7=0.0 1 0(4)平 面 的 方 位 向 量 平 行 于 平 面 3 x-2 y+5=0,方 位 向 量(X,V,Z)满 足 3X

45、-2K=0,因 此 可 以 选 为 匕=(2,3,0),%=(0,0,1)。所 以 平 面 的 参 数 方 程 x=-l+22,-y=5+3A,z=4+4.平 面 的 普 通 方 程 为 x+1 j+5 z-42 3 0=0,即 3 x-2 y-7=0.0 0 13.在 直 角 坐 标 系 中，求 通 过 点(1,0,-2)并 与 平 面 II|:2x+j-z-2=0和 Il2：x-y-z-3=0均 垂 直 的 平 面 方 程。解：平 面 口”口 2的 法 向 量 分 别 是 O=(2,T),%=(1，T，T)，所 求 平 面 与 口”口 2均 垂 直，所 以 它 的 法 向 量 与 均 垂

46、直，因 此=(2,1,-1)x(1,-1,-1)=(-2,1,-3),平 面 的 方 程 为 2(x 1)+y-3(z+2)=0,即 2x-y+3z+6=0.4.在 直 角 坐 标 系 中，求 经 过 点 A/,(3,-l,4),M2(l,0,-3),垂 直 于 平 面 2x+5y+z+l=0 的 平 面 方 程。解：设 平 面 的 法 向 量 为，则 它 与 而 I 垂 直，它 又 与 平 面 2x+5y+z+l=0 的 法 向 量(2,5,1)，故=(-2,1,-7)x(2,5,1)=12(3,-1,一 1).所 以 所 求 平 面 的 方 程 为 3(x-3)-(y+l)-Q-4)=0,

47、即 3x-j-z-6=0.5.在 直 角 坐 标 系 中，设 平 面 口 的 方 程 为 Ax+By+Cz+O=0,其 中 A B C D w O。设 此 平 面 与 三 坐 标 轴 分 别 交 于，求 三 角 形 1，2，3的 面 积 和 四 面 体 OM|2 3的 体 积。解：由 于 A 6 C 0 W O,所 以 平 面 的 三 个 截 距 分 别 为 一 2,-2,-2。因 此 四 面 体 A B C八 人，1 D D D 1 I D|3O M1M2M3 的 体 积 为 丫=()()()=；-r.2 3 6 A 5 C 6 ABC三 角 形 M，%,%的 面 积 5=3%旭 炉 监 闯

48、,2而 M.M2 x Af.Af,=,0)x(,0,)=D2(，-),1 2 1 J A B A C BC CA AB所 以 S=D2 y/A2+B2+C22 ABC6.设 平 面 n：Ax+砌+Cz+D=O与 连 接 两 点 和 知 2(吃,力 衣 2)的 线 段 相 交 于 点 M,且,证 明 卜 _ Axt+Byx+Czt+DAX2+By2+Cz2+D证 明：因 为“而=左 说，所 以 由 定 比 分 点 的 坐 标 公 式 得 到 点 M 的 坐 标 x=&上 生/=红 也，将 它 们 代 入 平 面 方 程 中 得 1+k 1+k l+kAX 1+k X+By i+k y 2+CZ

49、1+k z+D=0,整 理 即 得 1+k 1+k 1+kk _ Ax,+Byx+C Z+DAX2+By2+Cz2+D习 题 2.21.求 经 过 点(-2,1,3),并 且 通 过 两 平 面 2x-7y+4z-3=0与 3x-5y+4z+1=Q的 交 线 的 平 面 方 程。解：经 过 交 线 的 平 面 束 方 程 为 4(2x-7y+4z-3)+4(3x-5y+4z+l)=1)，其 中 4，4 不 全 为 零。所 求 平 面 经 过 点(-2,1,3),将 它 代 入 上 式 得 到 4-6%=0,可 以 取 4=6,%=1，因 此 平 面 的 方 程 为 15x-47y+28z-7=

50、0.2.判 断 下 列 各 对 平 面 的 相 关 位 置。(1)x 2y+z-2=0与 3x+y 2z 1=0；(2)3x+9y-6z+2=0 与 2x+6y-4z+g=0；Y 7(3)x+2y-z-l=0与 b y-F2=0。2 2解(1)平 面 的 法 向 量 分 别 是(1,一 2,1),(3,1,2),它 们 不 共 线，所 以 两 平 面 相 交。(2)两 平 面 的 系 数 之 比 的 关 系 为 W=?=f=,所 以 两 平 面 重 合。2 6-4 43(3)第 二 个 平 面 的 方 程 化 为 x+2y z+4=0,所 以 两 平 面 的 系 数 之 比 的 关 系 为-=