2017年北京市中考数学考试试卷.pdf

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1、2017年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3 分）1.如图所示，点 P 到直线I 的距离是（）A.线段PA的 长 度 B.线段PB的 长 度 C,线段PC的长度D.线段PD的长度X2.若代数式有意义，则实数x 的取值范围是（）X-4A.x=0 B.x=4 C.xWO D.xW4 _3.如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）A.三棱柱 B.圆锥 C.四棱柱 D.圆柱4.实数a,b,c,d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）g -1 -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5A.a-4 B.bd0 C.a|d|D.b+c05.下列图形中，是轴对称图形但不是中心

2、对称图形的是（）A.6 B.12 C.16 D.184 a27.如果a2+2a-l=0,那么代数式（a）的值是（）a a-2A.-3B.-1C.1 D.38.下面的统计图反映了我国与 一带一路 沿线部分地区的贸易情况.2011-2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图一一东南亚地区.东欧地区（以上数据摘自 一带一路 贸易合作大数据报告（2017）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A.与 2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长B.2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C.2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元

3、D.2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3 倍还多9.小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4 X 5 0米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图2所示.下列叙述正确的是（）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程D.小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次1 0.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.砾 次 畋下面有三个推断：当投掷次数是500时，计算机记录 钉尖向上”的次数是3 0 8,所以“钉尖

4、向上的概率是0.616；随着试验次数的增加，钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计 钉尖向上”的概率是0.618；若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，钉尖向上”的频率一定是0.620.其中合理的是（）A.B.C.D.二、填空题（本题共18分，每题3 分）11.写出一个比3 大且比4 小的无理数：.12.某活动小组购买了 4 个篮球和5 个足球，一共花费了 435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可 列 方 程 组 为.13.如图，在ABC中，M、N 分别为AC,BC的中

5、点.若SA C M N=1，贝 U S 四 边 形A B N M=CB14 .如图，A B为。的直径，C、D为。上的点，AD=CD.若/C A B=4 0。,则 N C A D=15 .如图，在平面直角坐标系x O y中，AAOB可以看作是 OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由4OCD得到a AOB的过程：.J.Q L一16 .（3分）下面是“作已知直角三角形的外接圆 的尺规作图过程已知：R t A A B C,ZC=9 0,求作R t A B C的外接圆.作法：如图2.1（1）分别以点A和点B为圆心，大于 A B的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点；（2）作直线

6、P Q,交A B于点0；（3）以。为圆心，0A为半径作00.。即为所求作的圆.请回答：该尺规作图的依据是三、解答题（本题共72分，第1 7题-26题，每小题5分，第2 7题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,17.（5 分）计算：4cos30+（1-V2）-V 12+I-2|.18.（5分）解不等式组:(2(%+1)5%-7怛2 2%19.(5 分)如图，在ABC 中，AB=AC,ZA=36,BD 平分NABC 交 AC 于点 D.求证：AD=BC.BC20.（5分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的 从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边

7、的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补 原理复原了 海岛算经九题古证.（以上材料来源于 古证复原的原理、吴文俊与中国数学和 古代世界数学泰斗刘徽）请根据该图完成这个推论的证明过程.证明：S 矩形 NFGD=SAAD C -（SAANF+SAFGC），S 矩形 EBMF=SAAB C -（+）易 知,SAADC=SAABC =，=可 得S 矩形NFGD=S矩形EBM F21.（5 分）关于 x 的一元二次方程 X?-（k+3）x+2k+2=0.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1,求k的取值范围.22.(5 分)如图，在四边形

8、ABCD中，BD为一条对角线，ADBC,AD=2BC,ZABD=90,E 为AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接A C,若 AC平分NBAD,BC=1,求AC的长.k23.(5 分)如图，在平面直角坐标系xO y中，函数y=-(x 0)的图象与直线Xy=x-2 交于点 A(3,m).(1)求 k、m 的值；(2)已知点P(n,n)(n 0),过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x-2 于点 M,过点P 作平行于y 轴的直线，交函数y=(x 0)的图象于点N.当n=l时，判断线段PM与 PN的数量关系，并说明理由;若PN 2PM,结合函数的图象，直接写出n 的取

9、值范围.6S2 4.(5分)如图，A B是。的一条弦，E是AB的中点，过点E作E C L O A于点C,过点B作。的切线交C E的延长线于点D.(1)求证：D B=D E；(2)若 A B=12,B D=5,求。0 的半径.2 5.（5分）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工,进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下:甲 78867481 75 76 877075 90 75 79 81 70 748086698377乙 93738881 72 81 948377 83 8

10、0 81 70 81 737882807040整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据:成 绩X人数部门404W 49504W 59604W 6970WxW7980Wx-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 VA.a -4 B.bd0 C.a|d D.b+c0【考点】29：实数与数轴.【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a,b,c,d的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案.【解答】解：由数轴上点的位置，得a -4 b 0 c l d.A、a -4,故A不符合题意；B、b d 4=d|,故C符合题意；D、b+c 5 x-7【考点】CB：解一元一次不等式组.【分析】利用不等

11、式的性质，先求出两个不等式的解集，再求其公共解.【解答】解:p(x +l)5%-7 02x 由式得x V 3；由式得x 2,所以不等式组的解为x&A N F =S.3AEF一，SzFGC=5/FMC 可 得S 矩 形NFGD=S矩 形EBMF【考点】LB：矩形的性质.【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论.【解答】证明：S 矩 形N F G D二SA A D C-（S/、A N F+SA F G C），S 矩形 EBMF二S/XABC-（SA ANF+S/FCM）易知，SA ADC=SA ABC,SA ANF=SA AEF，SA FG C=SA FMC

12、可得s 雨 形NFGD二S矩 形EBMF故答案分别为 SAEF，SA F C M，S/、ANF，SAAEF，SAFGC，SA F M C.21.(5 分)关于 x 的一元二次方程 x?-(k+3)x+2k+2=0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1,求 k 的取值范围.【考点】AA：根的判别式.【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得=(k-l)2 2 0,由此可证出方程总有两个实数根；(2)利用分解因式法解一元二次方程，可得出&=2、X2=k+1,根据方程有一根小于1,即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围.【解答】(1)证明：,在方程

13、x2-(k+3)x+2k+2=0 中，=-(k+3)2-4X1X(2k+2)=k2-2k+l=(k-1)20,.方程总有两个实数根.(2)解:Vx2-(k+3)x+2k+2=Cx-2)(x-k-1)=0,Xi=2,Xz=k+1.方程有一根小于1,A k+K l,解 得:k0,A k 的取值范围为k 0)的图象与直线xy=x-2 交于点 A(3,m).(1)求 k、m 的值；(2)已知点P(n,n)(n 0),过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x-2 于k点 M,过点P 作平行于y 轴的直线，交函数y=-(x 0)的图象于点N.X当n=l时，判断线段PM与 PN的数量关系，并说明理由；若P

14、N 2PM,结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】(1)将 A 点代入y=x-2 中即可求出m 的值，然后将A 的坐标代入反比例函数中即可求出k 的值.(2)当n=l时，分别求出M、N 两点的坐标即可求出PM与 PN的关系；由题意可知：P 的坐标为(n,n),由于PN 2PM,从而可知P N 2 2,根据图象可求出n 的范围.【解答】解:(1)将 A(3,m)代入y=x-2,/.m=3-2=1,.,.A(3,1),k将 A(3,1)代入 y=-,X：.k=3Xl=3,(2)当 n=l 时，P(1,1),令 y=l,代入 y=x-2,x-2

15、=1,x=3,AM(3,1),APM=2,3令 x=l代入y=一，xy=3,AN(1,3),APN=2.*.PM=PN,P(n,n),点 P 在直线y=x上，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线y=x-2 于点M,M(n+2,n),APM=2,VPNPM,即 PN22,.OVnW l 或 n23y2 4.(5分)如图，AB是。0的一条弦，E是A B的中点，过点E作EC_LOA于点C,过点B作。的切线交CE的延长线于点D.(1)求 证:DB=DE；(2)若 AB=12,B D=5,求。的半径.【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理.【分析】(1)欲证明DB=DE,只要证明NDE

16、B=NDBE；(2)作 DFAB 于 F,连接 0 E.只要证明NAOE=NDEF,可得 sinZDEF=sinZAE 4AOE=-，由此求出AE即可解决问题.A0 5【解答】(1)证 明:VAO=OB,/.ZOAB=ZOBA,V B D是切线，A O B lB D,/.ZOBD=90,，NOBE+NEBD=90,VEC1OA,，NCAE+NCEA=90,VZCEA=ZDEB,/.ZEBD=ZBED,/.DB=DE.(2)作 DFAB 于 F,连接 OE.VDB=DE,AE=EB=6,1/.EF=-BE=3,OEAB,2在 Rt4EDF 中，DE=BD=5,EF=3,.,.D F=j52-32

17、=4,V ZAOE+ZA=90,ZDEF+ZA=90,.,.ZAOE=ZDEF,AE 4sin Z DEF=sinZAOE=-,4 0 5VAE=6,15A0=.2.,。0的半径为日.2 5.（5分）某工厂甲、乙两个部门各有员工4 0 0人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取2 0名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 8086 69 83 77乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 8

18、1 70 81 73 7882 80 70 40整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据:成 绩X人数部门4 04 W 504W49 5960WxW 70WxW69 79804W 90Wx89 100甲0 01 117 1乙1 00 710 2（说明：成 绩80分及以上为生产技能优秀，70-79分为生产技能良好，60-6 9分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：部门平均数中位数众数甲78.377.575乙7880.581得出结论：a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240；b.可以推断出甲或乙 部门员工的生产技能水平较高

19、,理由为 甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高.或乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高;乙部门生产技能测试中，众 数 较 高，表示乙部门员工的生产技能水平较高.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【考点】W5：众数；V5：用样本估计总体；V7：频 数（率）分布表；W2：加权平均数；W4：中位数.【分析】根据收集数据填写表格即可求解；用乙部门优秀员工人数除以20乘以400即可得出答案，根据情况进行讨论分析,理由合理即可.【解答】解：填表如下：成 绩X人数部

20、门40Wx4950 xW5960 x69700W79804W8990Wx100甲0011171乙1007102a X 400=240（人）.20故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240；b.答案不唯一，理由合理即可.可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理 由为：甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高;甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高.或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理 由为：乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高;乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高.

21、故答案为：1,0,0,7,10,2；240；甲或乙，甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高；或乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高;乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高.26.（5分）如图，P是 而 所对弦AB上一动点，过 点P作PM AB交油 于 点M,连 接MB,过 点P作PN_LMB于点N.已知AB=6cm,设A、P两点间的距离为x cm,P、N两点间的距离为y c m.（当 点P与点A或 点B重合时，y的值为0）小东根据学习

22、函数的经验,对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与y 的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6y/cm 0 2.0 2.3 2.1 1.6 0.9 0（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当PAN为等腰三角形时，AP的长度约为 2.2 cm.【考点】MR：圆的综合题.【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；（2）利用描点法，画出函数图象即可；（3）作出直线y=x

23、与图象的交点，交点的横坐标即可AP的长.【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得x=4时，y=1.6cm,故答案为1.6.(3)当A P A N为等腰三角形时，x=y,作出直线y=x与图象的交点坐标为(2.2,2.2),.PAN为等腰三角形时，PA=2.2cm.2.2故答案为2.2.27.(7分)在平面直角坐标系xO y中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线I与抛物线交于点P(x i，y i),Q(X2，丫2)，与直线BC交于点N(X3，丫3)，若X1X2VX3，结合函数的图象，求X1+X2+X3的

24、取值范围.【考点】HA：抛物线与x轴的交点.【分析】(1)利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的表达式即可；(2)由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答.【解答】解:(1)由 y=x?-4x+3 得到：y=(x-3)(x-1),C(0,3).所以 A(1,0),B(3,0),设直线BC的表达式为：y=kx+b(kW O),则 阮+b=0J解得所以直线BC的表达式为y=-x+3；(2)由 y=x2-4x+3 得到：y=(x-2)2-1,所以抛物线y=x2-4x+3的对称轴是x=2,顶点坐标是(2,-1).Vyi=y2，.XI+X2=4.令 y=-1,y=-x+

25、3,x=4.V x i x2 x3,A 3 X3 4,即 7XI+X2+X3 0),1 5/.OP1=,0P2=l,0P3=,3，P 1与。0的最小距离为5,P 2与。0的最小距离为1，0 P 3与。的最小距离为12.0 0,。的关联点是P 2，P3；故答案为：P 2,P 3；根据定义分析，可得当最小y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，.设 P (x,-x),当 0 P=l 时，由距离公式得，0 P=J(%-0)2 +-0)2 =1,x 21，当 O P=3 时，O P=J(%-O p +(-%0)2=3,372解得：x=；2.点P的横坐标的取值范围为：3A/2/2 或J/2w

26、 xW3工/2；2 2 2 2(2),直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B,A A (1,0),B (0,1),当圆过点A时，此时，CA=3,A C (-2,0),如图2,1小图2当直线AB与小圆相切时，切点为D,，CD=1,.,直线AB的解析式为y=-x+1,，直线AB与x 轴的夹角=45。，.,.AC=V2,AC(1-V2,0),，圆心C 的横坐标的取值范围为：-2WxcWl-V2；如图3,%图3当圆过点A,则A C=1,，C(2,0),如图4,当圆过点B,连接B C,此时，B C=3,/.O C=j 32 l=2 V 2,A C (2 V 2,0).圆心C的横坐标的取值范围为：2 X c W 2 V Z；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：-24 cW l-V 2或2 x c 42&