黄冈中学高考数学二轮复习考点解析七数列的综合考查.pdf

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1、黄冈中学高考数学二轮复习考点解析07：数列的综合考查数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列

2、的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。（文科考查以基础为主，有可能是压轴题）一、知识整合1 .在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2 .在解决综合题和探索性

3、问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.3 .培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.二、方法技巧1.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：定义法：对于n 2 2的任意自然数，验证为同一常数。（2）通项公式法：若%=%+（n-1）d=6+（n-k）d ,则 ,为等差数列；若“口-a凶,则%为等比数列

4、。(3)中项公式法：验证中项公式成立.2 .在等差数列 4中，有关5 的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当q O,dO时，满足 4 am 0八的项数m使得S,取最大值.(2)当4 0时-，满足am =巴 而得。an2 .在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。、S 0 n=I3.注息S 与明之间关系的转化。如：=C 八 ，an=a +/(ak ak I)巴-，。n 2 e4.数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把

5、握这两方面，就会迅速打通解题思路.5 .解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.四.典型考例【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题P 49例1 3。P s。例2 P56例1 P5 9 T6.注1 文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题例(四 川 卷)数列 叫的前项和记为S.,q =1,4向=2 S“+1(2 1)(I )求 叫的通项公式；(I I)等差数列 2的各项为正，其前项和为7；，且(=15,又+配 在+4吗+打成等比数列，求北本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及

6、推理能力与运算能力。满 分1 2分。解(I)由。,用=2 S“+1 可得a“=2 S,i +l(2 2),两式相减得=2。,川=3%(2 2)又4=2 S 1+1 =3/.a2=3a,故 a,是首项为1,公比为3得等比数列 A =3-1（】1）设 2 的公比为d 由1=15得，可得仿+3+&=1 5,可得仇=5故可设仇=5 d,4 =5 +d 又 q =1,%=3,4=9由题意可得(5 -d +l)(5 +d +9)=(5 +3)2 解得&=2,4 =1。（一 1 I.等差数列 4 的各项为正，.（）；.d =2 A T；,=3 n+v2 7x2 =n2+2 n1 .设等差数列。”的首项s 及

7、公差d都为整数，前n项和为Sn.（I ）若。i i=O,5 片 98,求 数 列 为的通项公式;（1 1）若的6,an 0,S“W 7 7,求所有可能的数列 4 的通项公式2 .（上海卷）设数列 4 的前项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=40 96。求数列 4 的通项公式？设数列（l og?%的前n 项和为却 对数列 ，从第几项起7；-5 0 9?.解(1)：an+Sn=40 96,，ai+Si=40 96,ai=2 0 48.当 n，2 时,an=SnSn-i=(40 96 an)(40 96 at l-i)=a,-!-an(2)V l og2an=l og2 2 0 48()=1

8、2 n,/.Tn=(nJ+2 3n).2 2由Tn 上 巫,而 n 是正整数,于是,n2 46.2-=1 an=2 0 48(an-2 2二从第46 项起人 一 5 0 9.3.（全国卷1）设正项等比数列%的首项q =3，前门项和为5“，且 2 1 5 30（2 1+1 电 0 +5 1 0=0 1（）求 an的通项；（H）求 S“的前n 项和T“。解：(I)由 2 1 5 30(2 1 +1)5 2 0+5 。=0 得 Z R S?。一 S?。)=S?。一 S),即 21 0(。21+。22+,+30)=Q|1 +12+,+20，可得 21 0,qlQ(6tj j+a%+,+。2 0)=1

9、+。12+。20，因 为 知 0,所以 2 i /=l,解得4=g,因而=1,2,.(I I)因为%是首项q =g、公比4=g的等比数列，故21 2 n则数列 几5“的前 n 项和 TH=(1+2 H-1-H)(+-H-F 亍7)，T 1 Z1 o、/1 2 n-n.=-(l +2+-+n)-(+-+2 2 22 23 2 2,+,T I II I前两式相减，得 =(1+2-1-F)(I d-1-)H-2 2 2 22 2 2,+,l(i-L)_(+1)2 2 上 an T_ n(n +V)1 n=-1-r 即/=-1-!-2.4 1 2,+|2 2T 2”2【问题2】等差、等比数列的判定问题

10、.P53 T7 例P54 T9 例P54 1 9(上海卷)已知有穷数列%共有24项(整数攵2 2),颤 力=；且。”+1 =(。-1)S“+2(n=1,2,2k 1),其中常数 a l.2(1)求证：数列 a“是等比数列；(2)若a=2由，数列2满足勿=.设该数列的前项和为S”，-logXQ的%)(=1，n 2,2 k),求 数列 勿 的通项公式；3 3(3)若(2)中的数列 b 满足不等式|伍一 5 I+也一 5 I+-+I b2k_,值.证明 当n=l时,az=2a,则”=a；%2n2k1 时,an+i=(a 1)Sn+2,an=(a 1)Sn i+2,an+1-an=(a-l)an,A-

11、=a,.数列d 是等比数列.an(n-l)/:(/:-1)(2)解：由 得 an=2ai,aia2.an=2a 2 i+(x)=2a二=2R,1 r n(n-l)n-1 .bn=+=-+l(n=l,2,-.,2k).n 2K-1 2K-13 1 3(3)设bd，解得 M+一 ,又n是正整数,于是当nk时,bn.23 3 3 3 3原式二(4)+(b2)+.+(bk)+(bk+1 )+.+(b2k)2 2 2 2 23 3+-求女的二(bk+i+bzk)(bi+.+bk),（女+2%1火 工（0+女 1）女 ,2z-+&-+k=2k 1 2 k-l 2k-1氏2 L L当-44,得 k2-8k+

12、4o,4-2 J3 k2,2k.当k=2,3,4,5,6,7时，原不等式成立.4.例 ,己 知 数 列%中，S“是其前项和，并 且5向=4 4+2(=1,2产-),q=1,(1)设数列勿=j 一2%(=1,2,)，求证：数列物,是等比数列；设数列c=箓,(=1,2,),求证:数列%是等差数列；求数列 乐 的通项公式及前项和。分析：由于 和 c“中的项都和 a“中的项有关，白“中又有5“+1=42“+2,可 由S.+2-S,用作切入点探索解题的途径.注2本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.解：由 S.+i=4a“+2,Sn+2=4an+1+2,两式相减,得 S n+2-Sn+1=4(a

13、 n+1-a ),即 a 2=4a 向-4a“.(根据b”的构造，如 何 把 该 式 表 示 成 与b”的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a”+2-2a“+|=2(a,+2a“)，又 b“=a,2 a“，所以 b#2 已知 52=43+2,a j=1,a j+a 9=4a x+2,解得 a-=5,b j=a 2-2a j=3 由和得，数列 b 是首项为3,公比为2的等比数列，故b 二32 1.因为N).所以X i-cn=舞喙=至、法=占乙 乙 乙 乙 乙又C =?=；,故数列 c j是首项为T，公差是7的等差数列，3 1Cn=4n4 (3)因为=,又 所以=与-(，an=(3n-

14、l)当 n2 时，S“=4a._+2=2T(3n-4)+2；当 n=l 时，S =a 产!.也适合上式.综上可知，所求的求和公式为S“=2T(3n-4)+2.说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件S“+1 =4%+2 得出递推公式。2.解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用.问题3 函数与数列的综合题P51例 3数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.P51例

15、 3(2006湖 北 卷)已知二次函数y=/(x)的图像经过坐标原点，其导函数为/(x)=6%-2,数歹的前n 项和为S“，点(,S“)(1 N*)均在函数)，=/(x)的图像上。(I)、求数列%的通项公式；(II)、设b“=一，Tn是数列也的前n 项和，求使得Tn 二 对 所 有n I N都成立的最小正整4%2 0数 m；点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：(I)设这二次函数/仞=以2+队。力0%则f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x 2,得a=3,b=2,所以 f(x)=3x2 2x.又因为点(,S)5 e N

16、*)均在函数y=/(x)的图像上，所以=3n2-2n.当 n22 时 8n=Sn Sn-i=(3n2 2n)3(n 1)2(-1)=6n 5.当 n=l 时，ai=Si=3xl2 2=6x15,所以，an=6n 5(w N*)3 3 1 1 1(H)由(I)得知a=-(：-.=.),(6 5)6(-1)一51 2 6-5 6n+1故 T n=2=(1-)+(-)+(-)=一 (1-).2 7 7 13 6-5 6 +1 2 6/?+1I|777 1 777因此，要 使 一（1-9 1 e N*）成立的m,必 须 且 仅 须 满 足 上 即m1 0,所以2 6 +1 2 0 2 2 0满足要求的

17、最小正整数m为1 0.5.设力定义篇（X）=力 （x）,a.=|，其中n G N*.1 +x fn（0）+2（1）求 数 列 d的通项公式；若乙=%+2g+3%+2 的 ，2-1 1 2解(1)/,(0)=2,/的(0)=力 (0)=7T7 ，Z +，4 1 +J(-1.Q =-/-+-1-(-0-)-1-=-1 -+-/-(-0-)-=-1-/-(-0-)-=1 -/-(-0-)-1 =1 aA+1(0)+2 2 4 +2/(0)2 /“(0)+2 2 i +/,.(o).%L =J _,.数列%上首项为工，公比为工的等比数列，an=-(-)a 2 4 2 4 2(2)7 2 =%+2 0

18、+3 3 H-b 2/?d!2 n,一 勺2=(-g)Q|+(-；)2a 2 +(-g)3a 3 +(-)2na2n,两式相减得：-T2II=4?+nxL2 14 422口 加一啖）6.（湖北卷）设数列 4的前n项和为S“，点（,S“）5eN*）均在函数y =3 x2的图像匕3/n（I）求数列 4的通项公式；（H）设 =,7；是数列也,的 前n项和，求使得7；)-npn+1-P11.(福 建 卷)已知数列 为 满足田=a,。田=1+我们知道当。取不同的值时，得到不同的数列，如当。=1时，得到无穷数列：1,2,3”.;当=-1 吐得到有穷数列：-1,-1,0.2 3 2 2(I)求当a为何值时。

19、4=0；(I I)设数列 b j 满 足 也=-1,3+产 _(e N)，求证a 取数列 b j 中-1 +的任一个数，都可以得到一个有穷数列 ；(I)解法1：=。=a,a +=1 H-,an,。,=11+1 =11 4 1 =-。-+-1 0=11 +1 =-2-a-+-1%=11 +1 =-3-a-+-2.故,当时n,=-2 =0_.%a a a2 a+I%2 +1 3故a取数列 6 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列 册12.（全国卷刖）在等差数列%中,公 差 d 工0,。2 是4 与4的等比中项.已知数列。I,%,气，气，,如“，成等比数列，求数列化J的通项kn.解：由题意得：.1

20、分即（4 +d）2 =%（为+3 d）.3 分又d W 0,.二 a 1=d4分又%,%，。八，如“，成等比数列，.该数列的公比为4=幺=%=3,.6 分ax d所以=4/3 的.8分又做，=.|+（k-）d=knax.10 分kn=3n+,所以数列伏，,的通项为kn=3n+,.12 分课后训练：一、选 择 题（共 10小题，每小题3 分，共 30分）1.如果T,a,6,c,-9 成等比数列，那么A.炉3,0 6 O 1,29.已知等差数列 册 中,时。8=8,则该数列前9 项和S9等于（）A.18 B.2 7 C.36 D.4510.已知数列%、也,都是公差为1 的等差数列，其首项分别为4、

21、”,且q+仇=5,卬 也 e N*.设g=%（e N*）,则数列 c“的前10项和等于（）A.55 B.70 C.8 5 D.100二、填 空 题（共 6 小题，每小题4 分，共 24分）11.设S,为等差数列%的前项和，54=14,S10-57=3 0,则 S 9=.12.在 数 列 d 中，若。1=1,。”+1=2 册+3 m2 1）,则该数列的通项为=.13.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且 010gm（必）an+an+2=2an+i=an(+q2-2q)=0=i q=即=2,所以S“=2，故选择答案C。7 .A 提示：由 2 1=0,。0+|=学e N).得 a

22、2=-6,%=6,%=，.J 3 4+1由此可知：数列 a。是周期变化的，且三个一循环，所以可得:a2=a2=-J i故选A8 A解油等差数列的求和公式可得区=%=L可得q =2 d且d*0S6 6q+l 5d 3 1所以M器缁嘲卡故选人点评：本题主要考察等比数列的求和公式，难度般9 c解：在等差数列 4中，吁。8=8,.4+旬=8,则该数列前9项和59=%詈=3 6,选C10 C 解：数列%、,都是公差为1的等差数列，其首项分别为、仇，且%+仇=5,%,a w N*.设cfni -ah 则 数 列i cH.*的 前1 0项 和 等 于 即+即f72+即P|（）=a.t/|+a0K 十 I.+

23、-+at zb|-+T97,4,=4+（4 1）=4，4+%+i +稀9=4+5+6H-1-13 =8 5,选C.r、4(4-1)11.(文)解：设等差数列 即 的首项为a1，公差为d,由题意得4%=10,+1 0(1-1)J-7 al+J =3 0,联立解得a i=2,d=l,所以 Sg=9x2+%二 1 =542 2 212 .2,+|-3 解：在数列%由 若q=1，4用=2。“+3(2 1),.“用+3 =2(4+3)(”2 1),即 4+3 是 以%+3 =4为首项，2为公比的等比数列，a,+3 =4-2 T =2向，所以该数列的通项%=2日一3 .13(8,8)提示：解出。、解对数不

24、等式即可答案(一 8)14 all=29 提示利用S翁/S他=巴取得解答案 第11项“11=29n15.-2 提示：由题意可知q W l,可得2(1-qn)=(lqm)+(lqn+2),即q2+q-2=0,解得q=-2或q=1(不合题意，舍去),.q=2.16 解:13 IW V 10Sn=an2+5an+6,-10ai=aJ+5ai+6,解之得 a1=2 或 a1=3.又 10Sn i=an-i2+5an i+6(n2),(2)由一得 10an=(a，-/)+6(a n ai),即(an+an-i)(ana15)=0,an+an-i。/3n-an-i=5(n2).当 ai=3 33=13,3

25、15=73.an a3,a15 不成等比数列，aiW3;ai=2 33=12,315=72,有 a32=aiai5,.*.ai=2,/.an=5n3.Z 7 Z 717.(I)证明：v a+2=3 ,t+1-2an,：.an+2-an+l=2(a,t+l-a),v =l,a,=3,；.=2(e N)%一%+端是以%G=2为首项，2为公比的等比数列。(I I)解：由 得 凡+1-。“=2(e N*),，=(a,-4“_)+(%-4 _ 2)+(。2一”1)+6=2-+2-2+.+2 +1=2 -1(e N*).(I ll)证明：4、T4HLi =(牝+1卢，.4-+&”)=2nb,2(4+4 +

26、.+2)-=*,2 d +b2+.+bn+b+1)-(n+1)=(+1)%.一，得 2(&+1-1)=(+1加 式 一 也,即(I)%叫 +2 =0.a+2_（+1）白川+2=0 一，得 血+2-2,也+卢 叫=0,即*2 2。向+2=0,也+2%=%(”)，.也 是等差数列。18.(山 东 卷)已 知 数 列3中，4点(f“在 直 线 尸 上，其中E3：(I)令2 =%-%-3,求证数列也“是等比数列;(H)求数列 a“的 通 项；(HI)设S,、T“分 别 为 数 列%、物,的前n项和,是否存在实数2,使得数列1S q为等差数列？若存在，试求出4.若不存在,则说明理由。解(I)由已知得=g

27、,2 “+=。“+，又=-1，。川=%+2-4+1-1，%+5+D 4+4,+i a“T.如=.，+a“T =2 2=2=1bn an+2 an+1%+1-4 一1 +1 一 4 一 123 1.2是以-士为首项，以上为公比的等比数列.4 23 1 3 1（II）由（I）知，b=x（一）1=x“4 2 2 2,3 1 ,3 1a3-a2-l =-x ,.=将以上各式相加得：/八 3/1 1 、an _%一（T）=_/（+级+西），1（1_!_）3 9u 1 3 1 3a=a,+n-x-=+（n-l）（1-一-）=-n-2.2,1 2 2 2 223.a,=-F n 2.(Ill)解法一:存在X

28、 =2,使数列产+，?是等差数列.nS =q +出 +4=3(*+小+(1+2+)-2/73c x 42 J2 +(n +l)-2/z=03(/1,1 .)+-n-2-3-n-=3 +-n-2-3-n+3.1 1 2 2 2 2 22T“=瓦+瓦+b”2 2 23数列）+肛 是等差数列的充要条件是S+附=AN+8,（A、B是常数）n n即 Sn+ATn=An2+Bn,v7 0 2 T 3 n-3n.3 3 n2-3n 2 1X S,t+A T =-+3 +2(-+)=+3(1-)(1-).当且仅当1一4=0,即4 =2时，数列 辽g为等差数歹ij.2n解法二：存在4 =2,使数列卢+可 是等差数列.n由 、(I I)知，an+2b“=n-2 S“+2 T =?(：。一2 Sn+ATn _!2 n2 T+A T _ n-3 2-2=+Tnn n 2 na 1&又 T =+A T-b=-=(1-)=-1-“12”1 2 2 2 2n+l1 2S+-A-T-,!L =-n-3+-2-2(z一 3 +-3-)、n 2 n 2 2,+,c 1当且仅当X =2时，数列9 5 是等差数列.nw.w.w.k,s.5.u.c.o.m