2021年高考数学考点41直线平面垂直的判定与性质必刷题文【含答案】.pdf

《2021年高考数学考点41直线平面垂直的判定与性质必刷题文【含答案】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学考点41直线平面垂直的判定与性质必刷题文【含答案】.pdf（30页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、考 点 4 1 直 线、平 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 1.如 图，在 三 棱 锥 V-ABC中，VO_L平 面 ABC,OS CD,VA=VB,AD=BD,则 下 列 结 论 中 不 一 定 成 立 的 是（）A.AC=BC B.ABVCC.VCVD D.SAV C D AB=SAAB C VOC【解 析】:V O l平 面 ABC,ABu平 面 ABC/.V O 1.A B VA=VB,AD=BD,/A T J lA B,/VOnVTM V,VOu平 面 VCD.,.A B 1 平 面 VCD C D u平 面 V C D 1.A B 1C D,又,A I A B D,.A C=B

2、 C,即 选 项 A 一 定 成 立；又 T V C u平 面 VCD 二 A B 1 VC,且 D 为 A B中 点 即 选 项 B 一 定 成 立：S”8=:VOxCD,S u s c=：ABxCD利 用 面 积 比 得 D正 确；所 以 选 项 C 说 法 错 误 故 选：C.2.三 棱 锥 S-4BC中，S4_LBC,SC_LAB,则 S在 底 面 4BC的 投 影 一 定 在 三 角 形 ABC的（）A.内 心 B.外 心 C.垂 心 D.重 心 C过 S作 S。！平 面 4BC,垂 足 为。，连 接 40并 延 长 交 BC于，连 接 C0.H：.SO 1 BC又 5A BC,SO

3、 n SA=S BC 评 面 SA。又 A O u平 面 SA O B C 1 A 0,同 理 43 ICO。是 二 角 形 ABC的 垂 心.故 选 C.3.在 直 角 三 角 形 4BC中，AB=BC=2,D为 AC的 中 点，以 BD为 折 痕 将.AABD折 起，使 点 4到 达 点 P的 位 置 且 PB LCD（1）求 证：PD LCD.（2）求 4 点 到 平 面 PBC的 距 离.2#（1）见 解 析；（2）亍（1）;直 角 三 角 形 ABC中，AB=BC=2,D 为 A C的 中 点，/.B D 1 C D,y.P B l C D,B D CPB=B,二.C D 1 平 面

4、 PBD,又 因 为 PDOCC;平 面 PBD,.,.P D 1C D.A D 1B D,/.P D 1 B D.又,P D 1C D,BDCCD=D,二.PD_L平 面 BCD.在 直 角 三 角 形 A B C中，A B=B C=2,所 以 P D=A D=啦，P B=P C=B C=2.S&ABC=2 SePB C=#,设 A 点 到 平 面 P B C的 距 离 为 d,由 VP-ABC=V A-PBC 得，1 13 SZ.ABCXPD 3 S*PBCxd)S z X P D 2 乖 d=SA W C=3 2乖 即 A 点 到 平 面 P B C的 距 离 为 3.4,已 知

5、 多 面 体 44,BB,C1C均 垂 直 于 平 面 ABC,z_4BC=120,V=4,gC=l,AB=BC=BB=2A,B(1)证 明：4瓦，平 面 占 BiG；(2)求 直 线 4 G 与 平 面 4BB 所 成 的 角 的 正 弦 值.炳(1)见 解 析；(2)直 线 4cl与 平 面 4BB1所 成 的 角 的 正 弦 值 为 1T.【解 析】(1)由？18=2 M a=4.5为=2.AALLAB.BBL 1 ABABt=4.B.=2yf2 A,B：+ABr=AAi故 4由 BC=2,BB1=2,CC1=1,B8.1 BC,CC,1 BC得=唱，由 AB=BC=2./.ABC=12

6、0 导 AC=2、&由 4C,得 A C=VI5,所 以 月+F.Cf=AC：,故 4B_ 1 82G.因 此 AB：，平 面 孔 区 金(2)如 图，过 点 Q 作 Q D 1 A：邑，交 直 线&Bi于 点 D,连 结 AD.由 AB：，平 面 4 B：Q 得 平 面 1平 面.4BB由 Q D _L 4,8.C.D _L平 面 ABB所 以 4 c涕 漉 力 心 与 平 面 ABB：所 成 的 角.由=5 4 瓦=2y2.A1C1=V2T得 cos 乙 C 工 4 氏=甘 片 114(?工&81=三,一 V 7 V1J D 犀 八 k sinz.C-.AD=-=-所 以)=勺 3,故 A

7、CX 13病 因 此，直 线 4cl与 平 面 4BB1所 成 的 角 的 正 弦 值 是 IT.方 法 二：(1)如 图，以/C 的 中 点。为 原 点，分 别 以 射 线 OB,0 c 为 x,y 轴 的 正 半 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz.由 题 意 知 各 点 坐 标 如 下：出 0,一 画 0).B(L0,0),Bi(1.0.2),C1(0，VJ.1),因 此 丽=(Lv3,2),无 瓦=(1,-2),F C=(0.2 v.-3).由 福 况 瓦=阴 导 A员 1由 福 不 1=婿 月 凡 1 必 配 所 以 他 1平 面&工 J.(2)设 直 线 A Q 与

8、 平 面 ABB手 斤 成 的 角 为 8.由(I)可 知；4cl=(0,2、序=(1，V3,=(0.0.2),设 平 面 ABB二 的 法 向 量 n=(xy.z).由 广 票=)即 F 二 岛：可 取=-0).(九 BB工=0,(2z=0.所 以 sine=cos苑 M l=悬=詈.因 此，直 线 幺 C：与 平 面 一 所 成 的 角 的 正 弦 值 是 号.5.如 图，在 长 方 形 ABCD中，AB=T T,AD=2,ES F为 线 段 AB的 三 等 分 点，G、H 为 线 段 DC的 三 等 分 点.将 长 方 形 ABCD卷 成 以 AI)为 母 线 的 圆 柱 W 的 半 个

9、 侧 面，AB、CD分 别 为 圆 柱 W上、下 底 面 的 直 径.(1)证 明：平 面 ADHF_L平 面 BCHF；(2)若 P 为 DC的 中 点，求 三 棱 锥 HAGP的 体 积.(1)见 解 析(2)6【解 析】(1)因 为 月 在 下 底 面 圆 周 上，目 CD为 下 底 面 半 圆 的 直 径 所 以 DH 1 HC又 因 为 且=所 以 D H，平 面 BCHF又 因 为 D”u平 面 月 DHF,所 以 平 面 dDHF 1平 面 BCHF(2)设 下 底 面 半 径 为 r,由 题 nr=JT,所 以 r=1,因 为 下 底 面 半 圆 圆 心 为 P,所 以 PD=

10、P G=PH=P C=r=l又 因 为 G、”为 反 的 三 等 分 点，rDPG=K GPH=U iP C=60，所 以 dPDGM PGH/PHC均 为 边 长 等 于 1的 等 边 三 角 形，所 以/P G H的 面 积 所 以 三 棱 键 H-AGP的 体 积/=VA.PCH=f x 58cH x KDI=三 3 66.如 图，四 棱 锥 P-4B C D中，底 面 力 BCD为 菱 形，乙 4BC=60。，P4=PB=4E=2,点 N为 4B的 中 点.证 明：AB 1 PC.(2)若 点 M为 线 段 PD的 中 点，平 面 P4BJL平 面 A B C D,求 点 D到 平 面

11、 M/VC的 距 离.2/21(1)证 明 见 解 析；(2)(1)连 接 4伉 因 为 4B=BC,/ABC=60,所 以 A4BC为 正 三 角 形，又 点 N为 4B的 中 点，所 以 4B1NC.又 因 为 P R=P 8,N为 4B的 中 点,所 以 4 8 1 PN.又 NC c PN=N,所 以 AB 1平 面 PNC,又 PC u平 面 PNC,所 以 力 B 1 PC(2)由(1)知 PN J.AB.又 平 面 PAB，平 面 B C D,交 线 为 月 B,所 以 PN _ L 平 面 4BCD,由%-N 8=M-N C D=j V=Z/-MCN=jLWC h，由 等 体

12、积 法 知 得 八=1.7.如 图，在 四 棱 锥 P-4BCD中，PDJL平 面 ABCD,四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形，BD=4,AD=PD=2,AB=2依.(I)求 证：BZ)J.平 面 PAD：(I D 若 E 是 PC的 中 点，求 三 棱 锥 P-EDB的 体 积.4(1)证 明 见 解 析；(2)3.【解 析】(I)在 ABD中，由 于 4D=2,BD=4,AB=2百，A DZ+BD2=AB2,故 AD 1 BD.又 PD 1 平 面 ABCD,BD u 平 面 ABCD,所 以 PD _L8D,又!DnPD=D,所 以 BD，平 面 PAD.(n)由 已 知 可

13、得，BC=2,BD=4,/.DBC=90z,所 以 三 棱 锥 P-D 8 C的 体 积 为：P-DBC=；x S 3 BC x P D=；x：x 4 x 2 x 2=：.3 3 3因 为 E 是 PC的 中 点，所 以 7 s c=VP.DBC=:,所 以 三 棱 锥 P-E D B的 体 积 为：-E D B=-D B C E-D BC=j 8.如 图，在 斜 三 棱 柱 中，已 知 4B1C/1=90。，ABl L AXCt 且=4C.Bx(I)求 证：平 面 4CCJ1 1 平 面&B 1 G；(II)若 441=2,求 四 棱 锥 a-B B i G C 的 体 积.4 G 见 解

14、析；（2）亍.【解 析】（1）证 明：连 接、心，在 平 行 四 边 形 ACC*：中，由=月 C得 平 行 四 边 形 4CC4 为 菱 形，所 以&C 1 AC.,又 4 C_L4Bi，所 以 儿 C_L谢 B/s 所 以&CJ.B二 Q,又 4 G l.瓦 仁，所 以 瓦 的，颜 7:工/4_,所 以 平 面 5CC_工，平 面 工 为 Q2）！取 的 中 点。连 接 A 0,易 知 4。，平 面 孔 8传；，BC_L平 面 4BC,所 以 点 A到 平 面 儿 B：C_的 距 离 为 月。=、仔，由 4B 平 面 儿 B：Q,所 以 点 月 到 平 面&为 C-的 距 离 为、存，点

15、B到 平 面 ABC的 距 离 为 BC=2.Eli-561cle=+TI-CC8=1%-41日 道 1+1%-41cle1 1 1 1 1 1 4J3=于 44,A/3+SA41cle,2=3X2X 2 X 2,+3X2X 2 X2=-4 故 四 棱 锥&-BBgC的 体 积 为 亍.9.如 图，在 四 棱 锥 一 一 中，底 面 口 是 边 长 为 2菱 形，N/I能=60,AP4B为 正 三 角 形，且 侧 面 用 员 1底 面 力/磔,.1/分 别 为 线 段 4?,如 的 中 点.(I)求 证：阳 平 面 4 M?；(H)在 棱 切 上 是 否 存 在 点 G,使 平 面 平 面 4

16、6。请 说 明 理 由.并 求 此 时 三 棱 锥 D-ACM的 体 积。(I)见 解 析(II)见 解 析【解 析】(D 证 明：因 为 P从 昉 正 三 角 形，E 为 的 中 点，所 以 尸 1 居，又 因 为 面 取 B 1面 A B C D,面 RL5 面 ABCD=AB,PE u平 面 R4B.所 以 P E 1平 面.45CD(n)在 棱 CD上 存 在 点 G,G为 8 的 中 点 时，平 面 G.4ML平 面 4 8 8.证 明：连 接 E C.由(D 得，尸 E 1平 面 4 8 C D,所 以 P及 LCD,因 为 刘 8 是 菱 形，Z 4BC=60。，E 为 4 3

17、的 中 点，所 以/ABC是 正 三 角 形，E C 1 4.因 为 所 以 EC1CD.因 为 PECEC=E,所 以 C D 1平 面 P E C,所 以 C D 1 P C.因 为 M,G分 别 为 PD,CD的 中 点，所 以 MG/PC,所 以 办 L 股.因 为 版 是 菱 形，NMC=60,所 以 A4DC是 正 三 角 形.又 因 为 G 为 制 的 中 点，所 以 必 工”，因 为，监 n/G=所 以 CDL平 面 MAG,因 为 C。u 平 面 ABCD,所 以 平 面 刃 G_L平 面 ABCD.此 时，f C M 八 M_4DC=d-2 2)4=)10.已 知 四 棱

18、锥 P-4BCD的 三 视 图 如 图 所 示，其 中 正 视 图、侧 视 图 是 直 角 三 角 形，俯 视 图 是 有 一 条 对 角 线 的 正 方 形，E是 侧 棱 PC上 的 动 点 PC.儒 樱 图（1）求 证：平 面 P4C J平 面 BDE；（2）若 E为 PC的 中 点，求 直 线 BE与 平 面 PBD所 成 角 的 正 弦 值.更（1）证 明 见 解 析；（2）6.【解 析】由 已 知 P C，8C,P C，=P C评 面 ABCD,；BD u平 面 ABCD=BD 1 PC,y.,：BD LAC,：.B D 1,P A C.因 3D u平 面 E B D,则 平 面 2

19、 4 c _ L平 面 BDE.（2）法 1:记 A C交 B D于 点。，连 PO,由（D 得 平 面 P 4 C 1平 面 B D P,且 交 于 直 线 PO,过 点 E 作 EH J.P。于 H,贝 怙“，平 面 PBD,：zEBH为 B E与 平 面 PBD所 成 的 角.：EH PO=OC PE,=：.EH=.3 _又 BE=、C,贝 iJsinxEB=-=-.v-6于 是，直 线 B E与 平 面 PBD所 成 角 的 正 弦 值 是 二.b法 2：(等 体 积 法).唯=.E点 到 平 面 PB D的 距 离 为:.又 BE=6 则=f于 是，直 线 B E与 平 面 PB D

20、所 成 角 的 正 弦 值 是 b11.如 图 在 四 棱 锥 P-4BCD中，底 面 ABCD是 等 腰 梯 形，且 P4 1平 面 4BCD,AB=AD=CD=1,N B 4)=120,P 4=G 平 行 四 边 形 7,Q,MN的 四 个 顶 点 分 别 在 棱 PC、P4、4B、BC的 中 点.(1)求 证：四 边 形 7QMN是 矩 形;(2)求 四 棱 锥 C-TQMN的 体 积 1(1)见 解 析；(2)8【解 析】（D M N平 行 且 相 等 于 三 AC,T Q也 平 行 且 相 等 于 三 月 C,；.TQM N为 平 行 四 边 形 又 ABCD 是 等 腰 梯 形，A

21、B=AD=CD=1,ZBAD=ZA DC=120.Z A B C=Z D C B=60,作 A E 1B C,D F 1 B C,贝 g E=DF=叁 BE=CF=G，EF=AD=1,所 以 BC=BE+EF+FC=2,BN=NC=1,A A B N为 正 三 角 形，又 为 AB 中 点，.N M lA B,P A 1平 面 A B C D,所 以 M Q在 面 ABCD的 投 影 为 M A,.Q M 1M N.平 面 四 边 形 TQMN是 矩 形.(2)%-TQMN=21%_QMN=2 5 _ MNC=2 x：x W x=x l x=；1 2.如 图，在 四 棱 锥 P-ABCD中，A

22、B|C D,且 NB4P=COP=90(1)证 明：平 面 P 4 B 1平 面 P4D.(2)若 P4=PD=4B=DC,APD=9 0,四 棱 锥 P _ 4BCD的 体 积 为 9,求 四 棱 锥 P-ABCD的 侧 面 积 2 7+9邓 证 明 略；(2)2(1)/.BAP=Z.CDP=90,A PA 1 AB,PD 1 DC.又 A B/C D,P D 1 A B,A B 1 平 面 PAD又 1 AB c 平 面 PAB,平 面 P4D 1 平 面 P4B.(2)设 PA=PD=AB=DC=a,贝 3 D=BC=y2a.过 P作 P E：D,E为 垂 足，：PA=PD.：.E为 月

23、 D中 点.AB 1 平 醺 AD,:,AB 1 PE,PE 1 平 面 ABCD.%-4 S 8=二 X-fl X(I X 2fl=9.a2=27.%a=3.四 棱 锥 P-ABCD的 侧 面 积 为：SgAD 4g+Sgpc+SjipB C=Tf l+za+7 0+TV-fl.v2a X:3.,V 5(a+vT2 27+9=a-+fl-=；=；o13.如 图，三 棱 锥 D-4BC中，46C是 正 三 角 形，D A=D C.(I)证 明：ACLBD-,(II)已 知 4B4D=90%4B=4D=2,求 点 C 到 平 面 ABD的 距 离。(1)见 解 析(2)也(1)取 4c中 点 星

24、 连 4EQE 权 为 正，；.此 1 北 A A C D,DA=DC.-.DE 1 ACAC 1 平 面 3DE.,.AC 1 BD(H)正/A BC中，AB=2,AD ACAD=CD=2 BE=y3,DE 3./.BAD=90。,;.BD-2Vz7/B D E中，cosBED=由+/。：=SinvBED=1一=22XV T XVT 3 Q 9 32；2*-=2 x BE DESin乙 BED=5 v x 3 x=由 证：4 C 1平 面 8DE,又 E为 胃。中 点 1 1 1 2V2D-ABC A-BDE=2 X-X SRDE，E=2X X 2 X 1=。O 3设。到 平 面 ABD的

25、距 离 为 h,=VC-ABD=|x S h1 1 2=-x-x 2 x 2 x h=-h1 4.如 图，四 棱 锥 P-4B C D中，AB=AD=2BC=2,BC/AD,AB LAD,APBD为 正 三 角 形.且 PA=AG.(I)证 明：平 面 P 4 B 1平 面 PBC；(II)若 点 P到 底 面 4BCD的 距 离 为 2,E是 线 段 PD上 一 点，且 PB 平 面 4 C E,求 四 面 体 4-CDE的 体 积.(1)见 解 析(2)9【解 析】(I)证 明：7 AB LAD,且 AB=/1D=2,.BD=2、C,又 4 PBD为 正 三 角 形，所 以 PB=PD=B

26、D=2 f2,又:AB=2,PA=2、耳，所 以 AB 1 PB,又：AB 1 AD,BC/AD,：.AB L BC,PB C BC=B,所 以 A B 1平 面 P B C,又 因 为 ABU平 面 P血 所 以 平 面 PAB，平 面 PBC(n)如 图，连 接 BD,AC交 于 点 0,因 为 BC/A4D,S.AD=2 B C,所 以 0 D=2 0 B,连 接 0E,因 为 PB,，7平 面 A C E,所 以 P M 0 E,贝 ijDE=2PE,由（D 点 P到 平 面 BCD的 距 离 为 2,所 以 点 E到 平 面 ABCD的 距 离 为 4=：x 2=，所 以 匕=V R

27、-ACD；5114co,h=：x（：x 2 x 2）x：=g,8即 四 面 体 4-C D E的 体 积 为 5.1 5.如 图 长 方 体 4BCD-41B1CW1的 4 4=1,底 面 ABCD的 周 长 为 4,E为 反 勺 的 中 点.（I）判 断 两 直 线 E g与 AD的 位 置 关 系，并 给 予 证 明：（I I）当 长 方 体 4 8 1-4 H 区 1。1体 积 最 大 时，求 直 线 B占 与 平 面&CD所 成 角 仇【解 析】（I）EC二 与 月 D是 相 交 直 线.证 明 如 下：连 接 力 尻，J D,贝 必 8/_ 漉 平 行 四 边 形，也 是 月 员 的

28、 中 点,：.AE II C.D,1E=四 梯 形，A,E,C,。四 点 共 面，E Q与 AD为 梯 形 两 腰，故 E Q与 AD相 交.(11)1 殳 AB=b,AD=2-b,VA B C D_A iB i C tD i=b(2-b)x AA.=b(2-&)()=1当 且 仅 当 b=2-b,b=l时 取 等 号 解 法 1：连 接 B D,设 点 B 到 平 面/_ C D的 距 离 为 h,则 根 据 等 体 积 法/Y Q=吸 8,其 中 5 U 1 8=：x CD x AtD 41-BCD=gS,scD x 所 以 h=1,则 直 线 与 平 面&C D所 成 角 8满 足 si

29、ng=今=%所 以 8=3B A-o解 法 2：分 别 以 边 AB,A D,融：所 在 直 线 为 x,y,z 轴，建 立 如 图 所 示 直 角 坐 标 系，则 5(1.0.0),410.0)，C(l.l,O),D(0.1.0),s T=(-1,0,1),CD=(-1,0.0),C47=(-1,-1.1),设 平 面&CD的 法 向 量 为 彳=(x.y.z),，取 z=1,贝 加=(0.1,1).,.sinJ=|cos(B&,力|=旨”=：,.8=二 V3Xv b本 题 主 要 考 查 了 立 体 几 何 中 线 线 的 位 置 关 系 以 及 线 面 角 的 计 算，在 求 解 线 面

30、 角 时 给 了 两 种 解 法，一 是 运 用 等 体 积 计 算 出 长 度，然 后 求 得 结 果；一 是 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 法 向 量，继 而 求 出 结 果。16.如 图，在 斜 三 棱 柱“B C-4 B 1 G 中，底 面 ABC是 边 长 为 2的 正 三 角 形，M 为 棱 BC的 中 点，BB1=3,ABt=710,4CBB1=60(I)求 证：4M_L平 面 BCQB I；(II)求 斜 三 棱 柱 的 体 积 9(1)见 解 析；(2)彳【解 析】(I)如 图，连 接 因 为 底 面 ABC是 边 长 为 2的 正 三 角 形，所 以 AM 1

31、 B C,且 AM B因 为 BB：=3,=60s,BM=1,所 以 尻 M=l=+3:-2 x l x 3 x cos60=7,所 以 B二 M=v7,又 因 为 月 为=v I O,所 以 4M二+B.M2=1 0=.4 5/,所 以 4M J.S.A f,又 因 为 Q BC=M,所 以 儿 M 1平 面 BCC_ B_.(n)设 斜 三 棱 柱 A B C-a B/)的 体 积 为%则 5-匕=31-32X1-2x 3 x sin60 x所 以 斜 三 棱 柱 ABC-的 体 积 为 g【点 睛】本 题 考 查 了 立 体 几 何 中 线 面 垂 直 的 证 明，几 何 体 体 积 的

32、 求 法，熟 练 掌 握 线 面 关 系 的 证 明 原 理 非 常 重 要，1于 基 础 题。AD=AB=AE=-BC=117.如 图，四 棱 锥 E-ABCD中，AD/7BC,2 且 BCJ底 面 ABE,M 为 棱 CE的 中 点,(I)求 证：直 线 DM,平 面 CBE；(II)当 四 面 体 D-ABE的 体 积 最 大 时，求 四 棱 锥 E-ABCD的 体 积.(i)见 解 析(n)2【解 析】(2)设 KE A B=8,当 四 面 体 D T B E 的 体 积 最 大 时，求 出 8,进 而 求 得 四 棱 锥 E-1 BCD的 体 积.(1)因 为 A E M B,设 N

33、为 EB的 中 点，所 以 4V _LEB,又 BC 1平 面 NEB,AN u平 面/1EB,所 以 BC 1 A N,又 BC c B E=B,所 以 41V l平 面 B C E,又 DM A N,所 以 DM 1平 面 BCE.(II)AE 1 CD,i,z.EAB=0,AD=AB=AE=1则 四 面 体 D-ABE 的 体 积 V=-3 x-2x A E-AB-sind-AD=-6sin5当 8=9 0,即 月 E 1 月 B时 体 积 最 大 又 BC 1平 面 BEB,AE u 平 面 z lE B,所 以 AE 1 BC,因 为 BC aAB=B,所 以 胃 E，平 面 ABC

34、-ABCD=j 7(i+2)X l X l=-.1 8.如 图，三 棱 柱 4 B C-4 B 1 G中，侧 面 BBgC为 菱 形，B C的 中 点 为 o,且 40 J.平 面 BBgC证 明：BiC 1 A B.(2)若 NCBB=60。，B C=1,求 三 棱 柱 4BC-的 高(1)见 解 析(2)7【解 析】（1）证 明:连 接 B G，则。为 与 BC二 的 交 点，因 为 侧 面 8尻 G C为 菱 形，所 以 瓦 C 1 B C：又 4。，平 面 BB工 C,所 以 B Q A O,故 B Q 平 面 ABO由 于 A B u 平 面 ABO,故（2）作 0D 1 B C,垂

35、 足 为 D,连 接 A D,作 OH L A D,垂 足 为 H.由 于 BC 1 AO.BC J.0 D,故 B C 1 平 威 4 0 D,所 以。H 1 BC5L0H L A D,所 以 平 面 ABC因 为 4 cB区,=6 0,所 以/CBB二 为 等 边 三 角 形，又 BC=1,可 得。=-y由 于 4 c l n 所 以 月。=：8/=；由 OH AD=OD。月，目 AD=!OD-+OA-=斗，得 OH=号 又。为 瓦 C的 中 点，所 以 点 B：到 平 面 ABC的 距 离 为 手，故 三 棱 柱 胃 BC 4 灵 Q 的 高 为 三.1 9.如 图，在 四 棱 锥 P/

36、1BCD中，平 面 PAD_L平 面 4BCD,AB/DCf AP4D是 等 边 三 角 形，已 知 BD=2AD=4,AB=2DC=2非.P-1(1)设 M是 PC上 的 一 点，证 明：平 面 MBD _L平 面 PAD；(2)求 四 棱 锥 P-A B C D的 体 积.(1)证 明 见 解 析；“3【解 析】（D 在 1月 BD中，由 于 月 D=2,BD=4,AB=2yfS,：.A DZ+B D2=A BZ.A D 1 BD.又 平 面 PAD 1平 面 A BCD,平 面 PAD 评 面 月 BCD=A D,B D c A B C D,：.B D 1.P A D.又 BD u平 面

37、 M B D,故 平 面 M B D，平 面 P.4D.(2)如 图，x P P O 1 A D t I A D O,由 于 平 面 PAD 1平 面 B CD,：.P 0 _L平 面 ABCD.P妫 四 棱 锥 P-ABCD的 高.又 d P A醍 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，：.P O=x 2=/3.在 底 面 四 边 形 月 BCD中，A B/D C,AB=2 D C,所 以 四 边 形 月 8CD是 梯 形.2 x 4 旬 5在 R tM D B中，斜 边 AB边 上 的 高 为 寿 一-丁，2 0+艮 4&.四 边 形 4BCD的 面 积 为 2 5.,勺-ABCD=-x

38、 6 x v/3=2V3故 32 0.如 图，在 四 棱 锥 P-4 B C D中，底 面 4BCD为 平 行 四 形,4 B=24。=2,N ZMB=60,PD=B D,且 PD J底 面 4BCD.(I)证 明：BCJ.平 面 PBD；(II)若 Q为 PC的 中 点，求 三 棱 锥 4-PBQ的 体 积.(1)见 解 析.1 4【解 析】(I)在 44BD中，由 余 弦 定 理 得 BD2=BA2+AD:-2BA-ADCOSLA 3A DZ+BDZ=AB2,：.AD LBD,VAD/BC,ABC 1 BD.又：，P D、底 面 ABCD,BC u 平 面 ABCD，PD 1 BC.ZPD

39、 C BD=D,.：BC L平 面 PBD.(I D 因 为 Q为 PC的 中 点,所 以 三 棱 锥 A-PBQ的 体 球 A-P B Q与 三 棱 锥 A-QBC的 体 积 相 等,1 1 1 1 _ 14-Q B C=-A B C 5Vp-A B C=P-A B C D=7 X 3 X 1 X X 73=彳 fl/勺 4 J 4.KJ所 以 三 棱 锥 A-PBQ的 体 积 A-BQ 4_ 12 1.如 图，三 棱 柱 A B C M I B Q 中，侧 棱 垂 直 底 面，AACB=90Q A CD C 2A A 1,D是 棱 1的 中 点.(1)证 明：平 面 1 平 面 BDC；(

40、2)平 面 分 此 棱 柱 为 两 部 分，求 这 两 部 分 体 积 的 比.略;(2)1：1【解 析】证 明：(1)由 题 意 知 BC 1 平 说 CC也 又 u 平 面 ACC_A_DC、1 BC.由 题 设 知 乙 乙 DQ=D C=45szCDCi=90,魏 的 1 DC,又 DC nBC=C：.DC 平 面 BDC,又 D Q u平 面 BDC)二 平 面 3D Q 1 平 面 BDC(2)设 棱 锥 B-DACCi的 体 积 为 V i,A C=1,由 题 意 得 匕=1 x x l x l=i又 三 棱 柱 4B C-&B 1C 1的 体 积 v=i,(V-Vj):V1=1:

41、1二 两 部 分 体 积 的 比 为 1:1.2 2.如 图，四 棱 锥 P-4B C D中，平 面 PDC J.底 面 4BCD,&PDC是 等 边 三 角 形,底 面 4BCD为 梯 形，且 Z.DAB=60,AB/CDt DC=AD=2AB=2.p(1)证 明：BD PC.(2)求 4到 平 面 PBD的 距 离.迈(1)见 解 析；(2)2【解 析】(1)由 余 弦 定 理 得 BD=V F+2=-2 x 1 x 2cos60=靠,.B D:+A B:=AD=,.zA B D=90=,BD 1 AB.v AB/DC./.BD 1 DC.又 平 面 PDC J_底 面 A B C D,平

42、 面 P D C。底 面 ABCD=DC,BD u底 面 ABCD,.BD 1平 面 PDC,又 PC u平 面 PDC,A B D I PC.（2）设 A到 平 面 PBD的 距 离 为 h.取 中 点 Q,连 结 P Q,PDC是 等 边 三 角 形，.P Q，DC.又 平 面 PDC J底 面 4 B C D,平 面 PDC C 底 面 4BCD=D C,P Q u平 面 PDC,.P Q，底 面 4 B C D,且 PQ=/,由（I）知 平 面 P D C,又 P D u平 面 PDC,.。心。.1 1 1 1/.VA-P B D=VP-ABD,即=3 X 2X 1X A/3XA/3.

43、,_ A/3h 解 得 2.2 3.等 边 三 角 形 4BC的 边 长 为 6,。为 三 角 形 4BC的 重 心，EF过 点。且 与 BC平 行，将 AAEF沿 直 线 EF折 起,使 得 平 面 4 EF 1 平 面 BCFE.求 证：B E J.平 面 40C；求 点。到 平 面 4BC的 距 离.(1)见 解 析(2)5【解 析】因 为。为 三 角 形 ABC的 重 心，所 以 月。1 B C,因 为 EF B C,所 以 月。1 EF,因 为 平 面 AEF 1平 面 BCFE,平 面 A E F评 面 3CFE=EF,AO u平 面；4EF,所 以 月。1平 面 B C F E,

44、因 为 BE u平 面 3 C F E,所 以 AO 1 BE,因 为。为 三 角 形 A8C的 重 心，所 以 CO 1 BE,因 为 月。,CO u平 面 40C M。c C0=0:所 以 B E，平 面/WC;(2.等 边 三 角 形 月 BC的 边 长 为 6,0为 三 角 形 月 BC的 重 心,:.AO=BO=C 0=2、61 _ LS*OBC=x 6 x v3 二 33由 可 知 4。1 0 C,AC=2V6同 理 AB=2、后 1 一=x 6 x V15=3V150-ABC=匕-O b C即 W X 3v l5 X h=；x 3、e x 2事 解 得 人=字 24.如 图，在

45、四 棱 锥 P-ABCD中，在 底 面 ABCD中，AD/BC,ADCD,Q 是 AD的 中 点，M 是 棱 P C 的 中 点,1PA=PD=2,BC=2AD=1,CD=G,PB=#.(I)求 证：平 面 PAD_L底 面 ABCD；(II)试 求 三 棱 锥 B-PQM的 体 积.。是 且 0 的 中 点，.四 边 形 BCDQ是 平 行 四 边 形，.CD/BQ.-：-C Df;.BQ J.AD.又 PA=P D=2,AD=2,是 期 的 中 点，故 PQ=VJ.又 QB=CD=P B=、俗，由 勾 股 定 理 得 PQ 1 QB.又 PQ c=Q,.BQ，平 面 PAD,.平 面 尸

46、以 0 J底 面 且 SC。；(2)；BC=-.A D=1 C【解 析】证 明：D BC,2,0 是 一 5 的 中 点，四 边 形 BCDQ是 平 行 四 边 形，J.CD/BQ.-：-C D f J.BQ LAD.又 PA=P D=2,AD=2,是 即 的 中 点，故 P Q=S.又 QB=CD=、氏 PB=、另，由 勾 股 定 理 得 PQ 1 QB.又 PQ CUD=Q,.BQ J _平 面 PAD,.,.平 面 尸-也 一 底 面-始 8.(H)-：PA=P D=2,。是 且 0 的 中 点，.：.平 面 尸，切 一 平 面 以 灰,平 面 PAD评 面 8c=/W,.PQJ 平 面

47、 ABCD.又 M是 PC的 中 点，故 心-PQM=YP-BQC M-BQ C=YP-BQC-ZP-BQC=P-BQC=三 二 三 X 1 X X 3=l 7 TBC=J2,BCD=-2 5.如 图，在 四 棱 锥 P-ABCD中，P力，底 面 4BCD,PA=AB=2,2,以 E为 圆 心，1为 半 径 的 圆 过 点 4c.证 明：BEL PAE.(2)若=求 三 棱 锥 P-4D E的 体 积.巫 见 解 析(2)3【解 析】(1)由 P4 1底 面 A B C D,可 知 P4 1 BE.又 以 E为 圆 心，1为 半 径 的 圆 过 点 4 C,所 以 E4=EC=1.又 因 为 乙 BCD=7.B C=y/2,所 以 BE=、区 在 44E B中，A EZ+E B2=ABZ,所 以“EB=90s,即 AE 1 EB.又 A E cP R=A,所 以 B E，平 面 PAE.(2)由(1)可 知,AEB=90,所 以 c o sd E D=cos(90-乙 BEC)=sin乙 BEC.又 由 已 知 及(D 可 知，BC=、BE=限,所 以 cosU E D=sinrBEC=-.在/月 ED中，设 ED=x,则 由 余 弦 定 理 得 AE：+ED：-24E-EDcosAED,即 针-x-2=0,3即 3/一 2 j6-6=0,