2021陕西省西安中学高考数学（理科）模拟试卷解析版.pdf

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1、【下 载 后 获 高 清 完 整 版 独 家】2021陕 西 省 西 安 中 学 高 考 数 学(理 科)模 拟 试 卷 解 析 版 2021年 陕 西 省 西 安 中 学 高 考 数 学 模 拟 试 卷(理 科)(三)一、选 择 题(共 12小 题).1.已 知 集 合 彳=4-彳-6忘 0,B=x|x-1 b 0)的 上 顶 点 与 右 顶 点 的 直 线 方 程 为 x+2 y-4=0,则 椭 圆 C的 标 准 方 程 为()2 2A.二 上 716 4 12 2Rx 120 4 12 2C.三 二 二 124 82 2D.X+丫 32 8JT JT5.将 函 数 y=sin(2 x r

2、)图 象 上 所 有 的 点 向 左 平 行 移 动 W 个 单 位 长 度，再 将 所 得 图 象 O 0上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍(纵 坐 标 不 变)，则 所 得 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为 C.产 cosx27rB.y=sin(4 x-)D.尸 sin4x6.在 四 边 形 力 8。中，川 5。，设 正:入 标+|1屈（入，W E R）.若 入+艮 A.2 3c-iD.717.已 知 三 个 村 庄 彳，B，C 构 成 一 个 三 角 形，且 48=5 千 米，8c=12千 米，/。=13千 米.为 了 方 便 市 民 生 活，现 在

3、 48C内 任 取 一 点 时 建 一 大 型 生 活 超 市，则 M 到 4 B,。的 距 离 都 不 小 于 2 千 米 的 概 率 为（）8.若 sin（-a）则 sin（-+2Q）=（）b 3 6A.当 B.平 C.零 D,13 3 3 33a29.设 正 项 等 差 数 列 为 的 前 项 和 为 S”，且&-2S3=2.则 的 最 小 值 为（）a2A.8 B.16 C.24 D.362 2 历 10.已 知 椭 圆 巳 表-l（a b o）的 右 焦 点 为 F,离 心 率 为 与，过 点 F 的 直 线/交 椭 圆 a b/于 4 B 两 点,若 A B 的 中 点 为（1,1

4、）,则 直 线/的 斜 率 为（）A.-4 B./C.-4 D.I4 4 2ax,x0,aK1,函 数/（x）=24A+alnx*）1在 口 上 单 调 递 增，则 实 数 X x a 的 取 值 范 围 是（）A.2，W5 B.a5 C.3a5 D.lE=28C=2JF（如 图 1）.将 四 边 形 力。铲 沿 4 D 折 起，连 结 BE、BF、CE（如 图 2）.在 折 起 的 过 程 中，下 列 说 法 中 错 误 的 个 数 是（）E 力。平 面 BEF；8、C、E、/四 点 不 可 能 共 面：若 以，。凡 贝 IJ平 面 平 面/8CO：平 而 BCE与 平 面 BEF可 能 垂

5、 直.A.0 B.1 C.2 D.3二、填 空 题(共 4小 题)13.在/8 C 中，角 4 B,。所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,若 C-，b=J，c=g,则/14.若 二 项 式(4 乂 2+小)6的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 用,则 心=.15.已 知 直 线/、与 平 面 a、。，/ua,muB，则 下 列 命 题 中 正 确 的 是(填 写 正 确 命 题 对 应 的 序 号).若/小，则 a 仇 若/_L i，则 a_LB：若 LLB，则。_ 1伙 若 a _ L 0,则/w_La.(0,0 x 0)(|X2-9|-3,X1恰 有 两 个 不 相 等 的 零 点

6、，则 实 数，的 取 值 范 围 为.三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 17 21题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.(一)必 考 题 17.已 知 力 8 c的 内 角 4 8,C的 对 边 分 别 为 a 1,c,a=l.设 户 为 线 段 力。上 一 点，CF=V2BF.有 下 列 条 件:C=l：b=V 5：a 2+b 2-V 5 a b=c 2.请 从 以 上 三 个 条 件 中 任 选 两 个，求 S 肝：SA C F的 值.18.

7、在 如 图 所 示 的 几 何 体 中，平 面/C E _ L平 面/B C D,四 边 形/B C D 为 平 行 四 边 形，ZC A D=9 0,E F/B C,E F.B C,AC=2,A E=E C=(I)求 证：A,D，E,厂 四 点 共 面，且 平 面 4O F_L平 面 COE：(2)若 二 面 角-水;-产 的 大 小 为 45,求 点。到 平 面 4 b 的 距 离.19.“公 平 正 义”是 社 会 主 义 和 谐 社 会 的 重 要 特 征，是 社 会 主 义 法 治 理 念 的 价 值 追 求.“考 试”作 为 一 种 公 平 公 正 选 拔 人 才 的 有 效 途

8、径，正 被 广 泛 采 用.某 单 位 准 备 通 过 考 试(按 照 高 分 优 先 录 取 的 原 则)录 用 30 0名 职 员，其 中 2 7 5个 高 薪 职 位 和 2 5个 普 薪 职 位.实 际 报 名 人 数 为 2 0 0 0名，考 试 满 分 为 4 0 0分.本 次 招 聘 考 试 的 命 题 和 组 考 非 常 科 学，是 一 次 成 功 的 考 试，考 试 成 绩 服 从 正 态 分 布.考 试 后 考 生 成 绩 的 部 分 统 计 结 果 如 下：考 试 平 均 成 绩 是 180分，360分 及 其 以 上 的 高 分 考 生 3 0名.(1)求 最 低 录

9、取 分 数(结 果 保 留 为 整 数)；(2)考 生 甲 的 成 绩 为 2 8 6分，若 甲 被 录 取，能 否 获 得 高 薪 职 位？请 说 明 理 由.参 考 资 料：(1)当 X N(H，。2)时，令,则 丫 N(0,1).(2)当 Y N(0,I)时，P(Y W 2.I7)比 0.985,P(Y W I.2 8)七 0.900,P(Y W I.09)比 0.863，P(Y W I.0 4)=0.85.2 12 0.已 知 椭 圆 C：三-+y 2=i，点/(,)，B(,2).2 2(I)若 直 线/与 椭 圆。交 于 M,N 两 点，且/为 线 段 M V的 中 点，求 直 线

10、的 斜 率；(1 1)若 直 线 上 y=2 x+t(z O)与 椭 圆。交 于 P,。两 点，求 A B P。面 积 的 最 大 值.2 1.已 知 函 数 f(x)u C x Z-a x H n x+Z a x V x 2,其 中 0 a e.I)求 函 数/”)的 单 调 区 间：(2)讨 论 函 数/(x)零 点 的 个 数：(3)若/(x)存 在 两 个 不 同 的 零 点 x i，X i，求 证：xiX2e2.（二）选 考 题：请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分.|选 修 4 4：坐 标 系 与 参

11、数 方 程|22.在 平 面 直 角 坐 标 系 X。中，圆。的 圆 心 为（0,1）,半 径 为 1,现 以 原 点 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系.（1）求 圆。的 极 坐 标 方 程：27T（2）设 A/,N 是 圆 C 上 两 个 动 点，满 足，求 QM+ION）的 取 值 范 围.|选 修 4 5：不 等 式 选 讲|23.已 知 函 数/（x）=|x+l|+|2x-1|.1）求 不 等 式/2 2 的 解 集：（2）若 天 4 7,0,使 得 不 等 式/（x）2 a|x-3|成 立，求 实 数 的 最 大 值.参 考 答 案 一、选 择

12、题（共 12小 题）.1.已 知 集 合 力=“丫-6辽 0,8=x|x-lV 0,则/U B=()A.(，3 B.(，2 C.(-8,j)D.-2,I)解：V 集 合/=xk?-X-6W0=x-2WxW3，8=小-IVO=巾 V I,/U 8=x|x W 3=(-8,3,故 选：A.2.若 复 数 二 满 足，（1+力=-2 3 则 口=（）A.V 2 B.V 3C.2D.V s解：得:=音=（；智 国 产 T，-kl=V2-故 选：A.3.若 干 年 前，某 教 师 刚 退 休 的 月 退 休 金 为 6000元，月 退 休 金 各 种 用 途 占 比 统 计 图 如 下 面 的 条 形

13、图.该 教 师 退 休 后 加 强 了 体 育 锻 炼，目 前 月 退 休 金 的 各 种 用 途 占 比 统 计 图 如 下 面 的 折 线 图.已 知 目 前 的 月 就 医 费 比 刚 退 休 时 少 100元，则 目 前 该 教 师 的 月 退 休 金 为（）A.6500 元 B.7000 元 解：设 目 前 该 教 师 的 退 休 金 为 x 元，则 由 题 意 得：6000X|5%-xX 10%=100.解 得 x=8000.故 选：D.4.过 椭 圆 C：三 座 片 l（ab0）的 上 顶 点 与 右 顶 点 的 直 线 方 程 为 x+2y-4=0,则 椭 圆 C 的 标 准

14、方 程 为（）2 2 2 2A.工 上=1 B.工-上=116 4 20 42 2 2 2D.三+2_=i32 8 1解：根 据 题 意，直 线 方 程 为 x+2y-4=0,与 x轴 交 点 为（4,0）,与 y轴 的 交 点 为（0,则 椭 圆 C 的 右 顶 点 坐 标 为（4,0）,上 顶 点 坐 标 为（0,2）,则。=4,6=2,则 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 邕 I：16 4故 选：A.jr jr5.将 函 数 y=sin（2 x-）图 象 上 所 有 的 点 向 左 平 行 移 动 七 个 单 位 长 度，再 将 所 得 图 象 o u上 所 有 点 的 横 坐 标 伸

15、 长 到 原 来 的 2倍（纵 坐 标 不 变），则 所 得 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为 C.y=cosx27rB.y=sin(4x)D.y=sin4.vjr TT解：函 数 y=sin（2 x y）图 象 上 所 有 的 点 向 左 平 行 移 动 二-个 单 位 长 度，O 0得 到：j=sin（2（X吟）吟】=sin（为 1 号）再 将 所 得 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍（纵 坐 标 不 变），则 所 得 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=cos（K吟）.故 选：A.6.在 四 边 形 AB C D 中,AB/CD

16、,设 菽=入 屈+而（入，W R）若 入+U=点 则 摄 jA 23B-2D.1I解：AB/CD.二 设 愕 卜*,则 前=*屈，0，,AC=A D*-D C=*AB+AD=A A B+A D,.dX=k.I H=1v X+n=-1.4 1，1+*=，即 A=点 3 0故 选：C.7.已 知.三 个 村 庄 4 B,。构 成 一 个：角 形，且/8=5千 米，8c=12千 米，力。=13千 米.为 了 方 便 市 民 生 活，现 在 入 旬?。内 任 取 一 点 M 建 一 大 型 生 活 超 市，则 M 到 力，B,C 的 距 离 都 不 小 于 2 F 米 的 概 率 为（）A-5 B-I

17、 C 1飞 D.记 解：在 中，N8 为 直 角，且 彳 6=5,BC=2,AC=3,则 AABC 的 面 积 S=、X 5X12=30,若 在 三 角 形 45C内 任 取 一 点，则 该 点 到 三 个 定 点 4 B,C 的 距 离 不 小 于 2,则 该 点 位 于 阴 影 部 分.则 三 个 小 扇 形 的 圆 心 角 转 化 为 180,半 径 为 2,则 对 应 的 面 积 之 和 为 S=九 二 22=2口,2则 阴 影 部 分 的 面 积 S=30-2n,rmiuLS侬 吆 D,阴 影 30-2兀 冗 则 对 域 的 概 率 P=-.=-=1 ABC 8 15故 选：C.V6

18、 n 2V2 r V3 n 1A.-B.C.-T-D.F3 3 3 3解：因 为 s in(3-。)=4，0 37 T 7 T IT T T 冗 所 以 sin(+2CL)=sin(-r 2a)=cos(2a)1 2sin2(-r-a)6 2 3 3 0故 选：D.、29.设 正 项 等 差 数 列 为 的 前 项 和 为，且&-2 S 3=2,则 一 色 的 最 小 值 为（）a2A.8 B.1 6 C.24 D.36解：设 等 差 数 列 的 公 差 为 d，工 6X5d 3X2d由 S6-2SJ=2 可 得：2 2(3fll 0.3a1(a2+6d)2(a2:_2-=3 X-=3 x _

19、 2a2 a2 i4且 仅 当 时 取 Ja223)=1 6,当 故 选：B.21 0.已 知 椭 圆 七 a2 r三=l（a b O）的 右 焦 点 为 凡 离 心 率 为 要，过 点 户 的 直 线/交 椭 圆 y 2于 4,8 两 点,若 4 5的 中 点 为（1,1）,则 直 线/的 斜 率 为（）A-4 A 4C。2D.1解：设 力 5,yO,B 5,”），则 的 中 点 坐 标 为（+、2 丫 1+丫 2）,2 2由 题 意 可 得 X|+X2=2,J|+J2=2,将 4 8 的 坐 标 的 代 入 椭 圆 的 方 程:2 2xi 力 1a2+.2 1a bv2 v 2x2 2-H

20、-=1a 2 bk 22作 差 可 得 士 2a2 2 2W-0所 以 y i-y-2xrx2b2b2 xl+x2 b22,aa2 丫 产 2又 因 为 离 心 率 e=J 圣 所 以 1-=4.a 2 a2 42所 以 即 直 线 川 3的 斜 率 为-J,a2 4 4故 选：A.ax,x 0,a l,函 数/(x)=-2 4+)在 R上 单 调 递 增，则 实 数 x x a 的 取 值 范 围 是()A.2WaW5 B.o5 C.3a：当 x N l时，/G)=2 x-与 十 二:红 等 更 2 0 恒 成 立，X*X令 g(x)=2x34-ax-4,x l,+),则 p(x)=媒+。，

21、Va0,:&(x)0,即 g(x)在 1,+8)上 单 调 递 增，g(x)-g=2+-4=a-2,要 使 当 x N l时，/(x)2 0 恒 成 立，则 a-2 2 0,解 得。22.函 数/(X)在 R 上 单 调 递 增，还 需 要 满 足 a 1 l书+a ln l，即 aW5,综 上，。的 取 值 范 围 是 2WaW5.故 选：A.12.如 图 所 示，在 直 角 梯 形 8CEF中，NCBF=NBCE=90,彳、。分 别 是 8尸、C 上 的 点，/O 8C,且 片 8=。=28。=2/1尸（如 图 1）.将 四 边 形 沿 折 起，连 结 BE、BF、CE（如 图 2）.在

22、折 起 的 过 程 中，下 列 说 法 中 错 误 的 个 数 是（）图 1 图 2 4C 平 面 BEF:8、C、尸 四 点 不 可 能 共 面：若 E F L C F,则 平 面/）/平 面 ABCD：平 面 BCE与 平 面 切 明 可 能 垂 直.A.0 B.1 C.2 D.3解：对 于，在 图 2 中 记 4 C 与 5。的 交 点（中 点）为 O,取 8E的 中 点 为 连 结 缺?，易 证 得 四 边 形 4OM6 为 平 行 四 边 形，即 4C QW,尔:平 面 故 正 确：对 于，如 果 四 点 共 面，则 由 8C 平 面/OE尸=8。力。=4。=凡 与 已 知 矛 盾，

23、故 不 正 确：对 于，在 梯 形 力）尸 中，易 得 E E L F D,又 EF上 C F,户 _1平 面 CO3 即 有 CD_L.（?_!平 面 则 平 面/。尸 _1_平 面 力 BCD,故 正 确；对 于，延 长/尸 至 G 使 得/E=FG,连 结 BG、E G,易 得 平 面 3c_L平 面/出 凡 过 户 作 FN工 BG F M 则 项 J平 面 BCE.若 平 面 8CE_L平 面 BEF,则 过 F 作 直 线 与 平 面 BCE垂 直，其 垂 足 在 6上，矛 盾，故 错 误.故 选：C.二、填 空 题：把 答 案 填 在 对 应 题 号 的 横 线 上.13.在 4

24、8C中，角 4 B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,若 c f，b=a,c=,则 力 _ 5几 一 I T 解：b=M，c=对,由 正 弦 定 理 sinB sinC,可 得：sinB 可 得：sinfi=-2L B 为 锐 角，可 缺 B=z若 二 项 式 苧 2+?6的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 小，则 j；3小 升=124解：二 项 式(零 乂 2+)6 的 展 开 式 的 通 项 丁 叶=凫(亭*2)6-.(/)=由 12-3/*=0,得 r=4.则 J；3Fdx=；f3x2dx=x3 II=53-13=124.故 答 案 为：124.15.已 知 直 线/、机

25、与 平 面 a、0,/ca,mcp,则 下 列 命 题 中 正 确 的 是(填 写 正 确 命 腮 对 应 的 序 号).若/3 则 a 仇 若/_1_机 则 a_L0：若 LLB，则。_10：若 a_L0,则/n_La.解：aCB=，/，故 不 正 确：aC0=，m/n,/w,则/_L/w,故 不 正 确：由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理，若 M R，PlOalp.故 正 确：若 a_L0,aOp=w由 而 面 垂 直 的 性 质 定 理 知，/_!_ 时.ma.故 不 正 确.故 答 案 为：.16.已 知 f(x)=xl，g(x)=|lnx I,若 函 数 y=/(x)+g(x)-

26、nt(x0恰 有 两 个 不 相 等 的 零 点，则 实 数 小 的 取 值 范 围 为(加 3-3,0)U 5+8)解：由 y=/(x)+g(x)-/w=0 得 g(x)-m=-f(jr),0.0 xl设。(x)=-/(x)=x2-6,lx3设/(x)g m(3),即 此 时 两 个 函 数 有 3 个 交 点，不 满 足 条 件.当 m 0 时，即 用 V O 时，要 使 两 个 函 数 行 两 个 交 点，则 此 时 只 需 要 满 足 1(3)=加 3-m加 3-3,此 时 加 3-3m 0 时，此 时 当 OVx这 I时，两 个 函 数 一 定 有 一 个 交 点，则 此 时 只 要

27、 在 xl时 有 一 个 交 点 即 可，此 时 当 x-1,/(I)-*-5.w 1)=-m此 时 只 要 满 足 小(1)=-m W-5,即 即 可，综 上 实 数 m 的 取 值 范 围 是 m 5 或 加 3-3m0,故 答 案 为：(历 3-3,0)U5,+8),三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 17 2 1题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、2 3题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.（一）必 考 题 17.已 知 48。的 内 角 4,8,。的 对 边 分 别 为 c,。

28、=1.设 E 为 线 段 力。上 一 点，CF=V5BF,有 下 列 条 件：c=l：b=V 3：a2+b2-V3ab=c2.请 从 以 上 三 个 条 件 中 任 选 两 个，求 SM M：SAC 的 值.解：选 0,则 a=c=L b=V，2.2.2 i由 余 弦 定 理 可 得：c o s 4 8 C=a+c-b=-,2ac 2又 N/BCW(0,n),所 以 所 以=C=-.o b在 ABC F中,由 正 弦 定 理 得 C F=B FsinZCBF sinC因 为 C F W B F,所 以 sin/CBF=.2元 又 NCBFVN/18C=W-,冗 57r所 以 NC8/=丁，所

29、以/46尸=七-.4 12 5 亢 冗 冗 7T 7T 71 T C V 2 W 6所 以 sinNXBbusin_77T=sin 1.1.)=sin-Tcos,-1 cos-r-sin-=-12 6 4 6 4 6 4 4十 日 5冗 冗 1+J3于 是 SA4：SAcw=sinZJ5F：sinZCBF=sin：sin-=-.12 4 2选，因 为 a=L b=M，a2+b2-yib=ci.所 以 c=.由 余 弦 定 理 可 得 cosC=a2+b2-c2,V 32ab 2又 NCW(0,K),所 以。=七，o7T 2打 所 以/=C=-7-，所 以 N d 8 c=n-C=丁.6 3CF

30、 RF在 8 8 中，由 正 弦 定 理 可 得.打 二=月 7,sinZ.CBF sinC因 为 C F=V B F,所 以 s in N C 8 F=.又 4 C B F/A B C=2-元,所 以 N C B F=W,所 以/尸=铝.4 12 一.5 兀 冗 打 7T 7T 7T,JT V 2+J 6，外 以 sin NABF=s i n-s i n(-T-H)=sin T-COS.icos.sin=-.12 6 4 6 4 6 4 4于 是 S：SAcw=sinZ ABF：sinZC B F=sin-：sin-=-41.选，则 a=c=1,(r+b2 y3ab=c21则 a2+b2-d

31、=ib,由 余 弦 定 理 可 得 8 5。=1+/1=里 2ab 2JT又 NCW(0,i r),所 以。=-,o7T因 为 a=c,所 以 4=。=一 二，027T所 以 N/6 C=TT-/C=3,CF BF在 6%中，由 正 弦 定 理 可 得 弓 不=一 号 sinZ.C B r sinC因 为 C F=V B F,所 以 sinNCBF=当.27T又 NCBFV N/I8 C=-,所 以 NC8尸=二,所 以 4 125 冗 7T 7T 7T 7T 7T 7T J 2+V 6所 以 sinN 48F=sirr;二=s in(,)=sin-7-cos.cos-r-sin-.12 6

32、4 6 4 6 4 4于 是 SAJ附：SAcw=sin ZABF：sin Z CBF=s in：s in-=了 当.1 8.在 如 图 所 示 的 几 何 体 中，平 面 4CE_L平 面 N 8 C D,四 边 形 力 友 7)为 平 行 四 边 形，ZCAD=90,EF/BC,EF=（1）求 证：A,D,E,广 四 点 共 面，且 平 面 力。EF_L平 面（2）若 二 面 角-4。的 大 小 为 45,求 点。到 平 面 彳 b 的 距 离.:EF/BC,:.EF AD,/,D,E,产 四 点 共 面,VZC4D=90，：.ACAD,平 面 平 面 彳 8。，平 面/CECI平 面/8

33、CO=4C,D _ L平 面 VCEc fil ACE,：.CEA.AD,；AC=2,A E=E C=,.,.C2+/f2=/IC2,：.CELAE,：AECAD=A,AD,ADEF,C_L平 面 CEu平 面 C D E,：.平 面 力。产 _1 _平 面 CDE.(2)平 面/CE_L平 面/BC。，ZC4D=90 如 图 以 力 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xy=,设 力 0=2。，则%(0.0.0),C(2,0.0),E(1,0,1),F(1,-a，1),AC=(2,0,0),A F=(L-s 1)，设 平 面 力。尸 的 法 向 量 7=(X,y,二)，n l

34、(m*AC=2x=0=如 一 则，,.取 y=L 得 口=(0,1,a),(m*AF=-ay+z=0平 面 力 C 的 一 个 法 向 量(0,1.0).二 面 角 4C 尸 的 大 小 为 45,.e.cos45解 得。=1,；AD=2,屈=(0,2,0),:D(0.2,0),平 面 力 的 法 向 量 7=(0，1，1)，“公 平 正 义”是 社 会 主 义 和 谐 社 会 的 重 要 特 征，是 社 会 主 义 法 治 理 念 的 价 值 追 求.“考 试”作 为 种 公 平 公 正 选 拔 人 才 的 有 效 途 径，正 被 广 泛 采 用.某 单 位 准 备 通 过 考 试(按 照

35、高 分 优 先 录 取 的 原 则)录 用 3 0 0名 职 员，其 中 2 7 5个 高 薪 职 位 和 2 5个 普 薪 职 位.实 际 报 名 人 数 为 20 00名，考 试 满 分 为 4 0 0分.本 次 招 聘 考 试 的 命 题 和 组 考 非 常 科 学，是 一 次 成 功 的 考 试，考 试 成 绩 服 从 正 态 分 布.考 试 后 考 生 成 绩 的 部 分 统 计 结 果 如 下：考 试 平 均 成 绩 是 180分，360分 及 其 以 上 的 高 分 考 生 3 0名.(1)求 最 低 录 取 分 数(结 果 保 留 为 整 数)：(2)考 生 甲 的 成 绩 为

36、 2 8 6分，若 甲 被 录 取，能 否 获 得 高 薪 职 位？请 说 明 理 由.参 考 资 料：(1)当 X。2)时，令 丫=八 J,则 丫 N(0,1).(2)当 y N(0.1)时，户(y 2.1 7)-0.9 8 5,P(Y W L 2 8)七 0.900,P(Y W L09)20.863,P（YW1.04）0.8 5.解：(1)设 考 生 的 成 绩 为 X,则 由 题 意 可 得 X 应 服 从 正 态 分 布，即 X N(1 8 0,。2),令 y=X甯 0.,则 Y N(0,I).由 360分 及 以 上 高 分 考 生 3 0名 可 得 P(X 2 3 6 0)=溢 丁

37、，即 尸(X V 3 6 0)=1-溢 不=0.985.即 有 产(X V 360/180)=0.9 8 5,则 360118-2 1 7,可 得。比 83,可 得 N(180.8 3 2),设 最 低 录 取 分 数 线 为 x o,则 尸(庐 xo)=P即 有 尸（yv-x2n-1-8-0-）=1-73Q7Q-=0.85,即 有 Xn-1-8-0-=1.04,83 2000 83可 得 必=266.32,即 最 低 录 取 分 数 线 为 266；（2）考 生 甲 的 成 绩 286267,所 以 能 被 录 取，IQAP（XV286）=P（YV；）=P（y yi）：A 为 线 段 M N

38、 的 中 点，XI+X2=2,y+yi=1两 式 相 减 可 得 1 5+X2）X I-X2）+（ji+yz）（yi-户）=0,即（xi-刈）-（H-户）=0，2xL LZ2=.rx2i.（ii）联 立，y=2 x+tJ 9，消 去 y 得，9x2+3tx+2 C/2-1)=0.=1由 4=(8/)2-4X9X2(z2-I)0,可 得 0 户 9,._ 8 t _ 2 t 2-2 X+X 2=-XX2=-，,r a=7 1+22 V(xl+x2)2-4 xlx2=|-=9*V 9-t2 4BPQ 的 面 积 S=/x TQ x x 冬 醇 V 9-t2X*=*石 二？，WV 2.9-t2-*-

39、t2_ V29 2 2，当 且 仅 当 9-户=凡 即，=乎 时 取 等 号，故 8P。面 积 的 最 大 值 乎 2 1.已 知 函 数 f（x）=（，x2-ax）l n x+2 a x 其 中 OVaVe.（I）求 函 数/（x）的 单 调 区 间：（2）讨 论 函 数/（K）零 点 的 个 数：（3）若/（X）存 在 两 个 不 同 的 零 点 XI，X 2,求 证：MX2V/.解：（1）函 数/（X）的 定 义 域 为（0,+8）,*.*/*（x）=（,x a）/ix+-+-2o-=（x-a）加+x-a+2 a-普，=(x-a)e 时，/(幻 0./(x)单 调 递 增：当 aVVe

40、时，/G)0./(x)单 调 递 减，所 以/（x）的 增 区 间 为（0,a）,e,+8）,减 区 间 为（a,e），(2)取 8=力 1,2 a,则 当 xW(0,6)时，x-aVO,/nx 0,/(x)=x i/x-a)lnx+x(2a-)0又 因 为 O V q V e,由（I）可 知/（x）在（0,a）上 单 增，因 此，当（0,a,恒/（x）0,即/（x）在（0,a上 无 零 点 下 面 讨 论 x a的 情 况:当 0 a 0,/（e）0,根 据 零 点 存 在 定 理，/（x）有 两 个 不 同 的 零 点.当=十 时，由/(x)在(a,e)单 减，(e,+)单 增，且/(e)

41、=0,此 时/(x)有 唯 一 零 点 e.若；a 0,此 时/(x)无 零 点 综 上，若 0 2 导 仆)有 两 个 不 同 的 零 点：若。=寻/(外 有 唯 一 零 点 e：若 詈:a g,/G)无 零 点.(3)证 明:由(2)知，0 a?,且 0 V x iV e 4,4o2构 造 函 数 F(x)=/(x)-/0 x?-/V O,所 以 g(x)0,又 Inx-1 0 恒 成 立，即 尸(k)在(a,e)单 增.2于 是 当 aV xV e 时，F(x)F(e)=0,即/(x)V/(且 一)，x2因 为 M W(a,e),所 以/(x i)e,=e.且/(x)在(e,+)单 增，

42、X1 ee2 e所 以 由/(X 2)/(),可 得 乂 2(h e,x 1 x 即 xxi(r.（二）选 考 题：请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分.|选 修 4 4:坐 标 系 与 参 数 方 程|2 2.在 平 面 宜 角 坐 标 系 xQ y中，圆 C 的 圆 心 为（0,1）,半 径 为 1,现 以 原 点 为 极 点，x 轴的 正 半 轴 为 极 轴 建 汇 极 坐 标 系.(I)求 圆。的 极 坐 标 方 程：9JT(2)设 M,N 是 圆。上 两 个 动 点，满 足 N M O N=/*，求 IO

43、M+QM的 取 值 范 围.解：(1)圆 C 的 圆 心 为(0,I),半 径 为 1,x=P cos 8所 以 圆 的 方 程 为(y-1)2=1,根 据,y=Psine，转 换 为 极 坐 标 方 程 为 p=2sine.x2+y2=P 2 设“g，0),N(p 2，故|OM+|CW=pi+p2=sin 8+sin(8由 于 0 8 冗,故 0 8所 以 三 0喽(等 故 S i n(e 4)e 9 1.选 修 4-5：不 等 式 选 讲 I23.已 知 函 数/(x)=|x+l|+|2x-1|.(1)求 不 等 式/”)2 2 的 解 集：2)若*曰-1,0,使 得 不 等 式/(x)2 亦-3成 立，求 实 数。的 最 大 值.解：(1)/(x)22 即 为|x+l|+|2x-1|22,等 价 为 或 卜 x 2 x+l+l-2 x 2 x+l+2 x-l 2解 得 xW-1 或-IVxWO或 则 原 不 y等 式 的 解 集 为(-8,0U仔 2+8).(2)Bx-I.0.使 得 不 等 式/(x)2 如-3|成 立，2-x等 价 为 1,0 x+1+1-2x2。(3-x)HP 成 立，3-x设 g(x)=.工 TWxWO,则 g(x)=1+1,由-4Wx-3W-3,可 得 Wl即 g（X）的 最 大 值 为 管,所 以 即。的 取 值 范 围 是（-8,