2018年北京各城区高三摸底考试数学(理)试题及答案(精品9个城区).pdf

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1、海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)2 0 1 8.1本试卷共4页，1 5 0 分。考试时长1 2 0 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分(选择题，共40分)一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)复数l +2 i(A)2-i(B)2 +i(C)-2-i(D)-2+i(2)在极坐标系Q x 中，方程p =2 s i n。表示的圆为(3)执行如图所示的程序框图，输出的A值为(A)4 (B)5 (C)6 (D)7(4)设加是不为零的实数，则是“方 程 三-匕=1 表示双曲线”的

2、m m(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知直线x-y +加=0与圆。：/+丁=1 相交于z,8两点，且 A O Z B 为正三角形,则实数机的值为z A X 百 /、V 6 /、百 十 yfi V 6 _i x y/6(A)(B)(C)或-(D)或-2 2 2 2 2 2(6)从编号分别为1,2,3,4,5,6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为(7)某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中:三棱锥的体积为!三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥四个面的面积中最大的值是正2所有正确的说法是(A)(

3、B)(C)(D)俯视图(8)已知点厂为抛物线C：/=2px(2 0)的焦点，点K 为点尸关于原点的对称点，点M 在抛物线C上，则下列说法错送的是(A)使得A A/E K 为等腰三角形的点V 有且仅有4个(B)使得&1 7 F K 为直角三角形的点M有且仅有4个(C)使得=的 点 河 有 且仅有4个4J T(D)使得NMK F=-的点M有且仅有4个6第二部分(非选择题，共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共3 0分。丫 2(9)点(2,0)到双曲线亍一/=1 的渐近线的距离是.(1 0)己知公差为1 的等差数列 4 中，q,a2,包成等比数列，则。“的 前 1 0。项的和为.(1 1)设

4、抛物线C：V=4x 的顶点为O,经过抛物线。的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C交于4,B 两点、,则|方+砺|=.(1 2)已知(5 x-l)”展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为6 4：1,贝 I n=.(1 3)已知正方体/8 C D-的棱长为W 是棱8 C 的中点，点 P在底面A B C D内，点0在线段4 c l 上.若尸”=1,则p。长度的最小值为.I x-j+2 0(1 4)对任意实数攵,定义集合Q=3 O C,N 8 =J7,=工，N C=生.3 6(I )求。C 的值；(I I )求 t a n N/B C 的值.(1 6)(本小题1 3分)据中国日报网报道：20

5、 1 7年 1 1 月 1 3日，T O P 50 0 发布的最新一期全球超级计算机50 0强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“神威 太湖之光 完全使用了国产处理器.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 1 2次测试，结果如下：(数值越小，速度越快，单位是M IP S)(I )从品牌工的1 2次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7 的概率;测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3691 0411 21 74661 4品牌B28542581 551 21 021(H)在 1 2次测试中

6、，随机抽取三次，记 X 为品牌力的测试结果大于品牌5 的测试结果的次数，求 X 的分布列和数学期望E(X)；(川)经过了解，前 6 次测试是打开含有文字与表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字与图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.(1 7)(本小题1 4分)如图 1,梯形 Z 8CZ)中，A D /B C ,C D BC,B C =C D =1,A D =2 ,E 为 A D中点.将A A B E沿B E翻折到.B E的位置，使A.E =AD如图2.(I )求证：平面_ L平面8 C D E；(I I)求/与平面4 C。所成角的正弦

7、值；(I I I)设M、N分别为&E和8 C的中点，试比较三棱锥M-4。和三棱锥N 4 C。(图中未画出)的体积大小，并说明理由.已知椭圆C：刀2+2八=9,点尸(2,0).(I)求椭圆C的短轴长与离心率：(H)过(1,0)的直线/与椭圆C相交于、N两点，设用N的中点为T,判断1 7 P l与|力0|的大小，并证明你的结论.(1 9)(本小题1 4分)已知函数/(x)=2 e ax2 2 x 2(I )求曲线y =/(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(I I)当时，求证：函数/(x)有且只有一个零点；(I I I)当。0时，写出函数/(x)的零点的个数.(只需写出结论)(2 0)(本小题1

8、 3分)无穷数列/满足：/为正整数，且对任意正整数，。用为前项4,。2,，氏 中 等 于 的 项 的 个 数(I )若q=2,请写出数列&,的前7项；(I I)求证：对于任意正整数M,必存在左c N*,使得4 M；(I I I)求证：“q=1”是，存在相1 /5(1 0)50 50 (1 1)2 (1 2)6(1 3)而(1 4)(-1,1)-2,1 三、解答题：本大题共6 小题，共 80分.1 5.(本小题1 3 分)解：(I )如图所示，Z D B C =Z A D B-Z C =.1 分3 6 6故 ND B C =NC ,D B =D C.2 分设 OC=x,则。8 =x,D A =3

9、x.在 A/O8中，由余弦定理A B2=D A2+D B2-2 D A DB-c os Z A D B.3 分即7 =(3 x)2+x2=7/，.4分解得x =l ,即。C =l.5 分(I I)方法一.在 A N O B 中，由工。18,得 NA B D NA D B =6 0。,故TT IT TTZ A B C =Z A B D +Z D B C -+-=-.7 分3 6 2在A48C中，由正弦定理A C _ A Bsi n Z.ABC si n Z.A C B即-=里，故si n NZ 8 C =g,si n N A B C 工 721 0 分由 N/8Ce（5，?r）,得 cosN/1

10、 8 C =-7=,11分t a n 48。=一 一2产=2Vr3V 3 31 3 分方法二.在4103中，由余弦定理d DW+BD-D2A B B D 2.V 7-1 2 V 77 +1-918分4 M由 NA B D e（0,兀），故 si n Z A B D =产2 V 7故 t a n 48。=一 3G1 1 分t a n Z A B D+t a n /故 t a n Z A B C=t a n（48O+-）=-6 1 -t a n Z.ABD-t a n 6-3拒+与21 +3 石#31 3 分方法三：B C2=B D2+C D2-2 B D -C D -cos Z B D C =3

11、,B C =6c idBC-CT2B A B C V 78分2因为(0,)，所以s i n 4B C =广V 71 1 分所以 tan48C=-2 =-2 j JG 31 3 分1 6.(本小题小分)(I )从 品 牌/的1 2次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试 1、2、5、6、9、10、11,共 7 次7设该测试结果打开速度小于7为事件/,因此尸(/)=e .3分(11)12次测试中，品牌力的测试结果大于品牌5的测试结果的次数有：测试 1、3、4、5、7、8,共 6 次随机变量X所有可能的取值为：0,1,2,3尸（x=o）=C3色C 0 J1盘11C 2cdp（x=l）=皆922

12、CC2尸（X =2）=,=J922P（X =3）=r0C3 1.7 分 C 1 2 11 11随机变量X的分布列为X0123P1T T9229221T T.8分（X）=1x 09+二 x l +?9-x 2+1x 33=-.10 分11 22 22 11 2(HI)本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.13 分.标准1：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述(这两种品牌的处理器打开含有

13、文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度)标准2：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述(这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动)标 准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值

14、进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品 牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B,品 牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品 牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品 牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B,品 牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标 准5：会用品牌A

15、这1 2次测试结果的平均值与品牌B这1 2次测试结果的平均值 进 行 阐 述（品牌A这1 2次测试结果的平均值小于品牌B这1 2次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）标 准6:会用品牌A这1 2次测试结果的方差与品牌B这1 2次测试结果的方差进行 阐 述（品牌A这1 2次测试结果的方差小于品牌B这1 2次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）标 准7：会用前6次测试中，品 牌A测试结果大于（小于）品 牌B测试结果的次数、后6次测试中，品 牌A测试 结 果 大 于（小于）品 牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品 牌A小于品牌B的 有2次，占1/3.后6次测试中

16、，品 牌A小于品牌B的有4次，占2/3.故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B,品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）标准8：会用这1 2次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品 牌B测试结果的次数 进 行 阐 述（这1 2次测试结果中，品牌A小于品牌B的 有6次，占1/2.故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）参考数据期望前6次后6次1 2次品牌A5.5 09.8 37.6 7品 牌B4.3 31 1.8 38.0 8品 牌A与品 牌B4.9 21 0.8 3方差前6次后6次1 2次品牌A1 2.3 02 7.3 72 3.1 5品 牌B5.0 73 1.7 73 2.0 8品 牌A

17、与品牌B8.2 72 7.9 717.（本小题14分）(I )证明：由图 1,梯形 Z 8 C O中，A D U B C ,C D I B C,B C =,A D =2,E为ZO中点，B E L A D故图 2,B E 1 AE,B E A.D E.1 分因为&E I D E=E,AE,D Eu 平面 4。七.2 分所以8 E _ L平面.3分因为8Eu平面8cOE,所以平面4Q E，平面8 c O E .4分（II）解一：取。中点0,连接。4，0N.因为在 A 4 O E 中，AE =A1 D=D E=1,0 为 D E 中所以4OL OE因为平面A,DE 1平面B C D E平面 A,DE

18、 f l 平面 B C D E =D EX40u平面4。七所以4。J _平面8 C Q E因为在正方形8cD E中，。、N 分别为D E、8c的中点,所以O N J.O E建系如图.则 4(0,0,孚)，5(1-1 0),C(l,1,0),0(0,；,0),(0,-1,0).5 分乙 乙 乙 乙 乙uuir 4 5 =(1,-,u u i r i%u u u4。二（0,5，-三），z）c =（i,o9o）,设平面AC D的法向量为=（x,y9z），则rr u u u-H A、D =0r u u n ，即n-D C =0i G _n2,2 2，令 z =l 得，y =x=0所 以;=(0,百,1

19、)是平面4CD 的一个方向量.7 分UUU 1 L L嗯 r AR.n V3 V6 八c o s -r=产 =.9 分AB-n V2-2 4所以45与平面4 C。所成角的正弦值为手.10 分(1 1)解二：在平面4。石内作由B E _ L 平 面 建 系 如 图.1h则 4(0，掾)，8(1,0,0)，C(l,l,0),0(0,1,0)(0,0,0).5 分u u i r 1 也45=（1,-,-）UUIT 1 、/3 UUU4。=（0,5，一 三），oc=（i,o,o）,设平面4CD 的法向量为;7 =(x),z),则rr u u i rn AD=0r u u nn-D C 01 V 3即

20、5 r z=x =0令 z =1 得，y=V3 ，所 以;=（0,、万,1）是平面4CD 的一个方向量.7 分UUU I L L喷r A B n 百 6 八c o s =udir r=产 =.9 分AxB-n V2.2 4/7所以A、B与平面A.CD所成角的正弦值为苧.10 分(Il l)解：三棱锥A 1-4C。和三棱锥N-4CD 的体积相等.理由如下：1 J3 1 uuir i J3方法一：由（0,上,口），N（l,0）,知 脑V=（l二,一），则4 4 2 4 4UUU 1MN =0 11 分因为M N N平面&CD，.12分所以仞V平面&CD.13分故点M、N到平面4 C D的距离相等，

21、有三棱锥M-4 C。和N 4 c。同底等高,所以体积相等.14分方法二：如图，取。E中点P,连接M P,NP,MN.因为在A 4 Q?中，M,P分别是O E的中点，所以MP 因为在正方形8C O E中，N,P分别是6C,D E的中点，所以NP/CD因为 M PnN P=P,MP,N P u 平面 MNP,A D,CQ u 平面4CD所以平面的VP 平面4。.11分因为MN u平面MNP,.12分所以N/平面&CD.13分故点M、N到平面4。的距离相等，有三棱锥M 4C D和N 4C。同底等高，所以体积相等.14分法二方法三：如图，取4。中点0,连接用N,因 为 在M Q E中，M,0分 别 是

22、4 E,4。的 中 点，所以且MQ =；E D因为在正方形3 cO E中，N是S C的中点，所以NCEDB.NC=LED2所 以 MQ H NC 且 MQ =NC ,故 四 边 形MNC Q是 平 行 四 边 形，故MN/C Q.11 分因为C 0 u平面4C D,M N N平面4 C D.12分所 以 平 面4C D.13分故点M、N到平面4 8 的距离相等，有 三 棱 锥 一4C D和N-4 C。同底等高，所以体积相等.14分1 8.（本小题13分）丫2 2 Q Q解：（I）C：4-y-=1,故/=9,b2=,c2=,9 9 2 223有4=3,b=c =6.2 分2椭圆C的短轴长为26=

23、372,.3分离心率为e=注.5分a 2（II）方 法1：结论是：当直线/斜率不存在时，/:x =l,|773|=0 0故国+工2=4公2 k2+1xx22 k 2-92人2+1.9分U U U ULlUlPMPN=(X-2)(工2-2)+凹=(X 2)(x 2-2)+k(X|-1)(%2 1)=(k +1)%,%2(左 一 +2)(X+%2)+后-+4=(F+1).(F+2).L _ +X+42 公+1 2标+1故N M P N 9 0 ,即点P在以A/N为直径的圆内，故|TP|7 A/|(II)方法2：结论是：|7尸|00|.当直线/斜率不存在时，l:x=l,TP =0 0.9 分1/、2

24、左 2，/八 k“5(石+)=为，为=/1)=声 讦.10分|7尸|2+=熹2)2+=等产=穿祟.11分 T M =(M N 1)2=；(公+1)-X2)2=；(F +I)(玉+x2)2 4再/1,2 八 ，4产 2 k 2 -9、62+1)(16比2+9)1 6/+2512+94 2 k2+2A2+1 (28+1)2(2公+1)2.12分此时，1 7 M l2-1 7 P l2=16左4+25二+9 4r+9 左 2+4（2+1 （2左 2+1）21244+16左2+5八-a 0（2左2+1）2.13分LTMTP19.(本小题14分)(I )因为函数/(x)=2e-尔-2x-2所 以/(x)

25、=2e 2a x 2.2 分故/(0)=0,/(0)=0.4 分曲线y=/(x)在x =0处的切线方程为歹=0.5分(II)当a0 时，令g(x)=/0.6分故g(x)是R上的增函数.7分由 g(0)=0，.8 分故当 x 0 时，g(x)0 时，g(x)0.即当 x 0 时，/(x)0 时,f(x)0.故/(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+co)单调递增.10分函数/(x)的最小值为/(0)由 /(0)=0,.11 分故/(x)有且仅有一个零点.(III)当0 1时，/(X)有两个零点.14分2 0.(本小题13分)(1)若4=2,则数列%的前7项为2,1,1,2,2,3,1 .3分(

26、I I )证法一假 设 存 在 正 整 数 使 得 对 任 意 的 左e N*,ak，矛盾.故对于任意的正整数，必存在左eN*,使得.8 分(11)证法二假 设 存 在 正 整 数 使 得 对 任 意 的 左 e N ,ak M,矛盾.8 分(III)充分性：若4 =1,则数列缶”的项依次为1,1,2,1,3,1,4,1,，k 2,1,k-,1,k,1,特别地，数列 4 的通项公式为k,n=2 k-l，即=1,n=2 k n1,n=2 k故对任意的w N*(1)若为偶数，则an+2=an=(2)若为奇数，则a,”=+3=a.“+/2 2综上，恒成立，特别地，取机=1 有 当 加 时，恒有(+2

27、 2%成立.(10 分)必要性：方法一假设存在4=左（左1）,使得“存在me N”,当2 加时，恒有q+2 N a”成立“则数列列“的前前+1 项为k 1 1,1,2,1,3,1,4,1,2,1,k 1,1,k ,2,2,3,2,4,2,5,2,左2,2,k 1,2,k 12-1 项2 3 项3,3,4,3,5,3,6,3,k 2,3,k 1,3,k ,，k 2,k 2,k l,k 2,k ,k 1,k 1,k ,k2 A-5项5项3项后面的项顺次为q+1,1,左+1,2,+1,3门.,1+1,1 2,1+1,、-1,左+1用,k+2,1,左 +2,2,攵 +2,3,.，女 +2,%2,女 +

28、2,k l,k+2,左，2A项k+3,1,4+3,2,4+3,3,.,%+3,左一2,%+3,左一1,左 +3,左，k+,1,左 +2,2,左 +/,3,.,左 +/,左一2,上 +t,k T,k +t,k ,-故对任意的s=1,2,3,k-2,k-l,k,re N*,%+2(-ST=&+，ak2+2(t-)k+2s-Sni对任意的?，取/=+l,其中 x 表示不超过x的最大整数，则2k 加2 kn=k2+2 k t,则加，此时左，an+2=1令有an。+2，这与。4+2矛盾,故若存在m w N*,当 2加时，恒有an+2 an成立，必有q =1.13分方法二 若存在meN”,当 2加时，a“

29、+22a“恒成立，记m a x a,%,=s.由 第（2）问的结论可知：存在k w N ,使得为s （由s的定义知%2加+1）不妨设为是数列也,中第：个大于等于s +1的项，即4,%t均小于等于以则为+1=1.因为左一12，所以即124_ 1且4 T为正整数，所以4 T =1.记4=/2 S +l,由数列MJ的定义可知，在,T 中恰有/项等于1.假设q W 1,则可设%=他=0 =1,其中1 4 。=左 一 1，考虑这，个1的前一项，即为T，q,T，,0,因为它们均为不超过S的正整数，且f 2 S +1 ,所以&T中一定存在两项相等,将其记为。，则数列 见 中相邻两项恰好为（a,1）的情况至少

30、出现2次，但根据数列%的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2,不能为1,所以矛盾！故 假 设 不 成 立，所以=1,即必要性得证！.1 3分综 上,“q =1”是“存在m e N*,当一加时,恒有4+2汁a“成立”的充要条件.北京市西城区2017 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2018.1第I 卷(选 择 题 共 40分)一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合4=x10 x 3,5=x|1 x 2,则=(A)x|-1 x 3(C)x|0 x2(B)x|-l x 0(D)x|2x32.下列函数中，在区

31、间(0,+8)上单调递增的是(A)y=-x+l(B)y=|x-1|(C)y=sinx3.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为(A)2(B)6(C)30(D)270(D)y=X|S =!，*=2|S=&x|_ k =2 k-l r z r/输 His/,、一束)4.已知也为曲线Cx=3+cos6,y=sin。(。为参数)上的动点.设O 为原点，则10M l的最大值是(A)1(B)2(C)3(D)4x-1N 0,5.实数x,y 满足x+y-1 2 0,则2 x-y 的取值范围是x-y+1 2 0,(A)0,2(B)(-oo,0C)-1,2(D)0,+o)6.设a,b是非零向量，且a”不 共 线.

32、则“|a|=|b|是“|a+2b|=|2a+b|”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件7.己知/,8 是函数y=2 的图象上的相异两点.若点Z,8 到直线y 的距离相等，则点A,B的横坐标之和的取值范围是(A)(,1)(B)(,2)(C)(-1,+)(D)(-2,+)8.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作H+)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作O H)的乘积等于常数1 0*.已知 pH值的定义为pH=-lgH+,健康人体血液的pH值保持在7.357.45之间，那么健康人体血液中的卫可

33、以为OH-(参考数据：lg20.30,lg30.48)(A)-(B)-(C)-(D)2 3 6 10第 I I 卷(非选择题 共 110分)二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30分.9.在复平面内，复数2-对应的点的坐标为.1-i10.数列%是公比为2 的等比数列，其前项和为S,.若%=；，则an=；55=11.在月8 c 中，“=3,ZC=,ZBC的 面 积 为 遗，贝 Uc=3412.把4 件不同的产品摆成一排.若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有一种.（用数字作答）13.从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其

34、三视图如图所示.该几何体的表面积是.2x+x,-1 4.已知函数/（x）=1 若 c=0,则/（X）的值域是_；若/（X）的值,c6 0)过点4(2,0),且离心率为正7 V(I)求椭圆C的方程：(I I)设直线了 =履+百 与 椭 圆C交 于 两 点.若 直 线x=3上存在点尸，使得四边形P 4M N是平行四边形，求左的值.20.(本小题满分13分)数列 4 ：%,2,，可(4)满 足：q=1,an=m,aM-ak=0 或 1(%=1,2,H-1).对 任 意 都 存 在s j,使得q+勺=a,+q ,其中i j s j e 1,2,，心且两两不相等.(I)若?=2,写出下列三个数列中所有符

35、合题目条件的数列的序号；1,1,1,2,2,2；1,1,1,1,2,2,2,2；1,1,1,1,1,2,2,2,2(I I)记S=aI+%_|-若 切=3,证明：5 2 0；(I I I)若加=2 0 1 8,求的最小值.北京市西城区2017 2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.1一 选择题;：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.D3.C4.D5.D6.C7.B8.C二、填空题:：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.(-1,1)3110.2T ,411.V1312.813.3614.p l注：第10,14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：

36、本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.1 5.(本小题满分13分)解：(I)因为 f (x)=2sin2 x-cos(2x+y)=1-cos 2x-(cos 2x-cos y -sin 2x-sin y)4分V3.3.,=sin2x cos 2x+1 L 52 2分=y/i sin(2x -)+1 7分所以/(X)的最小正周期丁 若 =*8分TT(I I)因为乙，2LLI、I 兀-兀 2兀 八所以 一一W2x 一,103 3 3分当2 x-Z =工，即 工=变 时，113 2 12分“X)取得最大值为V5+1.13分1 6.(本小题满分13分)解：(I)记事件A为“从

37、 表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，分在 表1的20个 日 期 中,有15个日期的升旗时刻早于7:0期所以 P(A)=U15-33.320 4分(H)X可能的取值为0,1,2.4分记事件B为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，5 1 2则 P(B)=-,P(B)=1-P(B)=-.5分P(X=0)=P(B)-P(B)=；P(X=1)=C；(1)(l-j)=1；P(X=2)=P(B)P(B)=g.8分所 以X的分布列为：X012441P9994 4 1 21(X)=0 x+l x,+2x=.10分i 1?注：学生得到X8(2,?,所以E(X)=2

38、x=,同样给分.(I l l)s2 2-4 4因为=所 以 尸=三8 c =(-三,0)，DC 5 J J J所以 F(|,p0).由（I）得平面4 8 G的法向量为4 c =（O，1，-G）设平面ACF的法向量为=（x,y,z）,叫n-J Ci=0,n AF-0,3y+V3z=0,4-x +y=0.3 3即2令 y=l,则 x=2,z=V3,所以 =(2,1,6).11 分所以|C OS/I，4C|=E .13|加 2分由图知 二面角尸的平面角是锐角，所 以 二面角8-4 G-尸的大小为45.14分1 8.(本小题满分13分)解：(I)当。=1 时，/(x)=ev-sinx-1,所以 fx)

39、=ev(sin x+cos x).2分因为/z(0)=l,/(0)=-1,4分所以曲线y=/(x)在点(0J(0)处的切线方程为y=x-l.5分(II)fx)=ettt(asinx+cosx).6分由 /(x)=0,得 asinx+cosx=0.7分因 为a 0,所 以 八 今H0 分当 xe (0;)1 _)(4,兀)时，由 asi n x+c osx=0 ,得 tan x=.2 2 a所 以 存 在 唯一的/(工,兀)，使 得 tan x0.92a分/（X）与/（x）在区间（0,兀）上的情况如下:X(0,x0)%（%,兀）/（X）+0/（X）/极大值所 以“X）在区间（0,x）上单调递增，

40、在区间（与,兀）上单调递减.1 1分an因为 吗）=e 1。一1 =0,1 2分且/（0）=/（n）=-l 0,得 k2 -.2口 8辰 8且E，中 2=叼 9分所 以|M V|=J/+1）（玉+炉-你 引.=2 川 6 4/一 32V （4严+1）2,分因 为 阿=“|,所 以M +D器亲=标.整理得 1 6 -5 6 +3 3 =0,1012分解 得k-，或k =+.1 32 2分经检验均符合4 0,但 时 不 满 足 是 平 行 四 边 形，舍去.2所以 k =,或 k =土.1 42 2分2 0.(本小题满分1 3 分)解：(I ).3分注：只 得 到 或只 得 到 给 1 分,有错解

41、不给分.(I I )当加=3 时，设数列4“中1,2,3 出现频数依次为外,%,%，由题意(i =l,2,3).假 设 知 /2),与已知矛盾，所 以 名。4.同理可证：%24.5分 假 设%=1，则存在唯一的k e 1,2,使 得%=2.那么，对V s,/,有 q+%=1+2*4,+q (A,s,f 两两不相等)，与已知矛盾，所以分22.7分综上：名 e 4,%M 4,%2 2,3所以 S =*g,M 20-E 8/=1分(I I I)设1,2,2018出现频数依次为4,%o i 8-同(H)的证明，可得名%2,%。工2 2,则2026.取 4 =%2,则 可 选 取 q,-2,a,=%-1

42、；同 样 的，如果4 2017 吗=2018,则可选取q =a.+,a,=2017 ,使得q +a.=as+at,且i j s j 两两不相等；如果l q W%2 O I 8,则可选取4=q-l,=%+l,注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立.综上，对 任 意,总存在s j,使得+%=q+q ,其 中 s,f e 1,2,且两两不相等.因此纥满足题目要求，所以的最小值为2026 .13分东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测高 三 数 学（理科）2018.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷

43、和答题卡一并交回。第一部分（选 择 题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合4=-2,-l,0,I,2,3,5=x x 2,则=（A）-2,3（B）-2,-1,2,3（C）0,1（D）-1,0,1,2）（2）函数y=3sin（2x+；）图象的两条相邻对称轴之间的距离是（A）2兀 （B）7 1 （C）（D）（3）执行如图所示的程序框图，输出的x值为(A)1(B)2 是输出X结束（4）若X J满足，y 3 2x,x+y 2 3,则x-J的最小值为yW3,(A)-5(B)-3(C)-24V+1（5）已知函数则/（x）的（A

44、）图象关于原点对称，且在 0,2 ）上是增函数（B）图象关于y轴对称，且在 0,+oo）上是增函数（C）图象关于原点对称，在 0,+oo）上是减函数（D）图象关于y轴对称，且在 0,+8）上是减函数（6）设 为 非 零 向 量,则“|a+M=|a-4 是 a力=0 的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的 N体积为/正（主）视图侧（左）视图俯视图（8）现有“个小球，甲乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球,规定谁抓到最后一个球谁赢.如果甲先抓，那么以下推断正确的是（A）若 =4,则

45、甲有必赢的策略（B）若=6,则乙有必赢的策略（C）若=9,则甲有必赢的策略（D）若=1 1,则乙有必赢的策略第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若复数（l+i）（a-i）为纯虚数，则实数。=.（10）（l+2x）s的展开式中，的系数等于.（11）已知 4 为等差数列，S”为其前项和，若=6,4+延=4,则 石=(1 2)在极坐标系中，若 点/(凡.(?0)在圆=2(：0 5 6外，则?的取值范围为.2(1 3)已知双曲线C：%2-方=1(60)的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1,则b=；若双曲线C与C不同，且与。有相同的渐近线，则G的方程可以为.(

46、写出一个答案即可)(1 4)如图1,分别以等边三角形Z6 C的每个顶点为圆心、以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形/8 C称为勒洛三角形Z 8 C,等边三角形的中心P称为勒洛三角形的中心.如图2,勒洛三角形Z 8 C夹在直线y=0和直线)=2之间，且沿x轴滚动.设其中心尸(x,y)的轨迹方程为y=/(x),则/(x)的最小正周期为y=/(x)的图象与性质有以下描述：中心对称图形；轴对称图形；一条直线；最大值与最小值的和为2.其 中 正 确 结 论 的 序 号 为.(注：请写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(1

47、5)(本小题1 3分)在Z 8C 中，角 所 对 的 边 分 别 为a,b,c,a=2 ,2 s i n Z =s i n C.(I)求C的长；(I I)若B为钝角，c o s 2 C=-,求 小 台。的面积.4(1 6)(本小题1 3分)中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段.货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用.某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了 20 1 7年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表:周.周二周三周四周五开盘价1 641

48、651 701 72a收盘价1 641 641 691 731 70(I )已知这5 天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求。的值；(I!)在(I )的条件下，从这5 天中随机选取3 天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为或求4的分布列及数学期望E 金(I I I)在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这 6 天收盘价的方差最小.(只需写出结论)(1 7)(本小题1 4分)如图，在四棱锥E-血 9中，平面/O E _ 1 _ 平面48cQ分别为线段/。，。石的中点.四边形6 co。是边为 1的正方形，A E =D E ,AE I D E.(I )求证：C M 平面ABE；(I I)求直线Q

49、E与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值；(I I I)点 N在直线力。上，若平面8M V _ L 平面磔，求线段AN的长.(1 8)(本小题1 3分)己知函数+；x-xl n x.(I )求曲线y=/(x)在 点(1,/(I)处的切线方程;(I I)若/(x)6 0)的 离 心 率 等 于 等，经过其左焦点产(-1,0)且与X轴不重合的直线/与椭圆C 交于M,N两点.(I )求椭圆C的方程：(I I)O为原点，在*轴上是否存在定点。，使得点尸到直线Q M,QN的距离总相等？若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.(20)(本小题1 3分)已知数列，4,(22)满足qeM且 1 W%数列5

50、:也(N 2)满足/=,4)+犬=L 2,)，其中K q)=0,7(令)(2=2,3,表示%,。2,，中与q不等的项的个数.(I)数列/：1,1,2,3,4,请直接写出相应的数列8；(I I)证明：=(川)若数列Z 相邻两项均不等，8 与4 为同一个数列，证明：4 =i(i =l,2,/).东城区20 1 7-20 1 8学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准(理科)一、选 择 题(共 8 小题，每小题5 分，共 40 分)(1)A (2)C (3)D (4)B(5)B(6)C(7)A(8)C二、填 空 题（共 6小题，每小题5 分，共 30分）(9)-1(10)4 0(11)