2021年高考数学三轮冲刺（新高考专用）专题07 数列（解析版）.pdf

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1、预测07 数 列高考预测概率预测 题型预测选择题与填空题仝 解答题 考向预测2 0 2 1 年高考仍将考查：1、等差数列与等比数列定义、性质、前项和公式。2、考查由递推公式求通项公式与已知前项和或前n项和与第n项的关系式求通项为重点，特别是数列前项和S,与%关系的应用。1、等差数列与等比数列定义、性质、前 N项和公式。2、考查由递推公式求通项公式与已知前W 项和或前项和与第项的关系式求通项为重点，特别是数列前项和s“与%关系的应用。3、运算错位相减法或者裂项相消法以及分组求和求数列的和4、数列与不等式等知识点的结合应试必备数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点

2、考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要.。知识必备等差数列1、定义：数列 4 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称 4 是等差数列，这个常数称为 4 的公差，通常用d表示2、等差数列的通项公式：4=4+(1)4,此通项公式存在以下几种变形：(1)an=am+n-i n)d,其 中 已 知 数 列 中 的 某 项

3、 和公差即可求出通项公式(2)d=a a,n：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差n-m(3)=4二%+1：已知首项，末项，公差即可计算出项数d3、等差中项：如 果 成 等 差 数 列，则人称为a,c的等差中项(1)等差中项的性质：若人为a,c的等差中项，则有c 。a即2 7?=a+c(2)如果 4为等差数列，则V N 2,e N*,a“均为 一,a,川的等差中项(3)如果 q,为等差数列，则 am+an=ap+aq m +n=p+q4、等差数列通项公式与函数的关系：a“=q+(l)d =d-+4 d,所以该通项公式可看作册关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的

4、性质。5、等差数列前项和公式：J=生上，此公式可有以下变形：2an+a/、(1)由m+=+q =册+4可得：S =%+q =+)，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知4，%,只需已知序数和为+1的两项即可一，/,n(n-t)(2)由 通 项 公 式=4可得：Sn=-几=。/+-d作用：这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式 S,=+(；l)d =1 “2+(q即s “是关于项数的二次函数(e N*),且不含常数项，可记为Sn=A n2+B n的形式。从而可将S“的变化规律图像化。(3)当=2 左 时.，S 2 1 =+；d(2 Z 1)因为 q+1=2%:.S2k_t=(2k-)ak而

5、%是S 2 1的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当=2k l l c w N )时S“=4+；2k.2k =ka+4+J ,即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析,另一个角度是从前项和公式入手分析等比数列1、定义：数列 叫从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数4（4。0），则称 4 为等比数列，这个常数q称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为q =l的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：an=qn-,也可以为：an=.qnm3、等比中项：若。力工成等比数列

6、，则人称为a,c的等比中项（1）若b为a,c的等比中项，则有q =b c（2）若%为等比数列，则V w N*,a6均为a”,演 的等比中项（3）若 q,为等比数列，则有根+=p +q o =apaq4、等比数列前项和公式：设数列 4 的前项和为S“当4=1时，则 4 为常数列，所以S“=qa -qn当q w l时，则S =-Li-q可变形为：s“=4 0二4-%-,设=!一，可得：Sn=k-q-k 1-q q-1 q-q-5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列 q中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列 ,则有 数 列 如，,（攵为常数）为等比数列 数 列 。力

7、（/I为常数）为等比数列，特别的，当/1=一1时，即为等比数列 数列 a,也“为等比数列 数 列|4|为等比数列6、等比数列的判定：（假设 为 不是常数列）定 义 法（递推公式）：3=q（e N*）（2）通项公式：a“=hq（指数类函数）（3）前项和公式：S =k q-k数列的求和的方法（1）等差数列求和公式：5“=4；=4 ；（p +g =+1）仆n(n-l),S -a.n+-d 2（2）等比数列求和公式：S,=1 -qa n,q=1（3）错位相减法：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“

8、错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体 会 到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和（4）裂项相消：凡的表达式能够拆成形如q=/（）-/（九一七）的形式（女=1,2,），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多（5）分组求和 如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可

9、将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有（-1）”,多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和,则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：若数列 4中的第女项与倒数第k项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点,1、对于选择题中的选项，可以运用代入法进行排除。2、对于解答题若涉及到求和问题一定眼验

10、证，确保答案的正确。真题回顾1、【2019年高考全国I卷理数】记S 为等差数列 4 的前项和.已知其二0，=5,则A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.S=-n2-2n2【答案】A【解析】由题知，S=4a”x4x3=04 1 2,解得，a5=4 +4d=5a 31，an=2n-5,Sn=n2d=2选A.2、【2019年高考全国IH卷理数】已知各项均为正数的等比数列 q 的前4项和为1 5,且a5=3%+4%,则 a3=A.16 B.8C.4 D.2【答案】C 2 3【解析】设 正 数 的 等 比 数 列 的 公 比 为q,则”+aq=,axq=3aq+44=1，o解得

11、 ,=4,故选c.匕=23、【2019年高考全国n i卷理数】已知各项均为正数的等比数列 ,的前4项和为1 5,且a5=3a3 +4q,则 a3=A.16B.8C.4 D.2【答案】C【解析】设正数的等比数列。,的公比为q,则 2 34+4夕 +。夕 +Waq4=3 aq2+4=1 5解得4=1,）.,a3=axq =4,故选 C.匕=24、【2 0 2 0年高考浙江】已知等差数列 服 的前项和为S“公 差dwO,且 如 =2cl2-2atd=2d（d _%）,当q =d时，C正确；对于 D,b；=（%+%）2=（2 q +1 3 4）2 =+52a d+1 6 9 t/2,b,b8=（6+%

12、）（5 +i Z 6）=（2。+5 d）（2 q +2 9 d）=4 a；+6S ad+45 d2,b：一 帅 =24d2-I6aid 8 d（3 d-2）.当 d 0 时，ax 0 即 6：-仇 0 ；当 d （）时，q N d ,3 d-2 q =d+2（d q）0，所以 W 匕2（）,D不正确.故选：D.5、【2 0 2 0年高考北京】在等差数列%中，q=-9,4=-L记=444,5 =1 2)，则数列 Zj A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差4 二幺=*2 =2,5 -1 5-1则其通项

13、公式为：%=4 +(-1)。=9+(-1)x 2 =2 n 1 1,注意到 q a2 a3 a4 a5 0 a6=a7 9且由4 c o u j 知g 6,z e N),7由 卢=4 l(i N 7,i s N)可知数列*不存在最小项，由于 4 =-9,a2=-7,a3=-5,a4=-3,a5=-1,a6=1,故数列 1中的正项只有有限项：(=63,方=6 3 x 1 5 =9 4 5.故数列 r中存在最大项，且最大项为看.故选：B.6、【2 0 1 9年高考浙江卷】设。，b e R,数列 满足 尸a,an+=a+bf n e N*则A.当/?=(,。0 1 0 B.当 b =；M o l O

14、C.当b =-2,4()1。D.当h =-4,4 o l O【答案】A【解析】当6=0时，取。=0,则a“=0,e N*.当b 0时，令x =d+8,即 2 +/?=0.则该方程4 =1一劭0,即必存在不,使得片一%+6 =0,则一定存在at=a=x0，使得an+i=a：+b=a”对任意n e N*成立,解方程。2-。+匕=0,得ai y i-4z?2当l+J l-4 4 0时,即9 0时，总存在a =l+J l_ 42 2使 得=4=.=。0 0 时，a2=tz,2+/?/?,则生=；+匕之+匕，%=+b.h+h.-q 2当时，*山+丁+LU2 4|_ U J 2 j 2 1 6,C,i f

15、 i i i -则 1+2+2,91则 C i g =&+1 0 故A项正确.1 1 fill 1(i i )当=一时，令。1二4=0,则。2=，。3=十一 ，4 4(4,421 (1 Y 1 1所以+：=，以此类推，故B项不正确.故本题正确答案为A.7、【2020年高考全国I I卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A.3699 块 B

16、.3474 块 C.3402 块 D.3339 块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为。“，笫一层共有n环,则 4 是以9为首项，9为公差的等差数列，a“=9 +(l)x 9 =9,设为 怎 的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S.，S2-Sn,S3 n-S2 n,因为下层比中层多729块，所以 SMS2.=S2一S“+7 2 9，w3/7(9+27/7)2”(9+18)2(9+18)(9+9)L!|J-1-7292 2 2 2即9/=7 2 9,解得n=9,所以$3 =昆7 =2 7?27)=3 4 0 2故选：C8、【2 0 2 0 年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究

17、过高阶等差数列的求和问题，如数列 约 罗 就是二阶等差数列.数歹打的罗(6 N*)的前3 项和是.【答案】1 0【解析】因为,所以q =1,。2 =3,%=6 .即邑=4 +4 +生=1 +3+6=1 0 .故答案为：1 0.9、【2 0 2 0 年高考江苏】设 飙 是公差为d的等差数列，儿 是公比为4 的等比数列.已知数列%+小 的前n项和Sn=rT-n+T-ne N+),则d+q的值是 .【答案】4【解析】设等差数列 ,的公差为d，等比数列 d 的公比为4,根据题意等差数列 q 的 前 项和公式为P“=na.+叫叫d =g(4 一，等比数列 2 的前项和公式依题意S“=%+Q,即2 -=1

18、2dci,-通过对比系数可知4 24=2上=-1故答案为：4.1 0、【2 0 2 0 年高考山东】将数列 2 项和为_ _ _ _ _ _ _ _.为2.=芈也=-4+2,-q -q q1 +2 1=2 +a 2)1 q+1 ,2 1 2；-q l-/d=21 a,=0_，故q=4.4=2b,=1-1 与 3-2 的 公 共 项 从 小 到 大 排 列 得 到 数 列 则 四 的前n【答案】3/2 2【解析】因为数列 2-1 是 以 1为首项，以2 为公差的等差数列,数列 3 2 是 以 1 首项，以 3 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列%是 以 1为首项，以 6 为公

19、差的等差数列，所以 4 的前项和为+殁=6=32-2，故答案为：3 2n.11、【2019年高考全国【卷理数】记 S,为等比数列 小 的 前 项 和.若.=，4=4，则5=田 121【答案】3【解析】设等比数列的公比为4,由已知q=；,%2=4,所以(；/)2=0 5,又g w。,所以4=3,所 以 _ 弓。-)_ 3。1 q 1 3 312、【2019年高考全国n i 卷理数】记 S”为等差数列 小 的 前 项 和,qWO，=3%，则【答案】4【解析】设等差数列 ,的公差为4因%=3%,所以 q +d=3q,即 2q=d,所 以S1*0 =353+电 为 2100a,u 5x4,25q5%+

20、2 d=4.13,2019年高考北京卷理数】设等差数列 m 的前n 项和为S”若 2=-3,&=-10,则 所Sn的最小值为【答案】0)-10.【解 析】等 差 数 列%中，5=5%=-1 0，得 =-2,又 生=3，所 以 公 差d=a3-a2=1,%=%+2d=、由等差数列 a“的性质得5时,4 +(-1)x(-2严 +nx(-2).可得 3 S.=1 +(-2)+(一2 +.+(-2丫1 一 x(-2)=丁一2).所以 S J.-2)”.n 9 91 6、【2 0 2 0年高考全国ni卷理数】设数列 斯 满足0=3,4+1=3 4-4”.(1)计算仅，。3,猜想 斯 的通项公式并加以证明

21、；(2)求数列 2 小 的前项和S”.【解析】(1)外=5,4=7,猜想q=2 +1,由已知可得a“*i -(2 +3)=3 a -(2 +1),a“一(2 +1)=3 an_ (2/7 1).-5 =3(O -3).因为4=3 ,所以a“=2 +1.(2)由(1)得 2%=(2+1)2 ,所以5 =3 x 2 +5 x 22+7 x 23+-+(2 n+l)x2n.从而2 S=3 x 22+5 x 23+7 x 24+-+(2 n+l)x2,+l.-得-5 =3 x2 +2 x22+2 x25+-+2 x2n-(2 n+l)x2,+,所以 S“=(2-l)2 ”+2.1 7、【2 0 2 0

22、 年高考山东】已知公比大于1 的等比数列 4 满 足%+4 =2 0,4=8.(1)求他“的通项公式；(2)记一为伍“在区间(0,mK m w N*)中的项的个数,求数列 0 的前1 0 0 项和S 1a o.【解析】(I)设%的公比为4.由题设得a“+qq3=2 0,解得q=-g (舍去)，4=2.由题设得q=2.所以 4,的通项公式为q=2 .(2)由题设及(1)知4=0,且当2 加2 同时，bm=n.所以 B o o =b +(b2+4)+(d +b5+d+Z?7)H-F(&2 +4 3 1-6 3)+(d+%$H-卜济)=0+lx2+2 x 22+3 x 23+4 x 24+5 x 2

23、5+6x(100-63)=480.18、【2020年高考天津】已知 a,为等差数列，包 为等比数列，%=1,“5 =5(%-%)也=4(4-4).(I)求%和 也 的通项公式；(I I)记 an的前项和为S ,求证：S 凡.2 S (e N*)；(3%2).,为奇数,(H D 对任意的正整数，设c=S 3=；(+1)2(+2)2,从而 S“S,d i=；(+1)5+2)0,所以 S 凡+2 0,且自+4=64，求q的值及数列”“的通项公式;(II)若儿为等差数列，公差d0,证明：G+C2+G+q,0得心,因此2 5 /I名校预测I一、单选题1、(2021 山东青岛市高三期末)莱茵德纸草书(Rh

24、indPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为()A.3 B.4 C.8 D.9【答案】A【解析】设等比数列为%,其公比为q,a (1 5)3 3由题意知，5=-=9 3,q+a =%,可得 4+4 q=%q-,-q 4.43 2因为q w O,所以1 +4=/,解得4=2或9 =一 (舍去)，当乡=2时，可得.1-2)=93,解得 =3.1-2故选：A.2、(2 0 2 0 届山东省枣庄市高三上学期统考)己知等差数列 叫 的 前 w 项和为S“，若q =1

25、2q=9 0 ,则等差数列 凡 公差”=()3A.2 B.-C.3 D.42【答案】C【解析】V a i=l 2,S 5=9 0,5 x4.,.5 x1 2+-d=9 0,2解得d=3.故选C.3、(2 0 2 0 届山东师范大学附中高三月考)已知数列 4 满足。,用=4+2 且+%+4=9,则lo g3(a5+a7+a9)=()11A.-3 B.3 C.D.一3 3【答案】B【解析】an+i=an+2 一%=2,.数列 4 是以2 为公差的等差数列，:.a5+O j +a 9+3 6/)+(a4+3 e 7)+(a6+3 J)=(2+a4+a6)+9 J ,.a2+aA+ah=9 ,as+t

26、 z7+a9=9 +9 x2=27 ,lo g3 +（+0 ）-lo g3 27 =3,故选：B.4、（20 21.山东泰安市.高三期末）在公差不为0的等差数列 4 中，a,a2,%，a%,成公比为4的等比数列，则 勺=（）A.8 4 B.8 6 C.8 8 D.9 6【答案】B【解析】设等差数列 ,的公差为d,根据q，a2,%,a 2%成 公比为4的等比数列，由%=4a-得 d =3 q ,再结 合%=4%=25 6“求解.【详解】设等差数列 4 的公差为因为外,a2,%,（%,%,成公比为4的等比数列，所 以%=4 囚，所以4+4=4。,得d =3 q.所 以%=4，q =2 5 6 q

27、,所以 4 +（占-l）d =25 6 q .即=2 5 5 q ,解得&=8 6.故选：B.5、（20 21 .山东蒲泽市.高三期末）已知数列 q 的前项和是S,且 S“=2 4 -1,若 4,e （0,20 21）,则称项。“为和谐项”，则数列。,的所有“和谐项的和为（）A.1 0 22 B.1 0 23 C.20 4 6 D.20 4 7【答案】D【解析】由4=邑-5,1（2 2）求出 4 的递推关系，再求出片后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前项和公式求解.【详解】当”之 2 时，a,=Sn-S,_|=2a-l-（2 _l-l）=2a

28、-2 _,，an=2.,，又q=E=2 q-l,%=1,.4 是等比数列，公比为2,首项为1,所以。=2一，由4=2T 20 21 得一l 1 0，即VI I,1-2所求和为S =-=20 4 7 .1-2故选：D.6、（20 21江苏常州市高三期末）已知数列%满足a,=a；-a“+l（e N*）,设c 1 1 1 G 2。1 0 3 z XS“=-+，且59=-5丁，则数列 q的首项的 值 为（）2 3A.-B.1 C.-D.23 2【答案】C【解析】若存在。“=1,由a“+1,则可得a,”=1或=。，c 111 c 2an-3由S=/+或 可得%皿由风=口可得所以%中恒有0,产1由 4+1

29、 =4-+1，可得 4M-1 =%1 1 1111 1所以 7-7 齐=7-，即=-7-7%+|T 4（4-1）%an an-+1-1所以9=;q-l1 1 3所以一7 =2,则q _ l=_,所以q=一4一1 2 2故选：C7、（20 21.江苏省新海高级中学高三期末）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王20 20年1月初向银行借了扶贫免息贷款1 0 0 0 0元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的2 0%,每月底街缴房租8 0 0元和水电费4 0 0 元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年

30、小王的农产品加工厂的年利润为（）（取 1.2=7.5，1.2设=9）A.25000 元 B.26000 元 C.3 2000 元 D.3 6000 元【答案】C【解析】设 1 月月底小王手中有现款为q=（1 +20%）X10000-800-400=10800元，月月底 小 王 手 中 有 现 款 为 +1 月月底小王手中有现款为an+,则 a,”=1.2。,-1 200,即 an+1-6000=1.2（a-6000）,所以数列 4-6000 是首项为4800,公比为1.2的等比数列，2-6000=4800 x 1。，即 勺=4800 x 1。+6000=42000,年利润为 42000-1 0

31、000=3 2000 元，故选：C8、（2021.湖北高三期末）设等比数列 q 的前项和为S“，首项q=l,且 2s2+8 4=3 5 3,已知加,e 上,若存在正整数z,j（l z 所以 m n =m22+n2J2 1因为正整数j），所以 i-220,/-2之1,所以 mn-m 2/-2+n2j2 m+2 n，所以 4 1,m n2 1当1金2时，F 1不成立；m n2 1当加=4,=2或加=3,=3时、F 0,2,此时加 8；n m所以加的最小值为8.故选：C.二、多选题29、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列 ,的公比4=一,等差数列 的首项。=1 2,若%4且 为）4 o

32、，则以下结论正确的有（）A.。9 0 aw C.bw 0 D.b9 b 0【答案】A D【解析】2.等比数列%的公比4=一,；.。9和 0异号，；即）为 且“1 0 40，4和九 中至少有一个数是负数，又4=1 2 0,-b9bi 0,故 D 正确，.加 一定是负数，即4 0 0,（）,则S/S 3 S；【答案】B C【解析】若 S“=/+l,当 22 时，a =2-1,q=2 不满足 a“=2-1,故 A 错误.若S,=3 -1,则 为=（一 ，q=2满足a.=2-3 T,所以 4 是等比数列，故8正确.2,=1若%是等差数列，则 品=9%，故C正确.S S 3 -S；=（1 +q+q）a；

33、（1 +q）-=a；q 故 Z）错误.故选：B C1 1、（2021江苏省新海高级中学高三期末）等差数列%的前项和为S“，若 0,公差4/0,则（）A.若S 4 S 8,则 用 0 B.若S 4=S g,则s$是S”中最大的项C.若 S 4 S s，则 S 5 S$D.若 S 4 S s，则 反 其【答案】B C【解析】等差数列 4 的前项和s“=nat+遮 史 =52，乂4 0,d 20,可得d 0,4+8所以S“是关于的开口向下的二次函数，若S 4S 8,则S”的对称轴 一=6,所以根据对称4+8性可知$2 S s，则 火 0,又d 0,所以可得4=%+d S 6；4=牝-不能判断正负，所

34、以S 3与S 4不能比较大小.故选：B C.1 2.（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列 为 的公比为名其前n项和为S“，前n项积为7；,并满足条件4 1,4201 9。，020 1，皿 二 ，下列结论正确的是（）a2020 1A.S 201 9 V s2020 B.。201 9。2021 -1 。c.T 2020是数列 1中的最大值 D.数列 1无最大值【答案】A B【解析】三I 4 0 时，。201 9。2020=201 9 4 l,a2020 1,七;1,。2020$201 9 9 A 正确;201 9 2021 1 =2020 一1 当 4=1,4=g 时，可得（2%丫 一

35、2册 一2（2册 丫 =0，即（2“川+2”）（2%2 2册）=0,所以 2册+i=2 2”，可 得 用=4 +1，即+。“=1又因为 q=1,所以。“=l+（-l）xl=,3=中，可得I 一+L5 5211 2n+1故A正确，B不正确.当；l=2,=g时，由已知得（2%）2 2 22 2（22乐）=0,即（2%+2x）（2O n+l-2-22a ）=0,所以a,m=2%+1,所以a“z+l=2（a“+l）,所以a.+l=2,所以。=2 -1,所以s=乂 匚I一 =2用一 2,故C正确，D正确.1-2故选：ACD.三、填空题14、（2020.山东省招远第一中学高三月考）设等比数列 4 满足+%

36、=2,4+4=4,则32【答案】y【解析】因为 q+/=2,%+%=4,生+勾 C所以 q=i =2,a+%又4+44=2,2所以q 2 32所 以%=乂24=二.故答案为：15、（2 0 2 1江苏苏州市高三期末）已知数列%的前 项和S“=加会则数列,-1的 前10项和为.【答案】32【解析】r au c 3 十几/*足、o 3（-l）十-1 3 _5 +2 、因为S=色 7），所以S,i=-、-=-（22），C c 3 n+n 3 n-5 7 1+2所 以 可=St l-Sn_=-=3 -1,(2 2),又 =岳=四 口=2满足上式，2所以a“=3-l,(e N*),1 1 I f 1 I

37、 所以-=-=-,册 田(3 1)(3+2)3(3-1 3+2)所以数列 的 前10项 和 为7一二+二l A4+】J 312 5 5故答案为：16、（2 0 2 1河北张家口市高三期末）若数列 q满足：%+4用=5，=1,则a2O2O=-【答案】5 0 4 9.【解析】4+%=5 =%+%=5 -5 .两式相减，得a“+a,i=5.q +%=5 =%=4.故。2020是首项为4,公差为5的等差数列的第10 10项,故出 020=4+(10 10 1)x 5 =5 0 4 9.故答案为:5 0 4 9.17、(2 0 2 0.山东青岛.高三开学考试)把数列 2 n +1中的各项依次按第一个括号

38、一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，进行排列，得到如下排列：(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,2 1),(2 3),(2 5,2 7),(2 9,31,33),(35,37,39,4 1),(4 3),，则 第10 0个 括 号 内 各 数 之 和 为.【答案】1992【解析】根据题意得到，从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，因此第1 0 0个括号内共4个数；故前99个括号内共有数字个数为2 5 x(1+2 +3+4)-4 =2 4 6；又因为所有括号内的数字构成等差数列 4,首项为3,公差为2；因此第10 0个括号

39、内的数字分别为。247，。248，。249，。250，所以“247+”248+“249+。25。=4 x 3+(2 4 6+2 4 7 +2 4 8 +2 4 9)x 2 1992.故答案为：1992.四、解答题18、(2 0 2 0届山东省潍坊市高三上期末)已知各项均不相等的等差数列 4的前4项和为1 0,且4,%，%是等比数列 4 的前3项.求 凡 也；,1 设+*司求%的前项和s”.【解析】(1)设数列 q的公差为d,4 x(4 1)由题忌知：q +a2+a3+a4=4 q+j-d=4 q +6d=10又因为q,%,%成等比数列，所以=a,4(4 +d)=4 (4 +3d),d a、d,

40、乂因为d#0,所以=d.由 得%=l,d =l,所以见=，4=4=1,b、=a、=2,q =b2 =2c,b 1.也=2T.1 ,11、因为C,=2 T+7 =2T+,n n+j n n+)所以 S”=2。+21+2 +1 +-H-F-I I 2 2 3 n n+)1-2 ,1=-+1-1-2 n +1=2 n+所以数列%的前项和S =2 七.19、(2 0 2 1 山东泰安市高三期末)已知公比大于1的等比数列 4的前项和为S“，且S?=14,。3 =8 .(1)求数列 4的通项公式；(2)在。“与。用之间插入个数，使这+2个数组成一个公差为4的等差数列，求 数 列 的前项和十 一【解析】4。

41、-力(I)由题意可得i-q。4=81 4,求出外和q,从而可求出数列 为 的通项公式;1 +1(2)由题意可得丁 二5二，然后利用错位相减法可求得数列,；|的前项和刀,【详解】解：设 a,的公比为4，q l .#-q3(1)由，i-qaq2=814 2整理得3,2一4 7 4 =0,解得4=2或 乡=一(舍去).Q a=2 ,an=2 ,e N*dn2 1 +1+1+12 3 4 n +1 1(=+齐+2 2 3 4n +1=+了+/+/F.I 1 1 1 疗1+级+铲 梦+1 +12 2+l1 +n+2”+32 0、(2 0 2 0届山东省泰安市高三上期末)已知等差数列%的前项和为S“,g+

42、%12,54=16.求 4的通项公式;数列也卜满足勿=匕，为数列也 的前项和，是否存在正整数?，k(l使得 或=37；2?若存在，求出机，k的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设等差数列 4的公差为d,由V2 a+5 d =12/c，解得V2a+3d =8出+%=12 /得 1 1 14 m +1 2rrr，整理得 2m2-m-人-704/n +1 -2nrm 1解得1加1+亚，2又m e N，:.m=2,；.k =V 2,:.存在m =2,k =12满足题意.2 1、(2 02 1湖北高三期末)已知数列%满足=3,且。7=24-+1.(1)证明：数列 2-为等比数列;2 +1 1(2)

43、记么=-,5 是数列 2前项的和，求证：5”一.%3【解析】(1)因为=2。“一 +1,所以4+1(+1)=2(。“一),又4-1=3-1=2,所以数列%一 是以2为首项，以2为公比的等比数列；(2)由(I)可得。“一 =2X2 T=2,则a“=2 +，所以2 0+1%113+13+1力+1结论点睛:1 1 1 1 1,一-=-2 r t-l 2 +l2n+2 n +l 2 02 1所以最小正整数”为1011.，解得1010,2 3、（2 02 1山东青岛市福三期末）在4 S“=a；+2 a“，=2,也 用=2 S“这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.已知正项数列 4的前项和为S“

44、，.（1）求数列 q的通项公式；（2）若数列也 满足l o g也,=5%-1,且c“=。也，求数列 c“的前项和代,.3 2注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.【解析】（1）选时，当=1时，4 q=a；+2 4，因为4 0,所以q =2,由 4 5 =a;t+2a”,可得 4 s“+=a+:+2 a“+,一 得,4 4+=a3 -a；+2al l+l-2an,整理得 a+i2-a；-2an+x-2an=0,所以 3+1+%）（见+1 一%-2）=0因为。“0,所以+-%=2,所以数列 可 是首项为2,公差为2的等差数列,所 以=2 ；选时，因 为%+i =2 S“所以当2

45、2时，（l）a“=2 S,i an+n+1一得：a“+|=(+l)a“，即-=-an n中，令 =1,得a,=2%=4,5 =2适合上式%.,_%-1 -2 几 1 n 2 3 2所以当 2 2时，an -:-a -X 一“一2 -3 生 1 一2-3 2 1又 =1,%=2=2x1所以对任意 wN=4=2(2)因为 10g|包=g _ 即 lgi=-13 2 3所以于是%=a/,=2 x(、-i5M,=2 xl+4x +6x3132+.+2x1“cl C Y z一 M”=2 x-+4x +6x3 3(33+.+2x、3；一得=2+2 x，+2 x(，+2x3”3.2二+.+2 x2x0+.+-W 广3 2x-2 7 7 X1-3所以%=刿|+卜 出