2023年北京市高考数学试卷(理科).pdf

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1、2023年北京市高考数学试卷（理科）一、选 择 题（共8小题，每题5分，总分值40分）1.（5 分）（北京卷理 1）集合 P=xSZ|0WxV3,M=xEZ|x2 9,那么 PAM=（）A.1,2 B.0,1,2 C.x|0 x07.（5分）设不等式组，3 x-jH-3 0表示的平面区域为D,假设指数函数y=ax5x-3y+9 q),且不5同课程是否取得优秀成绩相互独立.记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123P6125ad24125(I)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;(口)求数学期望比.18.(13 分)函数 f(x)=ln(1+x)-x+x2(k O).2(I)当k=2

2、时，求曲线y=f(x)在 点(1,f(D)处的切线方程;i n)求f(x)的单调区间.19.(14分)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A 1 -1,1)关于原点0对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于3(I)求动点P的轨迹方程；(n)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得PAB与APIVIN的面积相等？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由.20.(13 分)集合 Sn=X X=(X1，X2，Xn),Xie o,1,i=l,2,n(n2 2)对于 A=(ai,a2,.an,),B=(bi,bz,.bn,)ESn,定义 A与 B 的差为 A-B=(|

3、ai-b il,|a2-b2|,.|an-bn|)；A与B之间的距离为d(A,B)=f|a i-bT|i=l 1 1(I)证明：V A,B,C eS n,有 A-B W S n,且 d(A-C,B-C)=d(A,B)；(I I)证明：V A,B,CGSn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数(D I)设PUSn,P中有m(m 2 2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为X(P).2023年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选 择 题（共8小题，每题5分，总分值4 0分）1.（5 分（2 0 2 3北京）（北京卷理 1）集合 P=x Z|0 WxV3

4、 ,M=xEZ x29）,那么 P CM=（）A.1,2 B.0,1,2 C.x|0 Wx3 D.x|0 4 W3【分析】由题意集合P=xWZ|0 WxV3,M=xGZ|x2 9 ,分别解出集合P,M,从而求出PA M.【解答】解：=集 合P=xGZ|0 WxV3,，P=0,1,2,VM=XGZ|X2 p=l或。=7 1,P=1是半径为1的圆，0=1 1是一条射线.应选C.6.（5分）（2 0 2 3 北 京）假设3E是 非 零 向 量，是 函数f（x）=（x；+E）（x E-；）为一次函数 的（）A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】先判别必

5、要性是否成立，根据一次函数的定义，得到获=o,那么W 1E成立，再判断充分性是否成立，由Z1E，不能推出函数为一次函数，因 为 田=孤1时，函数是常数，而不是一次函数.【解答】解：f(x)=(xZ+E)(x E-Z)=a-b x2+Cib12-T O2)x-如aj_b，那么有ab=O，如果同时有T H=孤1，那么函数f(x)恒为。，不是一次函数，因此不充分，而如果f(x)为一次函数，那么ZE=o,因此可得Z 1 E，故该条件必要.故答案为B.x+y-1107.(5 分)(2023北京)设不等式组,3 x-W 3 0 表示的平面区域为D,假设指5x-3jH-90数函数y=ax的图象上存在区域D

6、上的点，那么a 的取值范围是()A.(1,3 B.2,3 C.(1,2 D.3,+0 x+y-110【分析】先依据不等式组 0 ,结合二元一次不等式(组)与平面区5x-3y+9sinB.2兀s i r r3/.sinB=,2bEGA F,就可证：AF平面BDE；口）先以C为原点，建立空间直角坐标系C-x y z.把对应各点坐标求出来，可以推出赤瓦=0和而血=0,就可以得到C F,平面BDE（皿 先利用（I I）找到而=（返，返，1）,是平面BDE的一个法向量，再利2 2用平面ABE的法向量三百=0和，丽=0,求出平面ABE的法向量7，就可以求出二面角A-BE-D的大小.【解答】解：证明：设AC

7、与BD交于点G,因为 EFA G,且 EF=1,AG=1AC=1,2所以四边形AGEF为平行四边形.所以AFEG.因为EG u平面BDE,AFQ平面BDE,所以AF平面BDE.（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,所以CE_L平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz.那么 C（0,0,0）,A（，0）,D（圾，0,0）,E 0,0,1）,F （返，_2返，1）.2_所以而=（返，返，1）,BE=（0,-b，1）,DE=（-&,0,1）.2 2所以而箴=0-1+1=0,CF*DE=-1+0+1=0.所以 CF_LBE,CF1DE,所以 CFJ

8、_平面 BDE（III）由（II）知，3=（返，返，1），是平面BDE的一个法向量，2 2设平面ABE的法向量7（x,y,z）,那么京就=0,7玩=0.即（x,y,z）-（6，0,0）=0（x,y,z）“0,1）=0所以x=0,且z=J R.令y=l,那么z=&.所以n=（0,1,后），从而cos（nCF）=二Ini-ICF I 2因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为2L.617.（13分）（2023北京）某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为&，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q5（p q）,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记 为

9、该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123P6125ad24125（I）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（口）求数学期望氏.【分析】由题意知事件该生至少有一门课程取得优异成绩与事件飞=0 是对立的，要求该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率，需要先知道该生没有一门课程优秀，根据对立事件的概率求出结果.(I I)由题意可知，需要先求出分布列中的概率a和b的值，根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率，得到这两个值，求出概率之后，问题就变为求期望.【解答】解：事 件A表示 该生第i门课程取得优异成绩”，i=l,2,3.由题意可知由于事件 该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件飞=0

10、是对立的，.该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是(I I)由题意可知，P (=0)=p(A A2A3)一 P)(1 -D X ZiDP(2 =p(A A 2A 3)寺q二 染整理得p=3,5 5V a=p&i)=P(A1A2A3)+P(AA2A)+P(A1A2A3)=y(l -p)(1 -q)gp(l -q)+y(l -p)q=371 2 5d=P (1=2)=1 -P (=0)-P (=1)-P (=3)=581 25.E =0 XP(=0)+1 XP(S=l)+2 X P(S=2)+3XP (，=3)=251 8.(1 3 分)(20 23北京)函 数 f(x)=l n 1+x)-x+K

11、 x2(k 20).2工)当k=2时，求曲线y=f(x)在 点(1,f(1)处的切线方程；(I I)求f(x)的单调区间.【分析】根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=l处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；(I I)先求出导函数f (x),讨 论k=0,0 k l四种情形，在函数的定义域内解不等式f (x)0和f (x)V 0即可.【解答】解：当 K=2 时，f(x)=l n(l+x)-x+x2,f(x)=1l+2x1+x由于f(l)=l n(2),F (1)=|所以曲线y=f(x)在 点(1,f(1)处的切线方程为y-l n2=-1

12、(x-1)-即 3x-2y+21 n2-3=0(l l)f(x)=L_-1+k x(x -1)1+x当 k=0 时，p(x)=一二一1+x因此在区间(-1,0)上，f (x)0；在区 间(0,+8)上，f(x)x(k x+k-l)=0 得 X=0,x 0；因此，在区间(-1,o)和(与 上 +8)上，f(x)0；在区间(o,As A)上，f (x)l 时，由f，(x)=x(k x?l)=o,得*=o,*=与(-1,0)；1+x 1 乙 k因此，在区间(-1,土 工)和(0,+8)上，f (x)0,在区间d 二0)上,kkF l x).an),B=(bi,b2 .bn),C=(Ci,C 2，Cn

13、)G Sn因 a”bjGO,1,故|a i-b je o,1,(i=l,2,n)aibiGO,1,H P A-B=(|ai-b i|,|a2-b21，.，an-bn I )GSn乂 a”bi，CjW 0,1),i 1 2,，n当 G=0 时，有|南 -G|-bi-Ci|=I a,-bi|；当 q=l 时，有 I I ai-G|-|bi-G|二|(1-ai)-(1-bi)=|ai-bi|n.故d(A-C,B-C)=i=l|%-bJ=d(A,B)2)Lz.A-a1，a 2,，an),B=(bi,b2，bn),C=(Ci,C2,，Cn)GSn记 d(A,B)=k,d(A,C)=1,d B,C)=h记

14、。=(0,0,0)GSn,由第一问可知：d(A,B)=d(A-A,B-A),d=(0,B-A)=kd(A,C)=d(A-A,C-A)=d(0,C-A)=1d(B,C)=d(B-A,C-A)=h即I bi-a d 中 1 的个数为k,匕-a j中 1 的个数为I,(i=l,2,n)设t 是使|bi-ai|=|ci-ai|=l成立的i 的个数，那么有h=k+l-2t,由此可知，k,I,h 不可能全为奇数，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.显 然 P 中会产生端 个距离，也就是说“文 七 匚 费 ，其中 学 表示 P 中每两个元素距离的总和.分别考察第i 个位置，不妨设P 中第i 个位置一共出现了七 个 1,那么自然有m2-t i个 0,因此在这个位置上所产生的距离总和为y(m-t i)4*，(i=l，2,n),那么n 个位置的总和3 步 =2 4(叼)W”好空