2023年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第6章图形的相似与解直角三角形第18讲图形的相似精讲练习.pdf

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1、第六章 图形的相似与解直角三角形 第十八讲 图形的相似 宜宾中考考情与预测 近五年中考考情 2019 年中考预测 年份 考查点 题型 题号 分值 预计 2019 年宜宾中考考 查在组合图形中，利用三 角形相似知识，解决实际 问题.xx 三角形相 似 选择题 7 3 分 xx 三角形相 似 填空题 15 3 分 xx 三角形相 似 填空题 16 3 分 xx 位似 选择题 6 3 分 xx 三角形相 似 解答题 24 12 分 宜宾考题感知与试做 1.（xx 宜宾中考）如图，OAB 与 OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1 2，OCD 90，CO CD.若 B（1，0），则点

2、C 的坐标为（B）A.（1，2）B.（1，1）C.（2，2）D.（2，1）,（第 1 题图）),（第 2 题图）)2.（宜宾中考）如图，在 Rt ABC中，ACB 90，A 30，CD AB 于点 D，则 BCD 与 ABC 的周长之 比为（A）A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 5 3.（宜宾中考）若一个图形的面积为 2，那么将与它成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形 面积为（A）A.8 B.6 C.4 D.2 4.（xx 宜宾中考）如图，O 的内接正五边形 ABCDE的对角线 AD 与 BE 相交于点 G，AE 2，则 EG 的长是 5 1.,（第 4 题图）),（第 5 题图

3、）)5.（xx 宜宾中考）如图，将 ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 A B C的位置，已知 ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4.若 AA 1，则 A等于（A）A.2 B.3 C.23D.32宜宾中考考点梳理成比例线段、平行线分线段成比例1.两条线段的比是两条线段的长度之比.（1）两条线段的长度单位需统一；（2）线段的比是一个不带单位的数.2.成比例线段对于给定的四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如abcd（或a b c d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.3.比例的性质 基本性质：ab cd?ad bc（b

4、d 0）.合（分）比性质：若 ab cd，则 a b c d.等比性质：若 ab cdmn（b d n 0），则 a c mb d n ab.4.黄金分割：如果点 C 把线段 AB 分成两条线段，使 ACAB BCAC，那么点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点，AC 是 BC 与 AB 的比例中项，AC 与 AB 的比值为 5 12.5.平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.相似三角形 6.相似三角形：对应边 成比例、对应角 相等 的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应

5、边的比 叫做相似比.7.相似三角形的性质（1）相似三角形的 对应角 相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于 相似比，面积比等于 相似比的平方.8.相似三角形的判定（1）两 角分别相等的两个三角形相似；（2）两边成比例且 夹角 相等的两个三角形相似；（3）三边 成比例 的两个三角形相似；（4）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似；（5）对于两个直角三角形，除了以上判定方法外，还可以通过得到：一个锐角相等；两组直角边对应成 比例；斜边和一直角边对应成比例来判定这两个直角三角形相似.相似多边形的判

6、定及性质 9.相似多边形：两个边数 相同 的多边形，如果各边对应 成比例，各角对应 相等，就称这两个多 边形相似.10.相似多边形的性质（1）相似多边形的对应边 成比例；（2）相似多边形的对应角 相等；（3）相似多边形周长的比等于 相似比，相似多边形面积的比等于 相似比的平方.位似图形 11.位似图形：如果两个图形的对应点连线都交于一点，并且这一点到各组对应点的距离的比相等，那么这两 个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心.【温馨提示】（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 相似比.（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为 k，原图形上点的坐标为（x，y

7、），那 么位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（kx，ky）.12.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点就是 位似中心.13.位似作图的步骤（1）确定 位似 中心、原图形的关键点、相似比（即要将图形放大或缩小的倍数）；（2）作出原图形中各关键点的对应点；（3）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.1.（xx 乐山中考）如图，DE FG BC，若 DB 4FB，则 EG 与 GC 的关系是（B）A.EG 4GC B.EG 3GC C.EG 52GC D.EG 2GC 2.（xx 内江中考）已知 ABC 与 1B1C1相似，且相似比为 1 3

8、，则 ABC 与 1B1C1的面积比为（D）A.1 1 B.1 3 C.1 6 D.1 9 3.（xx 资阳中考）已知：如图，ABC的面积为 12，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，则四边形 BCED的面 积为 9.4.如图，四边形 ABCD和 A B C D 是以点 O 为位似中心的位似图形，若 OA OA 2 3，则四边形 ABCD与四边形 A B C D 的面积比为（A）A.4 9 B.2 5 C.2 3 D.2 3 中考典题精讲精练 线段成比例及比例的性质【典例 1】（1）若 yx 34，则 x yx的值为（D）A.1 B.47C.54D.74（2）下列各组线段（单位：cm）中

9、，成比例线段的是（A）A.1，2，4，8 B.2，4，6，8 C.3，6，8，12 D.3，6，9，12【解析】（1）yx34，x yx4 34；（2）根据成比例线段的定义判断即可.位似变换【典例 2】如图，ABC三个顶点坐标分别为 A（1，3），B（1，1），C（3，2）.（1）请画出 ABC 关于 y 轴对称的 1B1C1.（2）以原点 O 为位似中心，将 1B1C1放大为原来的 2 倍，得到 2B2C2，请在第三象限内画出 2B2C2，并求 出 S A1B1C1 S A2B2C2的值.【解析】（1）根据网格结构找出点 A、B、C 关于 y 轴的对称点 A1、B1、C1的位置，然后顺次连结

10、即可得到 1B1C1；（2）连结 A1O 并延长至 A2，使 A2O 2A1O，连结 B1O 并延长至 B2，使 B2O 2B1O，连结 C1O 并延长至 C2，使 C2O 2C1O，然后顺次连结点 A2、B2、C2即可得到 2B2C2；由变换的方式可知 1B1C1与 2B2C2相似，且相似比为 1 2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方便可求出两个三角形的面积比.【解答】解：（1）1B1C1如图所示；（2）2B2C2如图所示.将 1B1C1放大为原来的 2 倍得到 A2B2C2，A1B1C1 A2B2C2，且相似比为 1 2，S A1B1C1 S A2B2C2 1 4.相似三角形的性质及

11、判定 命题规律：在中考题目中，相似三角形的知识常与解直角三角形、全等三角形、圆、二次函数等知识综 合.考查探索问题、解决问题的能力.【典例 4】如图，在直角坐标系中，Rt OAB的直角顶点 A 在 x 轴上，OA 4，AB 3.动点 M 从点 A 出发，以 每秒 1 个单位长度的速度，沿 AO 向终点 O 移动；同时点 N 从点 O 出发，以每秒 1.25 个单位长度的速度，沿 OB 向终点 B 移动.当两个动 点运动了 x s（0 x4）时，解答下列问题：（1）求点 N 的坐标；（用含 x 的代数式表示）（2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使 OMN 是直角三角形？若存在，求出 x

12、 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由勾股定理求出 OB，作 NP OA 于点 P，则 NP AB，得出 OPN OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点 N 的坐标；（2）分两种情况：若 OMN 90，则 MN AB，由平行线得出 OMN OAB，得出比例式，即可求出 x 的值；若 ONM 90，则 ONM OAB，证出 OMN OBA，得出比例式，求出 x 的值即可.【解答】解：（1）根据题意，得 MA x，ON 1.25x，在 Rt OAB中，由勾股定理，得 OB2 OA2 AB2，OB OA2 AB2 42 32 5.作 NP OA 于点 P，如图，则 NP AB，OPN

13、 OAB，PNAB OPOA ONOB，即 PN3 OP4 1.25x5，解得 OP x，PN 34x，点 N 的坐标是 x，34x；（2）存在某一时刻，使 OMN 是直角三角形.理由：若 OMN 90，如图，则 MN AB，此时 OM 4 x，ON 1.25x.MN AB，OMN OAB，OMOA ONOB，即 4 x4 1.25x5，解得 x 2；若 ONM 90，如图，则 ONM OAB，此时 OM 4 x，ON 1.25x.ONM OAB，MON BOA，OMN OBA，OMOB ONOA，即 4 x5 1.25x4，解得 x 6441.综上所述，x 的值是 2 或 6441时，OMN

14、是直角三角形.1.下列各组数中，成比例的是（A）A.6，8，3，4 B.7，5，14，5 C.3，5，9，12 D.2，3，6，12 2.如图，直线 l1 l2 l3，直线 AC 分别交 l1、l2、l3于点 A、B、C；过点 B 的直线 DE 分别交 l1、l3于点 D，E.若 AB 2，BC 4，BD 1.5，则线段 BE的长为（C）A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知 ab 34，bc 35，则 a b 等于（C）A.3 4 5 B.4 3 5 C.9 12 20 D.9 15 20 4.如图，OAB与 OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1 2，OCD 90，CO

15、CD，若 B（1，0），则点 C 的坐标为（D）A.（1，2）B.（2，1）C.（2，2）D.（1，1）,（第 4 题图）),（第 5 题图）)5.如图，以点 O 为位似中心，将 ABC 放大得到 DEF，若 AD OA，则 ABC 与 DEF 的面积之比为 1.6.如图，直线 y 12x 1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，BOC与 B O C是以点 A 为位似中心的位似 图形，且相似比为 1 3，求点 B 的对应点 B的坐标.解：直线 y 12x 1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B.令 x 0，可得 y 1，令 y 0，解得 x 2，点 A 和点 B 的坐标分别为（

16、2，0），（0，1）.BOC与 B O C是以点 A 为位似中心的位似图形，且相似比为 1 3，OBO B 13，O B 3，点 B的坐标为（8，3）或（4，3）.7.ABC与 DEF 的相似比为 1 4，则 ABC 与 DEF 的周长比为（C）A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 16 8.如图，在平行四边形 ABCD中，点 E 是边 AD的中点，EC 交对角线 BD 于点 F，则 EF FC 等于（D）A.3 2 B.3 1 C.1 1 D.1 29.在下列命题中，真命题是（D）A.两个钝角三角形一定相似B.两个等腰三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.两个等边三角形一定相似10.梯形的中位线长为 12 cm，上、下底之比为 1 3，则梯形的上、下底之差是 12.11.如图，在 ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，DE BC，BE 与 CD相交于点 F，则下列结论一定正确的是（A）A.ADAB AEACB.DFFC AEECC.ADDB DEBCD.DFBF EFFC12.（xx 宜宾模拟）如图，在矩形 ABCD中 E 是 AD边的中点，BE AC，垂足为 F，连结 DF，下列四个结论：AEF CAB；tan CAD 2；DF DC；CF 2AF，正确的是（C）A.B.C.D.