2023年中考数学复习二次函数的应用专题超详细导学案.pdf

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1、中考数学复习二次函数的应用专题导学 案 考点：抛物线与 x 轴的交点专题：探究型 分析：先根据抛物线的开口向上可知 a 0,由顶点 纵坐标为-3 得出 b 与 a 关系，再根据一元二次方程 ax2+bx+m=0有实数根可得到关于 m的不等式，求出 m的 取值范围即可 点评：本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，根据题 意判断出 a 的符号及 a、b 的关系是解答此题的关键 2（2012滨州）抛物线 y=-3x2-x+4 与坐标轴的交点个 数是（）A 3 B2 C1 D0 分析：令抛物线解析式中 x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与 y轴的 交点坐标，令抛物线解析

2、式中 y=0，得到关于x的一元二 次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与 x轴有 两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数 点评：此题考查了抛物线与 x 轴的交点，以及一元 二次方程的解法，其中令抛物线解析式中 x=0，求出的y 值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令 y=0，求出对应的 x 的值，即为抛物线与 x 轴交点的横坐标 3（2012 济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线 型的拱梁，抛物线的表达式为 y=ax2+bx.小强骑自行车 从拱梁一端 0沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 0C当小 强骑自行车行驶 10秒时和 26秒时拱梁的高度相同，则小 强骑自行车通过拱梁部分的桥面 0C共需

3、 秒.分析：10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则 A,B一定 是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则 0到 对称轴的时间可以求得，进而即可求得 0C之间的时间.点评：本题考查了二次函数的应用，注意到 A、B关 于对称轴对称是解题的关键 4（2012 菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计 了一款成本为 10 元/件的工艺品投放市场进行试销经 过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）2030405060 每天销售量（y件）500400300200100（1）把上表中 x、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面 的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想 y与x的函数关 系，并求出函数关系式；（2）

4、当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品 每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总 价-成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高 不能超过 35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂 试销该工艺品每天获得的利润最大？分析：（1）利用表中 x、y 的各组对应值作为点的坐标，在 坐标系中描出即可，再根据点的分布得出 y 与 x 的函数关 系式，求出即可；（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数 关系式得出 W=（x-10）（-10 x+700），进而利用二次 函数最值求法得出即可；（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出 答案 点评：此题主要考查了二次函数

5、的应用以及待定系数法 求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，此 题难度不大是中考中考查重点内容 5（2012 青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员 参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并 将所得利润捐给慈善机构 根据市场调查，这种许愿瓶 一段时间内的销售量 y（个）与销售单价x（元/个）之间 的对应关系如图所示：（1）试判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关 系式；2）若许愿瓶的进价为 6 元/个，按照上述市场调查 的销售规律，求销售利润 w（元）与销售单价 x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过 900 元，要想获得 最大利润，试确定这种许愿瓶

6、的销售单价，并求出此时 的最大利润 分析：（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函 数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进 而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标 相同；（2）销售利润=每个许愿瓶的利润X销售量；（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函 数的关系式 即可求得相应的最大利润 点评：此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变 量的取值求得二 次函数的最值问题 6（2012 聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为 18 元，试销过程中发现，每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的关系可以近似地看作 一次函数 y=-2x+100（利

7、润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得 350 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得 最大利润？最大利润是多少？(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价 不能高于 32 元，如果厂商要获得每月不低于 350 万元的 利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多 少万元？分析：(1)根据每月的利润z=(x-18)y，再把y=-2x+100 代入即可求出 z 与 x 之间的函数解析式，(2)把 z=350 代入 z=-2x2+136x-1800，解这个方程 即可，将 z-2x2+136

8、x-1800 配方，得 z=-2(x-34)2+512,即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大 利润，最大利润是多少(3)结合(2)及函数 z=-2x2+136x-1800 的图象即 可求出当25x350,再根据限价 32元，得出 25x32,最后根据一次函数 y=-2x+100中y随x的增 大而减小,即可得出当 x=32 时,每月制造成本最低,最 低成本是 18X(-2X32+100).点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,关 键是根据题意求出二次函数的解析式,综合利用二次函 数和一次函数的性质解决实际问题【备考真题过关】一、选择题 2.(2012湖州)如图，已知点 A(4

9、,0),O为坐 标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点 Q A),过 P、Q两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的 图象开口均向下，它们的顶点分别为 B、C，射线QB与AC 相交于点D.当QD=AD=3寸，这两个二次函数的最大值之 和等于()A B C3 D4 分析：过 B作BF丄QA于F,过D作DEIQA于E,过 C作CML QA于 M贝U BF+CM是这两个二次函数的最大值之 和，BF/DE/CM,求出 AE=QE=2 DE=，设 P(2x,0),根据二次函数的对称性得出 QF=PF=x 推出 QBFA ODE ACMh ADE 得出,代入求出 BF 和 CM 相加即可求出答案

10、 点评：本题考查了 二次函数的最值 勾股定理 等 腰三角形性质 相 似三角形的性质和判定的应用 主要 考查学生运用性质和定理进行推理和 计算的能力 题目 比较好 但是有一定的难度 3.(2012宜昌)已知抛物线 y=ax2-2x+1与x轴没 有交点 那么该抛物线的顶点所在的象限是()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象 考点：抛物线与 x 轴的交点分析：根据抛物线 y=ax2-2x+1 与 x 轴没有交点，得出=4-4a v 0,a 1,再根据 b=-2，得出抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，即可 求出答案 点评：此题考查了二次函数的图象与 x 轴交点，关 键是根据二次函数的图象与 x

11、 轴交点的个数与一元二次 方程的解之间的联系求出 a 的值，这些性质和规律要求 掌握 4（2012 资阳）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部 分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c v 0 的解集是（）A.-1 v x v 5 B.x 5 C.x v-1 且 x 5 D.x v-1 或x 5 5（2012 义乌市）如图，已知抛物线 y1=-2x2+2，直线 y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为 y1、y2.若y1zy2,取y1、y2中的较小值记为 M 若y仁y2,记 M=y仁y2.例如：当 x=1 时，y1=0,y2=4,y1 v y2，此 时M=0下列判断：当x

12、0时，y1 y2;当x v 0时，x值越大，M 值越小；使得M大于2的x值不存在；使得M=1的x值 是或.其中正确的是（）A.B.C.D.分析：利用图象与坐标轴交点以及 M值的取法，分别利 用图象进行分析即可得出答案 点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应 用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键 6（2012大连）如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的 坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横 坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A 1 B2 C3 D4 分析：抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函

13、数解析式的二次项系数在平移前后不会改变首先，当 点B横坐标取最小值时，函数的顶点在 C点，根据待定系 数法可确定抛物线的解析式；而点 A 横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到 E点，结合前面求出的二次项系 数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能 求出此时点A的坐标，即点A的横坐标最大值.点评：考查了二次函数综合题，解答该题的关键在 于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没 有发生变化，改变的是顶点坐标注意抛物线顶点所处 的 C、E 两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能 得到要求的结果 1.(2012镇江)若二次函数 y=(x+1)(x-m 的 图象的对称轴在y轴的右侧

14、，则实数 m的取值范围是()A.m-1B.-1v m 0C.0v m 1 点：抛物线与 x 轴的交点。专题：探究型。分析：先令(x+1)(x-m)=0 求出 x 的值即可得出 二次函数与x轴的交点坐标，再根据抛物线的对称轴在 y 轴的右侧即可得到关于 m的不等式，求出 m的取值范围即 可.点评：本题考查的是抛物线与 x轴的交点问题，先根据 函数的解析式得出二次函数的图象与 x轴的交点是解答 此题的关键.2.(2012泰安)二次函数 y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程 ax2+bx+m=0有实数根，则 m的最大值为()A.-3B.3C.-6D.9 考点：抛物线与 x 轴的交点。专题：探

15、究型。分析：先根据抛物线的开口向上可知 a 0,由顶点 纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程 ax2+bx+m=0有实数根可得到关于 m的不等式，求出 m的 取值范围即可 点评：本题考查的是抛物线与 x轴的交点，根据题意判 断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键.3.(2012杭州)已知抛物线 y=k(x+1)(x-)与 x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使 ABC为等腰 三角形的抛物线的条数是()A 2B 3C 4D 5 考点：抛物线与 x 轴的交点。810360 专题：推理填空题。分析：整理抛物线解析式，确定出抛物线与 x轴的 一个交点A和y轴的交点C然后求出AC的长度，

16、再分 k 0时，点B在x轴正半轴时，分 AC=BC AC=AB AB=B(三种情况求解；kv 0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB-种情况列式计算 即可 点评：本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，根据抛物 线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论 二、填空题 7（2012 深圳）二次函数 y=x2-2x+6 的最小值是 分析：利用配方法将原式化为顶点式，即可求出二 次函数的最小值 点评：本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶 点式是解题的关键 8（2012 无锡）若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A（2，1），且经过点 B（1，0）

17、，则抛物线的函数关系式 为 三、解答题 9（2012 杭州）当 k 分别取-1，1，2 时，函数 y=（k-1）x2-4x+5-k 都有最大值吗？请写出你的判断，并 说明理由；若有，请求出最大值 考点：二次函数的最值专题：分类讨论 分析：当 k 分别取-1，1，2时，函数 y=（k-1）x2-4x+5-k 表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终 确定函数的最值 10（2012 徐州）二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点（4，3），（3，0）（1）求 b、c 的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数 y=x2+bx+c 的图 象 考点：待定系数法求

18、二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质 分析：（1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关 于 b、c 的二元一次方程组即可得解；（2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写 出顶点坐标与对称轴解析式；（3）采用列表、描点法画出图象即可（3）列表如下：x01234 y30-103 描点作图如下：点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次 函数的顶点坐标与对称轴的求解，以及作二次函数图象，都是基础知识，一定要熟练掌握 11（2012 佛山）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式；y随x变化的部分数值规律如下表：x-10123 y03430 有序数对

19、（-1,0）、（1,4）、（3,0）满足 y=ax2+bx+c；已知函数 y=ax2+bx+c 的图象的一部分(如图)(2)直接写出二次函数 y=ax2+bx+c 的三个性质 分析：(1)选择，观察表格可知抛物线顶点坐标 为(1，4)，设抛物线顶点式，将点(0，3)代入确定 a 的值；(2)根据抛物线的对称轴，开口方向，增减性等说 出性质 12(2012 兰州)若 x1、x2 是关于一元二次方程 ax2+bx+c(az0)的两个根，则方程的两个根 x1、x2和系数a、b、c 有如下关 系：x1+x2=，x1x2=把它称为一元二次方 程根与系数关系定理如果设二次函数 y=ax2+bx+c(az0

20、)的图象与x轴的两个交点为 A(x1,0),B(x2,0).利用根与系数关系定理可以得到 A B连个交点间的 距离为：AB=|x1-x2|=；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的两 个交点A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为 C,显 然厶ABC为等腰三角形.(1)当厶ABC为直角三角形时，求 b2-4ac的值；(2)当厶ABC为等边三角形时，求 b2-4ac的值.考点：抛物线与 x 轴的交点；根与系数的关系；等腰三 角形的性质；等边三角形的性质 点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的 性质，抛物线与 x 轴的交点及根与系数的关系

21、定理，综 合性较强，难度中等 13（2012 武汉）如图，小河 上有一拱桥，拱桥及 河道的截面轮廓线由抛物线的 一部分ACB和矩形的三边 AE,ED,DB组成，已知河底 ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点 C到ED的距离是11米，以ED所 在的直线为x轴，抛物线的对称轴为 y轴建立平面直角坐 标系（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的 40 小时内,水面与河底 ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满 足函数关系h=（t-19）2+8（0 t 40）,且当水面到 顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计 算说明：在这一时段内,需多少小时禁止船只

22、通行？分析：（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把 B坐 标代入即可求解；（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与 河底ED的距离h至多为6,把6代入所给二次函数关系 式，求得 t 的值，相减即可得到禁止船只通行的时间 点评：考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形 式是解决本题的关键；注意结合(1)得到 h 的最大高度 14.(2012无锡)如图，在边长为 24cm的正方形纸 片ABCDk，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三 角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包 装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一 点).已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三

23、 角形斜边的两个端点，设 AE=BF=x(cm)(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包 装盒的体积 V；(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面 积 S 最大，试问 x 应取何值？分析：(1)根据已知得出这个正方体的底面边长 a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm求出x即可得出这个包装盒的体 积 V；(2)利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数 最值求出即可(2012黄冈)某科技开发公司研制出 一种新型的产品，每件产品的成本为 2400元，销售单 价定为 3000 元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励 商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型 产品不超过 10件

24、时，每件按 3000 元销售；若一次购买该 种产品超过 10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品 的销售单价均降低 10元，但销售单价均不低于 2600 元(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰 好为 2600 元？(2)设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获 得的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系 式，并写出自变量 x 的取值范围(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品 的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的 增多，公司所获得的利润反而减少这一情况为使商家 一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应 将最低销售单价调整为多少元？(其它销售条件

25、不变)分析：(1)设件数为x，则销售单价为3000-10(x-10)元，根据销售单价恰好为 2600 元，列方程求解；(2)由利润=销售单价X件数，及销售单价均不低 于2600元，按0Wx 10,10vx 50三种情况列 出函数关系式；(3)由(2)的函数关系式,利用二次函数的性质求 利润的最大值,并求出最大值时 x 的值,确定销售单价 点评：本题考查了二次函数的运用关键是明确销售单 价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及 总利润 16（2012 河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚 度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单 位：cm）在550之间.每张薄板的成本价（单位：元

26、）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价 与薄板的大小无关，是固定不变的浮动价与薄板的边 长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据 薄板的边长（cm）2030 出厂价（元/张）5070（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为 40cm的薄板，获得的利润 为 26 元（利润=出厂价-成本价），求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式 当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最 大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（az0）的顶点坐标 为（）分析：（1）利用待定系数法求一次函

27、数解析式即可得出答 案；(2)首先假设一张薄板的利润为 p元，它的成本 价为mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即 可 点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法 求一次函数解析式，求二次函数的最大(小)值有三种方 法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三 种是公式法，常用的是后两种方法 17(2012 资阳)抛物线 y=x2+x+m 的顶点在直线 y=x+3 上，过点 F(-2，2)的直线交该抛物线于点 M、N 两点(点 M在点N的左边)，MALx轴于点A,NBLx轴 于点 B(1)先通过配方求抛物线

28、的顶点坐标(坐标可用含 m的代数式表示)，再求 m的值；(2)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示 点 N 的纵坐标，并说明 NF=NB；(3)若射线NM交x轴于点P,且PAPB=,求点M 的坐标 分析：(1)利用配方法将二次函数整理成顶点式即可,再 利用点在直线上的性质得出答案即可；(2)首先利用点N在抛物线上，得出 N点坐标，再 利用勾股定理得出 NF2=NC2+FC，2 进而得出 NF2=NB2，即可得出答案；(3)求点M的坐标，需要先求出直线 PF的解析 式首先由(2)的思路得出 MF=M，A 然后连接 AF、FB，通过证明厶PFMA PBF利用相关的比例线段将 PAPB的 值转化

29、为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析 式，即可得解 点评：考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，(3)题通过 构建相似三角形将 PAPB转化为PF的值是解题的关键，也 是该题的难点 18(2012 株洲)如图，一次函数 y=-x+2 分别交 y 轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.(1)求这个抛物线的解析式；(2)作垂直 x 轴的直线 x=t，在第一象限交直线 AB 于M交这个抛物线于 N.求当t取何值时，MN有最大值?最大值是多少？(3)在(2)的情况下，以A、M N、D为顶点作平 行四边形，求第四个顶点 D的坐

30、标.分析：1)首先求得 A、B 点的坐标，然后利用待定系数法 求抛物线的解析式；（2）本问要点是求得线段 MN的表达式，这个表达式 是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段 MN的 最大值；（3）本问要点是明确 D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏.其中 D1、D2在y轴上，利用 线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线 D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标.点评：本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐 标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点.难点在于第（3）问，点D的 可能位置有三种情形，解题时容易遗漏而导致失分作 为

31、中考压轴题，本题有一定的难度，解题时比较容易下 手，区分度稍低 19.（2012漳州）已知抛物线y=x2+1（如图所示）.（1）填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴 是；（2）已知y轴上一点 A（0,2）,点P在抛物线上，过点P作PB丄x轴，垂足为B-若厶PAB是等边三角形，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点 M在直线AP上.在平面 内是否存在点N,使四边形OAM为菱形？若存在，直接 写出所有满足条件的点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由 分析：（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称 轴即可；（2）根据等边三角形的性质求得 PB=4将PB=4代 入函数的解析式后求得 x的值即可作为P点的横坐标，代 入解析式即可求得 P点的纵坐标；（3）首先求得直线 AP的解析式，然后设出点 M的坐 标，利用勾股定理表示出有关 AP的长即可得到有关 M点 的横坐标的方程，求得 M的横坐标后即可求得其纵坐标.点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是仔细 读题，并能正确的将点的坐标转化为线段的长，本题中 所涉及的存在型问题更是近几年中考的热点问题