2023年专题基本不等式常见题型全面汇总归纳学生版.pdf

《2023年专题基本不等式常见题型全面汇总归纳学生版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年专题基本不等式常见题型全面汇总归纳学生版.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第 1 页 共 9 页 专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号 三个不等式关系：（1）a，b R，a 2 b2 2ab，当且仅当 a b 时取等号（2）a，b R，a b 2 ab，当且仅当 a b 时取等号（3）a，b R，a 2 b22(a b2)2，当且仅当 a b 时取等号 上述三个不等关系揭示了 a 2 b2，ab，a b 三者间的不等关系 其中，基本不等式及其变形：a，b R，a b 2 ab(或 ab(a b2)2)，当且仅当 a b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例

2、 1】已知1 b a且7 log 3 log 2 a bb a，则112ba的最小值为.练习：1 若实数 满足，且，则 的最小值为 2.若实数,x y满足13 3(0)2xy x x，则3 13 x y的最小值为 3.已知0,0,2 a b c，且2 a b，则52 2ac c cb ab c 的最小值为.【典例 2】已知 x，y 为正实数，则4x4x yyx y的最大值为【典例 3】若正数a、b满足3 ab a b,则a b 的最小值为 _.变式：1.若,a b R,且满足2 2a b a b,则a b 的最大值为 _.2.设0,0 y x，8 2 2 xy y x，则y x 2 的最小值为

3、 _ 3.设R y x,，1 42 2 xy y x，则y x 2的最大值为 _ 4.已知正数 a，b 满足1 95 aba b，则 ab 的最小值为,x y 0 x y 2 2log log 1 x y 2 2x yx y 第 2 页 共 9 页【题型二】含条件的最值求法【典例 4】已知正数y x,满足1 y x，则1124 y x的最小值为 练习 1已知正数y x,满足11 1 y x，则1914 yyxx的最小值为.2.已知正数 满足，则 的最小值为 3已知函数(0)xy a b b 的图像经过点(1,3)P，如下图所示，则4 11 a b的最小值为.4己知 a，b 为正数，且直线 与直

4、线 互相平行，则 2a+3b 的最小值为 _ 5.常数 a，b 和正变量 x，y 满足 ab 16，ax2by12.若 x 2y 的最小值为 64，则 ab _.6.已知正实数,a b满足 1 212 2 a b b b a a，则ab的最大值为,x y 2 2 x y 8 x yxy6 0 ax by 2(3)5 0 x b y 第 3 页 共 9 页【题型三】代入消元法【典例 5】（苏州市 2016 届高三调研测试 14）已知14ab，,(0,1)a b，则1 21 1 a b 的最 小 值 为 练习 1设实数 x，y 满足 x2 2xy 1 0，则 x2 y2 的最小值是 第 4 页 共

5、 9 页 2 已知正实数 x，y 满足，则 x+y 的最小值为 3已知正实数,x y 满足(1)(1)16 x y，则 x y 的最小值为 4.若2,0 b a，且3 b a，则使得21 4b a取得最小值的实数a=。5.设实数 x、y 满足 x2 2xy 1 0，则 x y 的取值范围是 _ 6.已知R z y x,，且1 z y x，32 2 2 z y x，求xyz的最大值为 _ 第 5 页 共 9 页【题型四】换元法【典例 6】已知函数 f(x)ax2 x b(a，b 均为正数)，不等式 f(x)0 的解集记为 P，集合 Q x|2 t x 2 t若对于任意正数 t，P Q，则1a1b

6、的最大值是 2 已知正数 a，b，c 满足 b+c a，则+的最小值为 练习 1若实数 x，y 满足 2x2 xy y2 1，则 的最大值为 2设 是正实数,且,则 的最小值是 _.3.若实数 x，y 满足 2x2 xy y2 1，则x 2y5x2 2xy 2y2的最大值为 24 4 若 实 数 满 足2 225 2 2x yx xy y,x y 1 x y 2 22 1x yx y 第 6 页 共 9 页，当 取 得 最 大 值 时，的值为.第 7 页 共 9 页【题型五】判别式法【典例 7】已知正实数 x，y 满足2 43 10 x yx y，则 xy 的取值范围为 练 习 1.若 正 实

7、 数 满 足 第 8 页 共 9 页，则 的最大值为 2.设R y x,，1 32 2 xy y x，则y x 2的最大值为 _ 变式 1在平面直角坐标系 xOy 中，设点(1 0)A，(0 1)B，()C a b，()D c d，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uur 对任意实数 a b c d，都成立，则实数m 的最大值是【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 第

8、 9 页 共 9 页),0()(2R x a c bx ax x f,有 1）0)(x f对R x 恒成立 00 a2）0)(x f对R x 恒成立.00 a 分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1）为参数）a a g x f)()(恒成立max)()(x f a g 2）为参数）a a g x f)()(恒成立max)()(x f a g 确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。2 设二次函数 c bx ax x f 2（c b a,为常数）的导函数为 x f对任意R x，不等式 x f x f恒成立，则2 22c ab的最大值为【题型六】分离参数法【典例 8】已知 x 0，y 0，若不等式 x3+y3 kxy（x+y）恒成立，则实数 k 的最大值为 _ 练习 1已知对满足4 2 x y xy 的任意正实数,x y，都有2 22 1 0 x xy y ax ay，则实数a的取值范围为.2 若不等式 x2 2xy a(x2 y2)对于一切正数 x，y 恒成立，则实数 a 的最小值为