2023年中考数学复习精品讲义函数及图象.pdf

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1、2017 年中考数学复习函数及图象 一、总述 函数及其图象是初中数学的重要内容。函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富 的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综 合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数 在中考中占有重要的地位。二、复习目标 1、理解平面直角坐标的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一 点关于 x 轴、y 轴或原点的对称点的坐标。2、会从不同角度确定自变量的取值范围。3、会用待定系数法求函数的解析式。4、明确一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式 系

2、数之间的关系。5、会用一次函数和二次函数的知识解决一些实际问题。三、知识要点(一)平面直角坐标系中，x 轴上的点表示为(x，0)；y 轴上的点表示为(0，y)；坐标轴上的 点不属于任何象限。(二)一次函数 解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k 0)，当 b=0 时，是正比例函数。(1)当 k 0 时，y 随 x 的增大而增大；(2)当 k 0 时，y 随 x 的增大而减小。(三)二次函数 1、解析式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a 0);(2)顶点式：y=a(x m)2+n，顶点为(m,n);(3)交点式：y=a(x x1)(x x2)，与 x 轴两交点是(x1,0)，(x2,0)

3、。2、抛物线位置由 a、b、c 决定。(1)a 决定抛物线的开口方向：a 0 开口向上;a 0 开口向下。(2)c 决定抛物线与 y 轴交点的位置：函 数 概 念 初等函数 图 像 性 质 综 合 运 用 一次函数 二次函数 反比例函数 研究方法 定义 解析式 平面直角坐标系 点的坐标特征 c 0 图象与 y 轴交 点在 x 轴上方；c 0 图象过原点；c 0 图象与 y 轴交点在 x 轴下方。(3)a、b 决定抛物线对称轴的位置，对称轴 abx2。a、b 同号对称轴在 y 轴左侧；b=0 对称轴是 y 轴；a、b 异号对称轴在 y 轴右侧。(4)顶点)44,2(2ab acab。(5)=b2

4、 4ac 决定抛物线与 x 轴交点情况：0 抛物线与 x 轴有两个不同交点；0 抛物线与 x 轴有唯一的公共点；0 抛物线与 x 轴无公共点。(四)反比例函数 解析式：)0(kxky。(1)k 0 时，图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2)k 0 时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.典题分析例 1为预防“非典”，小明家点艾条以净化空气，经测定艾条点燃后的长度 y cm与点燃时间 x 分钟之间的关系是一次函数，已知点燃 6 分钟后的长度为 17.4 cm，21 分钟后的长度为 8.4 cm。（1）求点燃 10 分钟后

5、艾条的长度。（2）点燃多少分钟后，艾条全部烧完。解：（1）令 y=k x+b，当 x=6 时，y=17.4，当 x=21时 y=8.4，则2153x y x y 之间的函数关系式为 与.15 10,15 21 105310cmy x分钟后艾条的长为 所以点燃时 当(2)艾条全部烧完，即 y=0，令0 2153x，解得：x=35，6k+b=17.4 21k+b=8.4 解得2153bkO x 因此，点燃 35 分钟后艾条全部烧完。例 2小明从斜坡 O点处抛出网球，网球的运动曲线方程是 2214 x x y，斜坡的直线 方程是 x y21，其中 y 是垂直高度（米），x 是与 O点的水平距离（米）

6、。网球落地时撞击斜坡的落点为 A，求出 A 点的垂直高度，以及 A 点与 O 点的水平距离。求出网球所能达到的最高点的坐标。分析:（1）A 点的垂直高度就是点 A 的纵坐标，A 点与 O 点的水平距离就是点 A的横坐标，而点 A 既在抛物线上又在 直线上 来源:学科网 只要解抛物线方程和直线方程联立的方程组，求得方程组的解即可。（2）求最高点即抛物线顶点 B 的坐标，只要把抛物线方程改写成顶点式，或者用顶点坐标 的公式即可求出。解：(1)由方程组 x yx x y212142解得 A 点坐标（7，3.5），求得 A 点的垂直高度为 3.5米，A 点与 O 点的水平距离为 7 米。).8,4(8

7、)4(21)16 4 8(21)8(21214)2(22 2 2 2的坐标为 最高点 Bxx x x x x x y例 3 若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)都在反比例函数 xy1的图像上,则(A)y1y2y3(B)y2y1y3(C)y3y1y2(D)y1y3y2分析：函数 xy1的图 像在第二、四象限，y 随着 x 的增大而增大，又第二象限的的函数 值大于第四象限的函数值 y2y1y3，选(B)y A B O y x 1-1例 4.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 米长的篱笆围成中间有一 道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x 米,(1)要使鸡场面积最大，

8、鸡场的长应为多少米？(2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆 隔墙，要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为 多少米？解:(1)设鸡场的面积为 y 米 2,则宽为 350 x米，即 3625)25(312x y。所以当 x=25 时，鸡场的面积最大。.,25,2625)25(21,250)2(2鸡场的面积最大 时 所以当 配方得 cm xnxnynxx y由（1）（2）结果可得出：不论鸡场中间有几道墙，要使鸡场面积最大，它的总长等于篱笆 总长的一半。例 5某家电生产企业跟踪市场调查分析，决定调整产品生产方案，准 备每周（按 120 个工 时计算）生产空调器、彩电、冰箱共 360 台，(4)

9、根据图乙,自编一则新的“龟兔赛跑”的寓言故事，要求如下:用简洁的语言概括大意，不能超过 200 字；图中能确定的数值，在故事叙述中不能少于 3 个，且分别涉及时间、路程和速度。分析：乌龟的运动路径是过点(0,0)、(35,200)的一条线段。兔子的运动路径分三段：1)端点为(0,0)、(5,200)的线段；2)端点为(5,200)、(35,200)平行于横轴的线段；3)端点为(35,200)、(40,300)的线段。)40 35(,500 20)35 5(,200)5 0(,40t ttt tS兔 乌龟追上兔子处，从图中看，就是虚线和实线的交 点。解：(1)甲；(2)主人公（龟或兔）到达时间（

10、分）最快速度（米/分）平均速度（米/分）实线 兔 40 40 217虚线 龟 35 748748(3);35 0(760t t S龟 项目 线型 x)40 35(,500 20)35 5(,200)5 0(,40t ttt tS兔 结合图像，由 200760t，解得 370t，即乌龟用 370分追上小兔，追及地距 起点 200 米。(4)例文：听到发令枪响，小兔迅速向前冲去，他用了 5 分多钟就跑出了 150 米，这时，他回头一看，发现 乌龟才跑出 50 米就不动了，原来乌龟受伤了，小兔连忙跑回来，用 5 分钟时间为乌龟包扎好伤口，然后，扶着乌龟一起以 10 米/分的速度前进，又经过了 25

11、分钟，他们终于一起到达了 300 米的终点。例 6图 1 是棱长为 a 的小正方体，图 2、图 3 由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层、第二层、,第 n 层，第 n 层的小正方体的个数记为 s。解答下列问题：（1）按照要求填表：（2）写出当 n=10 时，s=_；（3）根据上表中的数据，把 s 作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点。（4）请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式。(4)经观察所描各点，它们在二次函数的图像上。设函数的解析式为 S=an2+bn+c，由题意得：所以，n n S21212.例 7

12、且冰箱至少生产 60 台，已知生产这些产品每台的需工时和每台产值如下表：家电名称 空调器 彩电 冰箱n s a+b+c=14a+2b+c=3 9a+3b+c=6，解之，得02121cba工时 产值（千克）4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使生产之最高？最高产值是多少千元？分析 可设每周生产空调、彩电、冰箱分别为分别为 x 台、y 台、z 台。故有目标函数 S=4x+3y+2z（即产值与家电的函数关系）。在目标函数中，由于 4x+3y+2z 中有三个未知数，故需消去两个未知数，得到一个一元函数，在确定这个变元的取值范围，从而可得出问题的 解答。解 设每周生产空调器、彩电、冰

13、箱分别为 x 台、y 台、z 台。由题意得：由消去 z 得 y=360-3x.将带入得 x+(360-3x)+z=360，即 z=2x.z 60，x 30.将代如得 S=4x+3(360-3x)+2(2x)=-x+1080.由条件知，当 x=30 时，产值最大，且最大值为-30+1080=1050(千元)将 x=30 代入得 y=360-90=270，z=2 30=60.答：每周应生产空调器 30 台，彩电 270 台，冰箱 60 台，才能使生产值最大，最大生产值 为 1050 千元。点评：例 1 是用待定系数法求一次函数的典型例子，所示不同的只是赋予了较新的背景材料，待定系数法是求函数解析式

14、最常用的方法之一，用待定系数法解题的策略是有几个待定的系 数就找几 个方程构成方程组。例 2 的关键是把实际问题转化为求两解析式交点的问题，以及如何求二次函数顶点的方 法。来源:学科网 ZXXK例 3 主要是数与形的转换，历为函数图像能直观地反映函数的各种性质。利用数形结合 的思想，同学们可以开拓解题思路，设计更好的解题方案，以便迅速地找到解决问题的途径。例 4 和例 7 是函数应用题，我们首先要从问题出发，利用量与量之间的内在联系，引进 数学符号，建立函数关系式，再确定函数关系式中自变量的取值范围，利用函数性质，结合 问题的实际意义，最后得出问题的解答。例 5 是一道比较新颖的图像信息题，不仅考察同学们的数学知识，还要有同学们有一定 的文学功底，解这类题首先要读懂图形，从图中获取信息，一个一个地将条件抽象成数量关 系，最后一问同学们创设的情景一定要合乎常理。例 6 通过请同学们观察三个立体图形，猜想探索发现规律，并把发现的规律一般化，最 后用图像语言表述结果，命题经历了问题情景建立模型解释，应用拓展,练习这样 一个完整的解决数学问题的过程。练习