2023年九年级数学一元二次方程的根的判别式及根与系数关系,分式方程首知识精讲 试卷(最新版).pdf

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1、卜人入州八九几市潮王学校初三数学一元二次方程的根的判别式及根与系数关系，分式方程首师大【同步教育信息】一.本周教学内容：1.一元二次方程的根的判别式及根与系数关系，分式方程 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0的根的判别式 b2 4ac，b2 4ac 的符号决定 1 方程的实根的存在性。判别式可用于判断一元二次方程的根的情况，还可以利用它进展有关的计算、推理和证明。它提醒了一元二次方程的根与系数之间的内在联络，在讨论一元二次方程的根的情况，解决计算和证明有关两数和、两数积的有关问题时，常常要用到它，在高中代数、三角、解析几何中，它也有广泛的应用。二.重点、难点：重点：重点是纯熟掌握一元二

2、次方程根的判别式，会用判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数关系也是重点。难点：讨论一元二次方程根的情况，解决计算和证明有关两数和，两数积的有关问题是难点，分式方程的换元法既是重点也是难点。【例题分析】例 1.已知 为非负整数，且关于 的一元二次方程 有两个实数根，m x m x x x()1 12 2求 m的值，并求出这时方程的根。分析：首先要把关于 x 的二次方程整理成一般形式，使二次项系数不等于零，由方程有两个实数根，得出判别式大于或者等于零，可解出 m的取值范围，最后由 m是非负整数来确定 m的值。解：整理原方程，得 例 2.已知关于 的一元二次方程 中的 为不小于 的

3、整 x x m x m m m2 22 2 4 3 0()()数，并且它的两个实数根符号相反，求 m的值，并解方程。解：整理原方程，得 例 3.已知，是关于 的二次方程 的两个根，是 x x x x px q x x1 221 20 1 1 分析：由题目给出的条件，我们可以利用根与系数的关系，组成含有 x1、x2、p、q 的四元方程组，通过消去 x1、x2转化为关于 p、q 的二元方程组求解。解：据题意，得 例 4.已知：方程 有两个实根且它们的平方和比它们的乘积大 x m x m2 22 2 4 0()21，求 m的值。87 年中考题 解：首先强调 0 设方程的两根为 x1、x2 例 5.a

4、、b、c 是 ABC 的三条边长，试证明关于 x 的一元二次方程 c2x2 b2 c2 a2 x b2 0 没有实数根。分析：要证明一元二次方程没有实数根，只需证明判别式小于零。证明：()b c a c b2 2 2 2 2 24 说明：利用判别式证明一元二次方程有无实数根的问题的一般解题步骤是：方等；例 6.已知、是 的两个实数根，求 的值。（用、x x ax bx c a ax bx c a1 221220 0()b、c 的代数式表示 解法 1：x x ax bx c1 220、是 的两个实数根 解法 2：x x ax bx c1 220、是 的两个实数根 说明：此题还有其它一些解法，不管

5、用什么方法，均需运用根与系数的关系，通过对ax bx c122 进行恒等变形求解。例 7.解方程xxxx22113 312 0 解：此题用换元法。说明：解分式方程时，一定要注意观察题目构造，能用换元法求解时，一定首选换元法，会使解题简捷，解分式方程要注意检验。【模拟试题】模拟试题一 一.选择题：1.二次方程x ax a22 1 的根的情况为 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.方程x x k24 6 0 的两根的平方差等于 8，那么k A.12 B.12 C.13 D.13 3.以x x23 1 0 的两个根的平方为根的一元二次方程是 A.y y

6、211 1 0 B.y y211 1 0 C.y y211 1 0 D.y y211 0 4.假设a b c 0且a 0，那么二次方程ax bx c20 的根是 A.1 和ca B.1和ca C.1和ca D.1和a ba 5.一元二次方程ax bx c a20 0()的系数满足()bac22，那么方程的两根之比为 A.0:1 B.1:2 C.1:3 D.1:1 6.假设x x1 2、是关于 x 的方程12 16 3 02 2x ax a 的两个根，且x x a1 20，那么x x1 2的值是 A.53a B.43a C.97a D.73a 7.假设关于 x 的方程x mx21 0 与x x

7、m20 有一个一样的实数根，那么 m 的值是 A.2 B.0 C.1 D.14 8.假设方程ax bx c a20 0()的一个根是另一个根的 2 倍，那么 a、b、c 的关系是 A.b ac28 B.4 32b ac C.2 92b ac D.3 52b ac 9.方程x bx b2 22 0 的两根之积为4 272b，那么此方程两根之和为 A.6 B.3 或者 6 C.9 D.3 二.填空题：1.关于 x 的一元二次方程()k x x 1 2 3 02有两个不相等的实数根，那么 k _。2.假设m 1，那么关于 x 的方程x m x m22 1 4 1 0()的根的情况是 _。3.关于 x

8、 的方程()()()a x a x a a 1 2 1 2 0 12的根的情况是 _。4.假设方程2 4 02x mx 的一个根为 2，那么另一个根是 _，m _。5.关于 x 的方程x x k25 0 的两根之差是 3，那么k _。6.x x1 2、是方程2 8 1 02x x 的两个根，那么xxxx1221的值等于 _。7.方程x mx n22 3 0 的一个根是另一个根的13，方程x nx m23 0 的一个根是另一个根的 2倍，且mn 0，那么m _，n _。8.x x1 2，是方程2 8 02x x n 的两个根，且x x x x121 2 225，那么 n 的最大整数值是 _。三.

9、解答题：1.斜边为 10 的直角三角形的两条直角边 a，b 是 x2 mx 3m 6 0 的两个根，求 m的值。2.方程x k x k2 22 1 2 0()的两个实数根的平方和为 11，求 k 的值。3.设、是方程x x210 2 0 的两个根，求的值。4.x x1 2，是关于 x 的方程4 3 5 6 02 2x m x m()的两个实数根，且|xx1232，求 m的值。5.k 为何整数时，关于 x 的一元二次方程kx x24 4 0 和x kx k k2 24 4 4 5 0 的根都是整数。6.菱形的周长是 10，两条对角线的长是方程x m x m22 1 4 1 0()()的两根，求

10、m的值。模拟试题二 一.选择题：1.当m 4时，关于 x 的方程()()m x m x m 5 2 2 02的实数根的个数为 A.2 个 B.1 个 C.0 个 D.不确定 2.关于 x 的方程x k x k k2 23 1 2 4740()()的根的情况是 A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.不能确定 3.假设一个一元二次方程的两根和为32，两根积是 2，那么这个一元二次方程是 A.3 4 4 02x x B.3 4 4 02x x C.3 2 6 02x x D.3 6 2 02x x 4.方程x kx k2 21 0 的一根x13，那么另一根x2及 k 的

11、值是 A.x k21 2，B.x k28 5，C.x k21 2，或者x k28 5，D.都不对 5.关于 x 的方程x m x m2 24 1 0()的两个根互为相反数，那么 m的值是 A.1 B.2 C.2 D.2 6.关于 x 的方程ax bx c20 的两根互为倒数，那么 A.a b B.b c C.a c D.以上都不对 7.方程x x p23 0 的两根平方和为 7，那么 p 的值是 A.1 B.0 C.1 D.2 8.在以下方程中一个根为正数，一个根为负数，且正数的绝对值较大的方程是 A.2 3 3 02x x B.2 5 1 02x x C.4 2 5 32x x x D.3

12、5 42x x 9.多项式2 2122 2x xy y 分解因式的结果为 A.()()x y x y 1 221 22 B.()()x y x y 1 221 22 C.21 221 22()()x y x y D.21 221 22()()x y x y 10.以下二次三项式在实数范围内不能分解因式的是 A.6 152x x B.3 7 32y y C.m mn n2 22 4 D.2 4 52 2x xy y 二.填空题：11.方程3 8 02x x m 的两根之比为 3:1，那么m _ 12.设、是方程x x25 3 0 的两根，求的值是 _ 13.设方程x mx22 0 的两根为x x

13、1 2、，假设|x x1 24，那么 m _ 14.两数之和为 3，两数之积为 4，那么此二数是 _。15.在实数范围内分解因式2 3 62 2x xy y _ 三.用适当方法解方程：16.xxxx2222 21 0()17.xxxx223 10402 四.关于 x 的方程x k x k2 22 3 6 0()两根之积是两根和的 2 倍，求 k 的值。五.关于 x 的方程x m x m2 22 2 0()有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大 33，求 m的值。【疑难解答】A.老师自己设计问题：问题 1：第三大解答题第 1 小题的解题思路是什么？问题 2：第三大解答题第 5 小题应采用什么方

14、法？B.对问题的解答：问题 1：提示：利用根与系数关系及勾股定理得到 问题 2：提示：由题意 1 22 216 16 4 4 4 4 5 k k k k，()()试题答案 模拟试题一 一.选择题：1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A 7.A 8.C 9.A 二.填空题：1.23且 k 1 2.有两个不相等的实数根 3.有两个不相等的实数根 4.1 2，6.4 2 9 8.无解 提示：2 8 02x x n 三.解答题：1.m 14 2.k 1 3.5 4.m m 1 5 或 5.k k k 1 0 1（，舍去）6.m m 4 1（舍去）模拟试题二 一.选择题：1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 6.C 7.C 8.D 9.C 10.D 二.填空题：1 12.5 33 13.2 2 14.4和 1 15.23 5743 574()()x x 三.解分式方程：16.经检验x x1 22 1，均为原方程的解。17.经检验x13 是原方程的解，x 2是增根，舍去。四.k 4，注意由 0得出k k 540，舍去 五.由 0得出m 1 由x x x x12221 233 得m m 17 1，m 17时，0 m 17舍去，m 1