2023年九年级数学直线和圆的位置关系精品讲义.pdf

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1、九年级数学直线和圆的位置关系教案 直线与圆的位置关系 教学目标(一)教学知识点 1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.2.了解切线的概念,探索切线与过切点的直径之间的关系.(二)能力训练要求 1.经历探索直线与圆位置关系的过程,培养学生的探索能力.2.通过观察得出“圆心到直线的距离 d 与半径 r 的数量关系”与“直线与圆的位置关系”的对应与等价,从而实现位置关系与数量关系的相互转化.(三)情感与价值观要求 通过探索直线与圆的位置关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.教学重点 经

2、历探索直线与圆位置关系的过程.理解直线与圆的三种位置关系.了解切线的概念以及切线的性质.教学难点:经历探索直线与圆的位置关系的过程,归纳总结出直线与圆的三种位置关系.探索圆的切线的性质.教学过程.创设问题情境,引入新课 师 我们在前面学过点与圆的位置关系,请大家回忆它们的位置关系有哪些？生 圆就是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.即圆上的点到圆心的距离等于半径;圆的内部到圆心的距离小于半径;圆的外部到圆心的距离大于半径.因此点与圆的位置关系有三种,即点在圆上、点在圆内与点在圆外.也可以把点与圆心的距离与半径作比较,若距离大于半径在圆外,等于半径在圆上,小于半径在圆内.师 本节课我们

3、将类比地学习直线与圆的位置关系.新课讲解 1.复习点到直线的距离的定义 九年级数学直线和圆的位置关系教案 生 从已知点向已知直线作垂线,已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离.如图,C 为直线 AB外一点,从 C 向 AB引垂线,D为垂足,则线段CD即为点 C 到直线 AB的距离.2.探索直线与圆的三种位置关系 师 直线与圆的位置关系,我们在现实生活中随处可见,只要大家注意观察,这样的例子就是很多的.如大家请瞧课本 113 页,观察图中的三幅照片,地平线与太阳的位置关系怎样？作一个圆,把直尺的边缘瞧成一 条直线,固定圆,平移直尺,直线与圆有几种位置关系？生 把太阳瞧作圆,地平线

4、瞧作直线,则直线与圆有三种位置关系;把直尺的边缘瞧成一条直线,则直线与圆有三种位置关系.师 从上面的举例中,大家能否得出结论,直线与圆的位置关系有几种呢？生 有三种位置关系:师 直线与圆有三种位置关系,如下图:它们分别就是相交、相切、相离.当直线与圆相切时(即直线与圆有唯一公共点),这条直线 叫做圆的切线(tan gent line).当直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交.当直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离.因此,从直线与圆有公共点的个数可以断定就是哪一种位置关系,您能总结不？生 当直线与圆有唯一公共点时,这时直线与圆相切;当直线与圆有两个公共点时,这时直线与圆相交;当直线与圆没有

5、公共点时,这时直线与圆相离.师 能否根据点与圆的位置关系,点到圆心的距离 d 与半径 r 作比较,类似地推导出如何用点到直线的距离 d 与半径 r 之间的关系来确定三种位置关系呢？九年级数学直线和圆的位置关系教案 生 如上图中,圆心 O到直线 l 的距离为 d,圆的半径为 r,当直线与圆相交时,d r;当直线与圆相切时,d r;当直线与圆相离时,d r,因此可以用 d 与 r 间的大小关系断定直线与圆的位置关系.师 由此可知:判断直线与圆的位置关系有两种方法.一种就是从直线与圆的公共点的个数来断定;一种就是用 d 与 r 的大小关系来断定.投影片(3.5.1A)(1)从公共点的个数来判断:直线

6、与圆有两个公共点时,直线与圆相交;直线与圆有唯一公共点时,直线与圆相切;直线与圆没有公共点时,直线与圆相离.(2)从点到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系来判断:d r 时,直线与圆相交;d r 时,直线与圆相切;d r 时,直线与圆相离.投影片(3.5.1B)例 1 已知 Rt ABC 的斜边 AB 8cm,AC 4cm.(1)以点 C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与 C相切？(2)以点 C 为圆心,分别以 2cm 与 4cm 的长为半径作两个圆,这两个圆与 AB分别有怎样的位置关系？分析:根据 d 与 r 间的数量关系可知:d r 时,相切;d r 时,相交;d r 时,相离.解:(

7、1)如上图,过点 C 作 AB的垂线段 CD.AC 4cm,AB 8cm;cos A 12ACAB,A 60.CD AC sin A 4sin60 23(cm).九年级数学直线和圆的位置关系教案 因此,当半径长为 23cm时,AB与 C相切.(2)由(1)可知,圆心 C到 AB 的距离 d 23cm,所以,当 r 2cm时,d r,C与 AB 相离;当 r 4cm 时,d r,C 与 AB相交.3.议一议(投影片 3.5.1C)(1)您能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例不？(2)上图(1)中的三个图形就是轴对称图形不？如果就是,您能画出它们的对称轴不？(3)如图(2),直线 CD与 O

8、相切于点 A,直径 AB与直线 CD有怎样的位置关系？说一说您的理由.对于(3),小颖与小亮 都认为直径 AB垂直于 CD.您同意她们的观点不？师 请大家发表自己的想法.生(1)把一只筷子放在碗上,把碗瞧作圆,筷子瞧作直线,这时直线与圆相交;自行车的轮胎在地面上滚动,车轮为圆,地平线为直线,这时直线与圆相 切;杂技团中骑自行车走钢 丝中的自行车车轮为圆,地平线为直线,这时直线与圆相离.(2)图(1)中的三个图形就是轴对称图形.因为沿着 d 所在的直线折叠,直线两旁的部分都能完全重合.对称轴就是 d 所在的直线,即过圆心 O且与直线 l 垂直的直线.(3)所谓两条直线的位置关系,即为相交或平行,

9、相交又分垂直与斜交,直线 CD与 O相切于点 A,直径 AB 与直线 CD 垂直,因为图(2)就是轴对称图形,AB 就是对称轴,所以沿 AB 对折图形时,AC与 AD重合,因此 BAC BAD 90.师 因为直线 CD与 O相切于点 A,直径 AB与直线 CD垂直,直线 CD就是 O的切线,因此有圆的切线垂直于过切点的直径.这就是圆的切线的性质,下面我们来证明这个结论.九年级数学直线和圆的位置关系教案 在图(2)中,AB与 CD要么垂直,要么不垂直.假设 AB与 CD不垂直,过点 O作一条直径垂直于 CD、垂足为 M,则 OM OA,即圆心 O到直线 CD的距离小于 O的半径,因此 CD与 O

10、相交,这与已知条件“直线 CD与 O相切”相矛盾,所以 AB与 CD垂直.这种证明方法叫反证法,反证法的步骤为第一步 假设结论不成立;第二步就是由结论不成立推出与已知条件或定理相矛盾.第三步就是肯定假设错误,故结论成立.课堂练习 随堂练习.课时小结 本节课学习了如下内容:1.直线与圆的三种位置关系.(1)从公共点数来判断.(2)从 d 与 r 间的数量关系来判断.2.圆的切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.3.例题讲解.课后作业 习题 3.7.活动与探究 如下图,A城气象台测得台风中心在 A城正西方向 300 千米的 B处,并以每小时 107千米的速度向北偏东 60的 BF方向移动,距台风

11、中心 200 千米的范围就是受台风影响的区域.(1)A城就是否会受到这次台风的影响？为什么？(2)若 A城受到这次台风的影响,试计算 A城遭受这次台风影响的时间有多长？分析:因为台风影响的范围可以瞧成以台风中心为圆心,半径为 200 千米的圆,A城能否受到影响,即比较 A到直线 BF的距离 d 与半径 200 千米的大小.若 d 200,则无影响,若 d200,则有影响.解:(1)过 A作 AC BF于 C.九年级数学直线和圆的位置关系教案 在 Rt ABC 中,CBA 30,BA 300,AC AB sin30 30012 150(千米).AC 200,A城受到这次台风的影响.(2)设 BF上 D、E 两点到 A的距离为 200 千米,则台风中心在线段 DE上时,对 A城均有影响,而在 DE以外时,对 A城没有影响.AC 150,AD AE 200,DC 2 2200 150 50 7.DE 2DC 1007.t 100 710 7sv 10(小时).答:A城受影响的时间为 10 小时.九年级数学直线和圆的位置关系教案 九年级数学直线和圆的位置关系教案