一轮复习北师大版第八章第7节　第一课时　最值范围问题学案.docx

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1、第7节圆锥曲线的综合应用考纲展示.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.1 .了解圆锥曲线的简单应用.2 .理解数形结合的思想.必备知识1 . ./知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线1与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线1的方程Ax+By+C=O（A, B不 同时为0）代入圆锥曲线C的方程F （x, y）=0,消去y （或x）得到一个关于变量x （或 y）的一元方程.府 , （Ax + By + C= 0, ,MZ, 4日 2例：由）/、消去 y,何 ax +bx+c=0.S （x, y） = 0当aNO时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为A ,则 0?直线与圆

2、锥曲线C if交；二0?直线与圆锥曲线C相切； 0,整理得t28k2+6.由根与系数的关系得X|+X2=-三3, X|X2=, 3+4/cz3+4/cz由，消去X1,X2得k2二岛，由-/ + 6 12t2-8t2 o,一/+612-8+ 6,综上-Wt26.3因为以FF为直径的圆的面积S二兀-(早)，4所以S的取值范围是百2冗).J昌反思归纳解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范 围.利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数 之间的等量关系.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范

3、围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而 确定参数的取值范围.对点训练3如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存 在不同的两点A, B满足PA, PB的中点均在C上.(1)设AB的中点为M,证明：PM垂直于y轴；若P是半椭圆x2+=l (x0.所以 yi+y2=2y0,所以PM垂直于y轴.解：由可知卜+丫2； 2yo(y/2 = 8%0-%,所以 | PM I =(资+/xo=：%3xo, | y-y21 =2,2 (光一4%。). 84所以 SdAB=，PM| |yy2|二学(

4、y一4xo”. 乙Jk因为%衣+*=1 (TWxoO),所以%-4x()=-4%Q4x()+4 4, 5,4所以4PAB面积的取值范围是6近，粤.4.二备选例题1例1已知椭圆M：m+：=1 (a0)的一个焦点为F (-1, 0),左、右顶点分别为A, B, az3经过点F的直线1与椭圆M交于C, D两点.当直线1的倾斜角为45时,求线段CD的长；设4ABD与4ABC的面积分别为S.和S2,求|S-S2|的最大值.解：(1)由题意得,c=l,b2=3,2所以/二4,所以椭圆M的方程为=1,43易求直线1的方程为y=x+l,联立方程，得了+5一 L(y = % + 1,消去 y,得 7x?+8x-

5、8=0,设 C(xb yi), D(x2, y2),二288, X1+X2=-3 X1X2=一3所以 | CD I =V2 I X-X2| 二鱼 J (%1 + %2)2-4x1x2=y.当直线1的斜率不存在时，直线方程为X=-1,此时4ABD与4ABC的面积相等，|s-s2|=o；当直线1的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+l)(kW0),联立方程,得?+?=，y = k(% + 1),消去 V,整理得(3+4k?)x2+8k2x+4k-12=o,A 0,且 Xi+x2=-8k23+4/c24k2-12，X1X23+4/c2此时 I Si-S21 =21 I y21 -1 yi I I =

6、21 y2+yi I = 2 I k (x2+l) +k (xi+1) I =21 k (x2+xi) +2k | 二因为 kWO,3+4/c/所以上式二丁/ 12二篇二次(当且仅当k二时,等号成立)，而+4闻2飞2届2所以S-S2I的最大值为V5.22例2椭圆G：5+9=1(ab0)和圆C2: x24-y2=b2,已知圆C?将椭圆。的长轴三等 a2bz分，且圆C2的面积为兀.椭圆3的下顶点为E,过坐标原点0且与坐标轴不重合的 任意直线1与圆C2相交于点A, B,直线EA, EB与椭圆3的另一个交点分别是点P,M.求椭圆3的方程;求4EPM面积最大时直线1的方程.解：由题意得b=l,则a=3b

7、=3,所以椭圆3的方程为y2=1.由题意得,直线PE, ME的斜率存在且不为0, PEEM,则 PE:y=kx-l,则 PE:y=kx-l,18k 9H + 1 9k2-1 9k2 + l匚匚 i、i c/ 18/c9fc21 或曰.不妨设直线PE的斜率为k (k0),所以p(许，许)，同理得M(3餐,要),H+9 k2+9kpM 二k2l10k(y = kxT,叫/+/ =2k k2-ll+H i+fc2 同理得B(-2kl-k2H+i 1+H)所以sEPM=|PE| I EM|-162 (k+k3) _ 162(k+9/c4+82k2+9 9H + 82+.设廿k+i162t 162EPM

8、9t2+64 9t+y当且仅当t=k+那时,取等号,所以 k-=+| V7, rC 3则直线 AB:y=ix=1(k-i)x, 所以所求直线1方程为y二fx.2.弦长公式设斜率为k（kWO）的直线1与圆锥曲线C相交于A, B两点,A3,设，B（X2, y2）,则I AB | =V1 + /c2 | xi-x21 =V1 + /c2 J（%i + %2）24x1x2或 I AB I = /l + 萤 | yi-y27 k2二Jl + 表 J（% +、2）2-4y/2.昌重要结论利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形,若k不存在,可直接求交点巫标再求弦长.对于元二次方程 ax：+bx+c=0

9、（aWO）, =Hal113.圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程（组）思想：引参一列方程（组）一消参一求值，或围绕函数思想求范围、最值，或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题.昌重要结论椭圆的过焦点且垂直于长轴的弦长为空. a双曲线的过焦点且垂直于实轴所在直线的弦长为变. a抛物线的通径长为2p.（4）抛物线中过焦点的弦中，通径最短;椭圆、双曲线中过焦点的弦中，与长轴、实轴垂直的弦最菽/基础自测1.判断下列结论的正误.（正确的打“ J ”，错误的打“ X ”）（1）直线1与抛物线y2二2Px只有一个公共点,则1与抛物线相切.（）22设点P（x,y。）为双曲线

10、彳噎二1上的任一点，则|x|2a.（）az bz22椭圆今+2=1上的点到焦点距离的最大值是a+c.()a2 b2(4)直线与椭圆只有一个交点?直线与椭圆相切.()v2 八过点4)的直线与椭圆+yJl只有一条切线.()4答案：(l)X(2)X(3) V (4) V (5)X222 .直线y=kx-k+1与椭圆3+一二1的位置关系为(A ) 94A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定解析:直线y=kx-k+l=k(xT)+l恒过定点(1, 1),又点(1, 1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.故选A.3 .已知抛物线C:y=2px(p0)的焦点为F,直线y=k(x+2)与抛物线C交于点A, B,

11、且 A(l,2),则 |FB|等于(C )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析：由点A (1, 2)在抛物线C上得p=2,设B邑t),由直线过定点(-2, 0)得k二高二式二，41-(-2)J-2)4解得廿4 (舍去t=2), B (4, 4),所以|FB| =4+5.故选C.224.直线1与双曲线C：Vzi=1(a0, b0)交于A, B两点是线段AB的中点,若1 az bz与OM(O是坐标原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为(D )A. 3 B. 2 C. V3 D. V2解析：设A (xb解,B 3, y2), M (xo, y。)，把A, B两点坐标分别代入双曲线的方程

12、，得=1,=1,五_城 a2 b2 遐_遗 a2 b2两式相减得两式相减得(%i+%2)(式1一%2) 仇+丫2)仇。2)a2b2=0,（_ 巧+12又I 2，所以殛二丫0仇一乃）y（）=左士及，砂匕2（当_%2）2所以号w九曲口az x0xr-x2）所以 e2=1+=2, az又el,所以e=V2.故选D.5.已知倾斜角为60的直线1通过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A, B两点,则弦| AB |=. ?解析:法一 直线1的方程为y二8x+1,由卜=y/3x+ 1,得 y2.14y+1=0, A 0.% = 4y,设 A （xi, yi）, B （x2, y2）,则 yi+y2=1

13、4,所以 | AB|二yi+y2+p=14+2=16.法二 过A作准线的垂线,垂足为D,过F作AD的垂线,垂足为H（图略），则IAF|二|AD|二p+|AF|sin 60 ,即 IAF | =-=,l-sin60 l-sin60同理|BF|二一.l+sin60故|AB|=|AF|+|BF|=16.答案：16第一课时最值、范围问题关键能力，考点一最值问题角度一利用目标函数求最值例1已知动圆E经过点F（l,0）,且和直线l:x=-1相切.04/14(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；(2)已知点ao),若斜率为1的直线r与线段OA相交(不经过坐标原点0和点A),且与曲线G交于B, C两点,求4AB

14、C面积的最大值.解：(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线1的距离,所以动点E的轨 迹是以F(l, 0)为焦点,直线x=-l为准线的抛物线,故轨迹G的方程是y2=4x.设直线r的方程为y=x+m,其中-3水0, C (xb Y1), B (x2, y2),联立得方程组7犯(y 乙=4x消去 y,得 x2+ (2m-4) x+m2=0,A = (2m-4) 2-4m2=16 (1-m) 0 恒成立.由根与系数的关系得xi+x2=4-2m, Xi - x2=m2,所以 ICB | =4V2(l-m),点A到直线的距离d二岁，V2所以 Saabc-11 X 4,2 (1-771)X=2Vl-

15、m (3+m),令th=t, t (1, 2),则 m=l-t2,所以 Saabc2t (4-t2) 8t-2t3,令 f (t)=8t-2t3,所以 f (t)=8-6t2,令#(t)=0,得t4(负值舍去).V3易知y=f在(1,*)上单调递增,在(意2)上单调递减.所以y=f在即mW时,取得最大值,最大值为争.V339所以4ABC面积的最大值为胃.合反思g纳圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变，但总体上主要有两种方法:一 是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质 等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 （些）参数的函数（

16、解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.对点训练1已知椭圆+y2=l上两个不同的点A, B关于直线y=mx+5对称.求实数m的取值范围；求AAOB面积的最大值（0为坐标原点）.解：（1）由题意知mWO,可设直线AB的方程为y=-x+b. m得(-+7)x2-x+b2-l=O. 2m因为直线y=-x+b与椭圆3+yJl有两个不同的交点，所以a =-2b2+2+0, m2将AB的中点M （笔,器）代入直线方程y=mx+i解得b二-弊, mz+2 mz+222mz由得m-夸或故m的取值范围是（-8, 一争U （手,+8）.（2）令 t=-e （当 0） U （0,）,则 t? （0, |）

17、. m222-2t4+2t2+-.2 11贝U | AB |二产FT N一丁,且0到直线AB的距离为d=X.t2+-Vt2+1设AAOB的面积为S（t）,所以 S(t)=-| AB| d=-卜(/-/ + 2 后,当且仅当t?三时,等号成立,此时满足t2e （0,1）.故AAOB面积的最大值为弓.角度二利用基本不等式求最值例2已知点F/2分别为椭圆E：q+*l(ab0)的左、右焦点，椭圆上的点Paz bz满足NEPF2=90 ,且EPF?的周长为4+2V3,面积为1.求椭圆E的标准方程；如图，过点件,F2分别作直线L, 12,且交椭圆于A,B两点，k交椭圆于C, D两点,求四边形ABCD面积的

18、最大值.解：设|PFj二m, |PFz|二n,则 m+n=2a,m2+n2= (2c)2,2-，得 mn=2 (a2-c2),所以 SaFPF2 二/ n = a,-cJb?= 1.因为F1PF2 的周长 L=m+n+2c=2a+2c=4+23,所以 a+c=2+V3,所以 a-c=2-V3,所以 a=2, c=V3,2+V32所以椭圆E的标准方程为二+y2=l.4(2)由题知I1的倾斜角不为。,Fi (-V3, 0), 由对称性得四边形ABCD为平行四边形，设直线11的方程为x=py-V3, 联立直线L与椭圆的方程并化简，得(p2+4) y2-2V3py-l=0,显然0,设 A (xi, y

19、i), B (x2, y2),7|r|2y/3p1贝 w+y?二西，山 y?二西1V3oab=- V3 y-y2 =1V3oab=- V3 y-y2 =连接OA, OB(图略)，所以2_a _2_=2a/3 M+i p2+41p2+41(p2+4)2设 p2+l=t, t e 1, +oo),贝|J p2=t-l,所以p2+l(p2+4)2 t2 + 6t+9 t+6当且仅当t=l即p=土四时,等号成立, L*所以(SOAB)max=2 V3 X 三1, l12所以平行四边形ABCD面积的最大值Smax=4 e(Saoab) max=4.g反思也纳基本不等式不但可直接解决和与积的不等问题，而且

20、通过结合不等式性质、 函数单调性等还可解决其他形式的不等式.如:和与平方和、和与倒数和、和与 根式和、和与两数之积的和等.分析问题中的数量关系，引入未知数,并用它表示其他的变量,把要求最值的 变量设为函数.利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式I, 然后用基本不等式求出最值.对点训练2已知直线l1：ax-y+l=0,直线l2:x+5ay+5a=0,直线L与k的交点为M,点M的轨迹为曲线C.当a变化时，求曲线C的方程；(2)已知点D(2, 0),过点E(-2, 0)的直线1与C交于A, B两点,求4ABD面积的最 大值.解：由八消去a,得曲线C的方程为：+y2=i (

21、y#T,即点(0, T) (% + 5 ay+ 5a = U5不在曲线c上).(2)设 A (xi, yi), B (x2, y2), 1: x=my-2,由 知,mW-2,(x = my-2,%2, 2 d W(m2+5)y2-4my-l=0, A 0,w + y = 1，IThl i 4m1则“y2=蕨行y.二一商？故AABD 的面积 S=21y2-y.I =2yj(.y2+y1)2-4y2y1= 2后需二三鼻哼醇，设 t=Vm2+ 1, t e 1, +8),且 t贝ij二纪且 SW?,t2+4 七+-9当且仅当t=；,即t=2, m二土值时，AABD的面积取得最大值岳.考点二范围问题22例3已知椭圆C:+=l(ab0)的两焦点分别是E(-VI 0), F2(VI 0),点 az bzE(V2,苧)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；设P是y轴上的一点,若椭圆C上存在两点M, N使得诂二2血,求以FF为直 径的圆的面积的取值范围.解：(1)由题意知，半焦距c二企,2a二| EF+1EF21=8 +如乎二4的,72 2所以a=2V2,所以 b2=a2-c2=8-2=6,