信号与系统第二章.ppt

《信号与系统第二章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统第二章.ppt（84页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第第2章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 w 2.1 系统系统w 2.2 LTI系统的基本性质系统的基本性质w 2.3 电路微分方程的建立及经典解法电路微分方程的建立及经典解法w 2.4 卷零输入响应和零状态响应卷零输入响应和零状态响应w 2.5 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应w 2.6 卷积的计算与性质卷积的计算与性质2.1 系统系统系系统统相相互互依依赖赖、相相互互作作用用的的单单元元组组成成的的能能够够完完成成某某些些特特定功能的整体定功能的整体.系系统统理理论论包包括括系系统统分分析析(system(system analysis)analysis)与与系系统统综

2、综合合(system synthesis)(system synthesis)（设计）两方面的内容。（设计）两方面的内容。系统分析是对已知的系统作各种特性的分析；系统分析是对已知的系统作各种特性的分析；系系统统综综合合则则是是根根据据需需要要去去设设计计构构成成一一满满足足性性能能要要求求的的系系统统。综合是分析的逆问题，它的解答不一定是唯一的。综合是分析的逆问题，它的解答不一定是唯一的。在在电电子子信信息息领领域域中中，通通常常利利用用通通信信系系统统(communications(communications system)system)、控控 制制 系系 统统(control(contr

3、ol system)system)和和 计计 算算 机机 系系 统统(computer system)(computer system)进行信号的传输和处理进行信号的传输和处理。通通信信系系统统是是指指为为传传送送消消息息而而装装设设的的全全套套设设备备（包包括括传传输输信信道道），应应由由发发送送设设备备、传传输输信信道道和和接接收收设设备备三三部部分分组成。组成。发送设备发送设备信道信道接收设备接收设备信号源信号源受信者受信者2.1.1 系统的分类系统的分类 根据系系统统处处理理的的信信号号形形式式的不同，系统可分为三大类：连连续续时时间间系系统统（简简称称连连续续系系统统）、离离散散时时

4、间间系系统统（简简称称离离散散系系统统）和混合系统。和混合系统。从系系统统本本身身的的特特性性来划分，可分为：线性与非线性、时变与非时变、因果与非因果、稳定与非稳定、记忆与无记忆等系统。1.线性系统和非线性系统齐次性齐次性 若 则有 则有 叠加性叠加性 若 凡能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统线性系统。若 则有 对于线性离散系统则有：【例例1.9】某某系系统统可可由由微微分分方方程程 表表示示，试试问问该该系统是否为线性系统？系统是否为线性系统？解解若若有有两两个个输输入入 及及 分分别别作作用用于于系系统统，则则由由所所给给微微分分方程可得：方程可得：但但无论无论 取什么值取什么值

5、均不均不成立。故该系统为非线性系统。成立。故该系统为非线性系统。2.非时变系统与时变系统非时变系统与时变系统 如果系统的参数与时间无关而为一个常数，或它的输入与输出的特性不随时间（独立变量）的起点而变化，即系统的输出仅取决于输入而与输入的起始作用时间无关，则称为非时变系统非时变系统或称时不变系统时不变系统。若则有若 若系统在同样信号激励下，输出响应随加入时间始点的不同而产生变化，即不具备非时变特性的系统为时变系统时变系统。则有 若若系系统统既既是是线线性性的的又又是是非非时时变变的的，则则称称为为线线性性时时不不变系统（变系统（linear time invariant），简记为简记为LTI。

6、对于连续线性时不变系统，其描述方程为线线性性常常系系数数微微分分方方程程；对于离散线性时不变系统，其描述方程为线性常系数差分方程线性常系数差分方程。【例例1.10】试判断下列系统是非时变系统还是时变系统。试判断下列系统是非时变系统还是时变系统。系统1：系统2：系统3：系统4：解系统1：则有为时变系统系统3：则有而为时变系统系统4：则有为时变系统而系统2：则有为非时变系统而若系统既是线性又是非时变的若系统既是线性又是非时变的,则称为线性时不变则称为线性时不变系统系统(Linear-Time Invariant),简记为简记为连续线性时不变系统连续线性时不变系统线性常系数微分方程线性常系数微分方程

7、离散线性时不变系统离散线性时不变系统线性常系数差分方程线性常系数差分方程3.因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 因因果果系系统统系统某时刻的输出响应只取决于某时刻激励的输入和过去的输入,而与未来的输入无关.非因果系统非因果系统试判断下列系统的因果性：试判断下列系统的因果性：4.稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统 若输入有界，则输出有界（BIBO准则）的系统为稳稳定定系系统统，否则为非稳定系统。记记忆忆系系统统（动动态态系系统统）系系统统的的输输出出不不仅仅决决定定于于当当前前时时刻刻的的输输入入,还与过去的状态还与过去的状态(历史历史)有关有关.含有记忆元件的系统都是记忆系统,如电

8、容、电感、存储设备等。无无记记忆忆系系统统每每一一时时刻刻该该系系统统的的输输出出信信号号值值仅仅仅仅取取决决于于该该时时刻刻的的输入信号输入信号,而与别的时刻值无关而与别的时刻值无关.5 记忆系统记忆系统与无记忆系统与无记忆系统 例：例：为记忆系统为记忆系统为无记忆系统为无记忆系统例例信信号号分分析析连续信号连续信号离散信号离散信号时域：信号分解为冲激信号的线性组合时域：信号分解为冲激信号的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数信号的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数信号的线性组合时域：信号分解为冲激

9、序列的线性组合时域：信号分解为冲激序列的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数序列的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数序列的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合系系统统分分析析连连续续系系统统离离散散系系统统时域：时域：频域：频域：复频域：复频域：时域：时域：复频域：复频域：频域：频域：系统的描述系统的描述系统响应的求解系统响应的求解系统的描述系统的描述系统响应的求解系统响应的求解输入输出描述：阶微分方程输入输出描述：阶微分方程状态空间描述：阶一阶微分方程状态空间描述：阶一阶微分方程输入输出描述：阶差分方程输入输出描述：阶差分方程

10、状态空间描述：阶一阶差分方程状态空间描述：阶一阶差分方程2.2 线性连续系统的描述及其响应线性连续系统的描述及其响应2.2.1 线线性性时时不不变变（LTI）系系统统的的微微分分方方程程描描述述 描描述述线线性性时时不不变变系系统统输输入入输输出出特特性性的的是是常常常常系系系系数线性微分方程数线性微分方程数线性微分方程数线性微分方程。对于电路系统，建立微分方程的对于电路系统，建立微分方程的基本依据：基本依据：基基尔尔霍霍夫夫定定律律（KCL、KVL）以以及及元元件件端端口口的的电电压压电流关系（电流关系（VCR）。）。线性时不变系统分析方法概述线性时不变系统分析方法概述 线性时不变系统的分析

11、的重要意义线性时不变系统的分析的重要意义 实际工作的多数系统在指定的条件下可被近似看着为线性时不变系统；线性时不变系统的分析方法已形成较为成熟、完善的体系；但作为一般的理论，至今尚未达到成熟的阶段；它是研究时变系统或非线性系统的基础。系统分析就是建立描述系统特性的数学模型并求出其解。建立系统模型方面，描述方法有两大类型输入输出法（外部法）状态变量法（内部法）输入输出法描述法只关心系统的输入与输出间的关系，主要是研究系统激励与响应之间的直接关系，并不涉及系统的内部变量的情况。一般而言，描述线性时不系统输入输出关系是常系数线性微分方程（对于连续系统）或常系统线性差分方程（对于离散系统）。故这种方法

12、适用与常见的SISO系统的研究。状态变量法不仅关心输入和输出间的关系，而且可提供系统内部各变量的情况。它是用两组方程来描述系统。状态方程描述系统内部状态变量与激励之间的关系。对于线性时不变系统是一阶常系数微分方程组（连续系统）和一阶差分方程组（离散系统）；输出方程描述系统的响应与状态变量和激励的关系，输出方程通常是代数方程。因而特别适用于多输入、多输出系统。它不仅适用于线性时不变系统，也便于推广应用于时变系统和非线性系统。时域法直接分析时间变量函数，研究系统的时域特性。变换法是将信号与系统的时间变量函数变换成相应变换域的某个变量函数。从系统数学模型的求解方法 时域法变换法1.元件端口电压元件端

13、口电压电流关系电流关系 电阻电阻 电感电感 电容电容 2.2.基尔霍夫定律（基尔霍夫定律（KCLKCL、KVLKVL）对任一点对任一点 KCL：对任一回路对任一回路 KVL：图图2.2 电路图电路图 【例例2.12.1】电路图如图电路图如图2.2所示，激励所示，激励 是电流源，是电流源，试列出电流试列出电流 和电阻和电阻 上电压上电压 的微分方程表示式。的微分方程表示式。根据根据KVLKVL：KCLKCL：即即 （2.4）即即 （2.5）VCRVCR：（2.6）（2.7）解解将式（将式（2.6）、（）、（2.7）代入式（）代入式（2.4）可得：）可得：于是于是 将式（将式（2.5）一阶和二阶导

14、数代入式（）一阶和二阶导数代入式（2.4），消去），消去 ，整理得：，整理得：由由此此可可知知，系系统统的的微微分分方方程程中中不不但但含含有有输输入入信信号号 ，而而且且还还含有含有 的导数。的导数。对于一般的对于一般的n阶阶LTI连续系统，其微分方程的形式可写为：连续系统，其微分方程的形式可写为：式式中中 和和 均均为为常常数数；为为系系统统的的响响应应变变量量（电电流流或或电电压压等等），为为系系统统的的激激励励信信号（电压源或电流源等）。号（电压源或电流源等）。2.3 微分方程的经典解微分方程的经典解 微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成。特解特解yp

15、(t)的形式由方程右的形式由方程右边激励信号的形式确定激励信号的形式确定齐次解次解yh(t)的形式由的形式由齐次方程的特征根确定次方程的特征根确定1.齐次解齐次方程1）特征根是不等实根1,2,n2）特征根有重根：若 是特征方程的r重根，即有 ，而其余（n-r）个根都是单根特征根和齐次解的对应关系特征根和齐次解的对应关系 特征根齐次解单实根给出一项：r重实根给出r项：一对共轭复根给出两项：r重复根给出2 r项：2.特解激励特解所有的特征根均不等于0；有r重等于0的特征根。当不是特征根时；当是特征单根时；当是r重特征根时。或 所有的特征根均不等于当 是特征单根。【例例2.2】若描述某线性时不变系统

16、的微分方程为若描述某线性时不变系统的微分方程为 试求：试求：（1 1）当）当 时的全解。时的全解。（2 2）当）当 时的全解。时的全解。将将 代入原微分方程，可得代入原微分方程，可得解：解：（1 1）由原微分方程可得其特征方程为）由原微分方程可得其特征方程为解得特征根解得特征根齐次解为齐次解为 激励激励 特解为特解为其一阶导数其一阶导数 代入初始条件得代入初始条件得 代入式代入式（2.2.1）得）得 得微分方程的特解得微分方程的特解 故全解为故全解为 式式(2.2.1)(2.2.1)故全解为故全解为 其一阶导数其一阶导数 代入初始条件得代入初始条件得 代入式代入式（2.2.2）得）得（2 2）

17、由于是同一微分方程，故其齐次解一样）由于是同一微分方程，故其齐次解一样激励激励 特解为特解为将将 代入原微分方程，可得代入原微分方程，可得得微分方程的特解得微分方程的特解 式式2.2.22.2.22.4 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应 零输入响应（zero-input response，简记为ZIR），不施加激励（即激励为零或零输入），系统本身具有的初始状态引起的响应。零 状 态 响 应（zero-state response，简 记 为ZSR），若初始状态为零条件下，系统仅由外加激励（输入信号）而引起的响应为，称其为零状态响应。对于一个动态系统而言，其响应 不仅与激励 有关，而

18、且还与系统的初始状态 有关。零输入响应零输入响应由系统的非零初始状态所由系统的非零初始状态所引起的响应，只需求解齐次微分方程即可。引起的响应，只需求解齐次微分方程即可。零状态响应零状态响应以冲激响应为核心分析在以冲激响应为核心分析在任意波形信号激励下的零状态响应任意波形信号激励下的零状态响应.经典法经典法求解系统零输入响应和零状态响应求解系统零输入响应和零状态响应一阶系统一阶系统 当输入信号当输入信号 有方程有方程 其特征方程为：其特征方程为：其特征根（又称固有频率）其特征根（又称固有频率）若已知零输入响应的初始值若已知零输入响应的初始值则则ZIRZIR应为应为 零输入响应零输入响应二阶系统二

19、阶系统 当输入信号当输入信号 有方程有方程 其特征方程为：其特征方程为：可解得特征根可解得特征根 则则ZIRZIR应为应为 （2.24）式中式中 可由初始值可由初始值 和和 确定。确定。零状态响应零状态响应二阶系统二阶系统 则则ZSRZSR应为应为 仍为系统特征方程的根，仍为系统特征方程的根，系数由起始值系数由起始值 和和 确定，特解根据确定，特解根据 的形式确定。的形式确定。【例例2.3】如图如图2.3所示的电路，已知所示的电路，已知 ，电电感感电电流流 为为响响应应，求求零零输输入入响响应应、零零状状态态响应和全响应。响应和全响应。图2.3电路图解 由例由例2.1可导出关于电流可导出关于电

20、流 的微分方程的微分方程代入数据得代入数据得 （1）求）求ZIR 令上式中令上式中 ，有齐次方程，有齐次方程 其特征方程为其特征方程为 得特征根得特征根 ZIRZIR的形式为的形式为 式式2.3.12.3.1 由图由图2.3（b），），根据根据KVL可得：可得：在式在式（2.26）及其导数的关系式中令及其导数的关系式中令 ，有，有 将其代入式（将其代入式（2.3.1）得）得（2）求）求ZSR 当当 时，系统的零状态响应时，系统的零状态响应 是下面微分方程的解是下面微分方程的解 该解由两部分组成，即该解由两部分组成，即 齐次解形式为齐次解形式为 特特解解的的形形式式应应与与激激励励相相同同，因因

21、激激励励为为直直流流信信号号，可可 设设为为常常数，令数，令 代入微分方程，得代入微分方程，得 故故ZSRZSR可写为可写为 式（式（2.3.2）由题意可得由题意可得 且且 根据图根据图2.3（c）等效电路可得等效电路可得 在式（在式（2.3.2）及其导数的关系式中令）及其导数的关系式中令 ，有，有将其代回式（将其代回式（2.3.2）得）得ZSR为为 系统的全响应为：系统的全响应为：由上例可知，用经典法求解微分方程时，所用的初始值（初始条件）都是指 时刻的值。而且，求 时刻的初始值也比较繁琐。在系统时域分析中，引入冲激函数后，用卷卷积积积积分分求系统的零状态响应将比较方便，它绕过了求 时刻初始

22、值的步骤。2.5 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 2.5.1 冲冲激激函函数数的的性性质质 设冲激函数强度为1。1.取样特性取样特性当 时，上式变为2.加权特性（筛选特性）加权特性（筛选特性）当 时，上式变为3.单位冲激函数为偶函数，即单位冲激函数为偶函数，即 4.单位阶跃函数单位阶跃函数 的导数是单位冲激函数的导数是单位冲激函数 ，即，即 单位冲激函数单位冲激函数 的积分是单位阶跃函数的积分是单位阶跃函数 ，即，即 说说明明：式式（2.33）解解决决了了不不连连续续函函数数在在间间断断点点处处的的求求导导数数问问题题，如如图图2.4所所示示的的不不连连续续函函数数可可以以表表示示为为一

23、一个个连连续续函函数数与与一一个个适适当当的的加加权阶跃函数之和。即：权阶跃函数之和。即：即有即有 5.展缩特性（尺度变换）展缩特性（尺度变换）式中式中 均为常数，且均为常数，且 。6.冲激函数的导数及其性质冲激函数的导数及其性质 称为单位二次冲激函数或冲激偶称为单位二次冲激函数或冲激偶 单位冲激函数导数的性质单位冲激函数导数的性质:图2.5单位二次冲激函数2.5.2 任意信号的冲激表示任意信号的冲激表示 上上式式表表明明：任任意意信信号号 可可以以看看成成无无穷穷多多个个强强度度为为 的的冲激信号的线性组合，通常称为信号的冲激分解。冲激信号的线性组合，通常称为信号的冲激分解。图2.6用窄脉冲

24、和近似表示任意信号2.5.3 冲激响应（冲激响应（impulse response）线线性性时时不不变变系系统统（LTI）在在零零状状态态条条件件下下，由由单单位位冲冲激激信信号号作作用用所所产产生生的的零零状状态态响响应应称称为为单单位位冲冲激激响响应应，记记为为 。1.1.设描述某一阶设描述某一阶LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 冲激响应的求解冲激响应的求解将式中的将式中的 换为换为 ，再两边同乘以，再两边同乘以 ，得，得 即有：对上式从对上式从 到到t积分，得积分，得 故故 当当 为为单单位位冲冲激激函函数数时时，在在零零状状态态条条件件下下，其其响响应应（单单位位冲冲激响应）激响

25、应）为为由单位冲激函数的抽样性可得：由单位冲激函数的抽样性可得：2.若系统还存在激励若系统还存在激励 的一阶导数，如描述某的一阶导数，如描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为的零状态响应。的零状态响应。根据冲激响应的定义，对于上式所描述的系统，根据冲激响应的定义，对于上式所描述的系统，是方程是方程 式式(2.2.3.1)(2.2.3.1)设系统的冲激响应为：设系统的冲激响应为：式中式中B B、C C是待定常数。是待定常数。系统冲激响应的导数为系统冲激响应的导数为:代入式（代入式（2.2.3.1）得）得:根据冲激函数的抽样性质，得根据冲激函数的抽样性质，得 将其代入式（将其代入式（2.2.

26、3.2）得系统的冲激响应）得系统的冲激响应 式式(2.2.3.2)(2.2.3.2)若对于一般的若对于一般的n 阶阶LTILTI连续系统，其微分方程的形式可写为连续系统，其微分方程的形式可写为 为了求得冲激响应，令为了求得冲激响应，令将其代入上式后，可以看出，它具有以下将其代入上式后，可以看出，它具有以下两个特点：两个特点：因因为为 及及其其各各项项导导数数在在t0区区间间均均为为零零，所所以以上上式式右右端端恒恒等等于于零，故与微分方程的齐次解有相同的形式。零，故与微分方程的齐次解有相同的形式。的的形形式式与与n、m值值的的相相对对大大小小密密切切相相关关。为为使使上上式式成成立立，待待定定

27、 所含的各奇异函数项必须与等式右边的各奇异函数项相平衡。所含的各奇异函数项必须与等式右边的各奇异函数项相平衡。综上所述，如果方程的特征根综上所述，如果方程的特征根 均为单根，则均为单根，则 当当nm时，有时，有 当n=m时，有（2.46）当nm时，由此可得冲激响应形式为时，由此可得冲激响应形式为 对上式求一阶、二阶导数，并利用单位冲激函数的性质，得对上式求一阶、二阶导数，并利用单位冲激函数的性质，得 将冲激响应将冲激响应 及其一阶、二阶导数代入原方程，即及其一阶、二阶导数代入原方程，即 则得系数则得系数 定义定义:2.5.4 阶跃响应（阶跃响应（step responsestep respon

28、se）线性时不变系统（LTI）在零状态条件下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应（简称阶跃响应），记为 。图2.8阶跃响应示意图和 存在如下的关系故对于LTI系统而言，由微、积分特性必然有（2.47）也就是说：对于LTI系统，冲激响应等于阶跃响应的导数；阶跃响应等于冲激响应的积分。如果方程的特征根 均为单根，则其响应形式一般为 当 时，有（2.48）式中各待定常数 可利用方程式等号两端各奇异函数项的系数对应相等方法求得。当nm时，中阶跃响应中也含冲激函数项。这种关系不但适用于一阶系统，也适应于高阶系统。解：由KCL可得【例2.5】图2.9为电子设备中常用的补偿分压系统。图中分别为仪器的输

29、入电阻和输入电容，构成补偿网络。求的阶跃响应和冲激响应。图2.9常用的补偿分压系统示意图即 整理得微分方程为 式中 由式（2.43）可得阶跃响应形式为即将 代入原微分方程整理得 得故得阶跃响应形式为由此可知，在不同的参数下，有三种不同典型的波形，如图2.10所示。图2.10 不同参数下三种典型的波形示意图当取 时，响应 也是阶跃形式，只是幅度有变化，这称为不失真传输。当取 ，时,有 此时的冲激响应为 2.6 卷积的计算与性质卷积的计算与性质 2.6.1 卷积积分定义卷积积分定义 设有定义在设有定义在 区间上的两个函数区间上的两个函数 和和 ，定义为定义为 和和 的的卷积卷积为为2.6.2 用卷

30、积积分计算线性时不系统的零状态响应用卷积积分计算线性时不系统的零状态响应 若对于若对于LTI系统，系统的冲激响应为系统，系统的冲激响应为 ，即，即根据时不变性根据时不变性齐次性齐次性可加性可加性 当当 连连续续变变化化，即即 时时，可可以以用用连连续续变变化化的的 代代替替 ，无穷小，无穷小 代替代替 ,则有则有若系统为因果系统，输入信号从若系统为因果系统，输入信号从 时刻加入，时刻加入，如系统具有如系统具有因果性因果性和和稳定性稳定性，可分别表示为，可分别表示为 冲冲激激响响应应是是LTI系系统统的的特特性性的的完完全全的的描描述述。由由它它不不仅仅可可以以计计算算系系统统对对给给定定的的输

31、输入入产产生生的的零零状状态态响响应应，同同时时，也也是系统特性的描述和表征。是系统特性的描述和表征。2.6.3 卷积的计算：图形扫描法卷积的计算：图形扫描法图2.11矩形脉冲和锯齿波f f2 2(-(-)-2-21.51.50 0f f1 1()4 40 02 2t tt-2t-2f f1 1()4 40 02 2f f2 2(t-(t-)t tt-2t-2f f1 1()4 40 02 2f f2 2(t-(t-)t tt-2t-2f f1 1()4 40 02 2f f2 2(t-(t-)t tt-2t-2f f1 1()4 40 02 2f f2 2(t-(t-)首先：首先：其次将其次

32、将t t从从-逐渐增大，由于两个函数为有限长区间，逐渐增大，由于两个函数为有限长区间，因此相乘和积分应分几个区间进行因此相乘和积分应分几个区间进行（）当（）当t0,ft0,f1 1()与与f f2 2(t-(t-)无重叠，无重叠，f(tf(t)=0)=0t tt-2t-2f f1 1()4 40 02 2f f2 2(t-(t-)（）当（）当0t2,f0t2,f1 1()与与f f2 2(t-(t-)部分重叠，重叠的区部分重叠，重叠的区 间为间为00tt（3）当）当2t4,f1()与与f2(t-)完全重叠，重叠的区间为完全重叠，重叠的区间为t-2tt tt-2t-2f f1 1()4 40 0

33、2 2f f2 2(t-(t-)t tt-2t-2f f1 1()4 40 02 2f f2 2(t-(t-)（4 4）当）当4t6,f4t6,f1 1()与与f f2 2(t-(t-)部分重叠，部分重叠，重叠的区间为重叠的区间为t-2t-246,ft6,f1 1()与与f f2 2(t-(t-)无重叠，无重叠，f(tf(t)=0)=0t tt-2t-2f f1 1()4 40 02 2f f2 2(t-(t-)t tt-2t-2f f1 1()4 40 02 2f f2 2(t-(t-)f(tf(t)波形的表达式为波形的表达式为f(tf(t)t t0 042 263例例1:已知已知 试求二者

34、的卷积试求二者的卷积y(t).解解:积分变量为积分变量为，由于由于时，时，（）；）；由于由于t t时，时，（t-t-）；）；所以积分限为所以积分限为 t t2.6.4卷积积分的性质卷积积分的性质 1.卷积的代数运算卷积的代数运算 1）交换律）交换律【例例2.6】设设 ，分别求分别求 和和 。解解:2）分配律）分配律 其物理含义为：其物理含义为：若若 是是系系统统的的冲冲激激响响应应，和和 是是激激励励，则则该该式式表表明明几几个个输输入入信信号号之和的零状态响应将等于每个激励的零状态响应之和；之和的零状态响应将等于每个激励的零状态响应之和；若若 是是激激励励，而而 是是系系统统的的冲冲激激响响

35、应应 ，则则该该式式表表明明，激激励励作作用用于于冲冲激激响响应应为为的的系系统统产产生生的的零零状状态态响响应应应应等等于于激激励励分分别别作作用用于于冲冲激激响响应应为为 和和 的的两两个个子子系系统统相相并并联联所所产产生生的的零零状状态响应态响应h(th(t)f f1 1(t)(t)h(th(t)=f)=f2 2(t)+f(t)+f3 3(t)(t)y(ty(t)h h2 2(t)(t)h h3 3(t)(t)f f1 1(t)(t)y(ty(t)h h2 2(t)=f(t)=f2 2(t)(t)h h3 3(t)=f(t)=f3 3(t)(t)3）结合律）结合律 如如有有冲冲激激响响

36、应应分分别别为为 和和 的的两两系系统统相相级级联联，其其零零状状态态响响应应等等于于一一个个冲冲激激响响应应为为 的的系系统统的的零零状状态态响响应应，应应用用交交换换律律可可知知，子子系系统统 和和 可可以以交交换换次次序。序。f f3 3(t)(t)f f1 1(t)(t)y(ty(t)f f2 2(t)(t)f f2 2(t)(t)f f1 1(t)(t)y(ty(t)f f3 3(t)(t)h(th(t)f f1 1(t)(t)h(th(t)=f)=f2 2(t)*f(t)*f3 3(t)(t)=f=f3 3(t)*f(t)*f2 2(t)(t)y(ty(t)2.卷积的主要性质卷积的

37、主要性质 1）卷积的微分与积分卷积的微分与积分若若则则微分微分积分积分推广推广证明：证明：2）含有冲激函数的卷积）含有冲激函数的卷积 推广解解:【例例2.7】设设 求求 。根据卷积的分配律，根据卷积的分配律，解:【例例2.8】设某系统输入设某系统输入 如图如图2.15（a）所示的矩形脉冲，其冲激所示的矩形脉冲，其冲激响应为响应为 ，如图，如图2.15（b）所示，试求所示，试求 。如图2.15（c）所示图2.15解解:【例例2.9】已知一连续时间已知一连续时间LTI系统的输入系统的输入 和单位冲激响应和单位冲激响应 ，和和 的波形分别如图所的波形分别如图所示，试求系统的零状态响应。示，试求系统的零状态响应。f(tf(t)(1)(1)0 0T T2T2T-2T-2T-T-Tt tt t2T2TT T0 0T Th(th(t)t t2T2TT T0 0T TY YZSZS(t(t)-T-T-2T-2T4T4T-4T-4T