信号分析与处理第4章2.ppt

《信号分析与处理第4章2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号分析与处理第4章2.ppt（75页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、信号分析与处理信号分析与处理1第4章 离散时间信号的分析 在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程与卷积和转换为代数方程。4.2 离散时间信号的z域分析 4.2.1 z变换的定义 1.抽样信号的拉氏变换 取样信号xS(t)可写成连续时间信号x(t)乘以冲激序列，即取上式的双边拉氏变换，考虑到 得信号分析与处理信号分析与处理2第4章 离散时间信号的分析2.双边z变换：上式是复变量z的函数。3.单边z变换：令，或，则这样拉普拉斯变换式就可以变成另一复变量z 的变换式，即 当定义式中n的取值范围为

2、 n0时,双边z变换的定义式就变成了单边z变换的定义式了。信号分析与处理信号分析与处理3第4章 离散时间信号的分析1.z变换存在的条件z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列x(n)的z变换存在的充分必要条件。2.z变换的收敛域 满足存在条件的所有z值组成的集合称为z变换的收敛域。简记为ROC（Region of Convergence）。若x(n)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。4.2.2 Z变换的收敛域 信号分析与处理信号分析与处理4第4章 离散时间信号的分析例4-1

3、 试根据Z变换收敛域的定义指出下列序列的收敛域。(1)(2)解：根据等比级数的求和方法，可求得序列的Z变换为 X1(z)的ROC 为，即信号分析与处理信号分析与处理5第4章 离散时间信号的分析X2(z)的ROC 为，即 要描述一个序列的Z 变换，必须包括Z 变换的表达式和Z 变换的收敛域ROC 两个部分。由上例可以看出，同一个z变换函数，收敛域不同，其对应的序列是不相同的。信号分析与处理信号分析与处理6第4章 离散时间信号的分析序列特性对收敛域的影响 1.有限长序列有限长序列的z变换，其收敛域可以直观分析。如果有限长序列x(n)为有界序列，信号分析与处理信号分析与处理7第4章 离散时间信号的分

4、析可以看出因果序列的收敛域包括z=点。n10，n20时，0zn10时，00时，0z因此具体有限长序列的收敛域表示如下：信号分析与处理信号分析与处理8第4章 离散时间信号的分析2.右边序列 右边序列是在nn1时，序列值不全为零，而nn1时，序列值全为零的序列。其z变换为(1)第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。(2)第二项为因果序列，其收敛域为r10，级数在以原点为中心，Rx-为收敛半径的圆外任何点都绝对收敛。(3)两项共同的收敛域为r1|z|。如果n10，收敛域为r1|z|。n1=0是因果序列。根据根值法求右边序列的r1：信号分析与处理信号分析与处理9第4章 离散时间信号的分析

5、根据级数收敛的阿贝尔定理,n信号分析与处理信号分析与处理10第4章 离散时间信号的分析3.左边序列 左边序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn2，序列值全为零的序列。左边序列的z变换表示为(1)如果n20，第二项为有限长序列，其收敛域为0z。第一项为z的正幂，根据级数收敛的阿贝尔定理，存在一最大收敛半径r2，级数在|z|r2 的圆内收敛,取上述两项的共同区域，得收敛域为0|z|r2。(2)如果n20,z=0点收敛，z=点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为r2)的圆内，收敛域为0|z|r2。根据根值法求左边序列的r2：信号分析与处理信号分析与处理11第4章 离散时间信号的分析若令m=-n 变

6、为n信号分析与处理信号分析与处理12第4章 离散时间信号的分析4.双边序列 一个双边序列可以看作一个左边序列和一个右边序列之和，其z变换表示为X(z)的收敛域是第一项收敛域(左边序列，|z|r2)和第二项收敛域(因果序列，r1 r1，其收敛域为r1|z|r2，这是一个环状域。如果r2 r1，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此，X(z)不存在。4.2.3 常用序列及其Z变换 信号分析与处理信号分析与处理13第4章 离散时间信号的分析1.单位脉冲序列(n)（也称为单位采样序列）单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t

7、)在t=0时，取值无穷大，t 0时取值为零，对时间t的积分为1，即根据双边Z变换的定义式 信号分析与处理信号分析与处理14第4章 离散时间信号的分析(a)单位脉冲序列；(b)单位冲激信号 由(n)作为激励（输入）产生的响应（输出），称为单位脉冲响应：信号分析与处理信号分析与处理15第4章 离散时间信号的分析2.单位阶跃序列(n)(n)与(n)的关系:(n)=(n)(n-1)图4-13 单位阶跃序列 反因果阶跃序列(-n-1)如图4-14所示。图4-14 反因果阶跃序列 单位阶跃序列(n)如图4-13所示。信号分析与处理信号分析与处理16第4章 离散时间信号的分析单位阶跃序列(n)的z变换：显然

8、不论n为何值(n0)，都有(n)=1，因总有一个且只有一个m=n，使(n-m)=1。令n m=k，m=0时，k=n；m=时，k=-，得 显然不论n为何值(n0)，都有(n)=1，因其中，只有一项(0)=1，其余项(k)=0。信号分析与处理信号分析与处理17第4章 离散时间信号的分析对应的反因果序列的Z 变换为 令m=-n 代入上式，得 信号分析与处理信号分析与处理18第4章 离散时间信号的分析3.矩形序列RN(n)上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R(n)的波形如图所示。矩形序列常用来表示序号的取值范围，如可以写成：矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：信号分析与处理信号分析与处理19第

9、4章 离散时间信号的分析矩形序列RN(n)的Z变换为 4.指数序列(1)实指数序列，a为实数 如果|a|1，x(n)的幅度随n的增大而增大，则称为发散序列。单边实指数序列的Z 变换为 信号分析与处理信号分析与处理20第4章 离散时间信号的分析式中0 为数字角频率，当=0时，称为虚指数序列，虚指数序列是以2 为周期的周期序列:(2)复指数序列 M=0,1,2,因cos(2k)=1，sin(2k)=0,故 k=0,1,2,信号分析与处理信号分析与处理21第4章 离散时间信号的分析7.周期序列如果存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-n 则称序列x(n)为周期序列，周期为

10、N。单边虚指数序列的Z变换:信号分析与处理信号分析与处理22第4章 离散时间信号的分析 式中称为正弦序列的数字角频率，单位是弧度。如果正弦序列是由模拟信号采样得到的，那么5.正弦序列因此，数字角频率与模拟角频率之间的关系为 式中，T为采样周期。可以看出，数字角频率与模拟角频率之间为线性关系。正弦序列的Z变换参看例4-3。信号分析与处理信号分析与处理23第4章 离散时间信号的分析正弦序列是周期序列的条件需要指出的是，正弦（余弦）序列不一定是周期序列。周期序列的定义为：如果存在一个最小的正整数N，使序列x(n)=x(n+N)，-n，则序列x(n)是周期序列，周期为N。设任意正弦序列为 显然，满足

11、0N=2 k时，x(n)=x(n+N)，正弦序列为周期序列，N、k为正整数。因此，正弦序列是周期序列的条件是：2/0=N/k为有理数（整数和分数）。信号分析与处理信号分析与处理24第4章 离散时间信号的分析1）当2/0为整数时，k=1，正弦序列是以2/0为周期的周期序列。例如sin(/8)n，0=/8，2/0=16，该正弦序列周期为16。2）当2/0为分数时，设2/0=N/k，式中N、k是互为素数（意思是不可约分）的正整数，则正弦序列是以N为周期的周期序列。例如sin(3/7)n，0=3/7，由于2/0=14/3为有理数，故它的周期为N=14。3）当2/0是无理数（不循环的无限小数），任何整数

12、k都不能使N 为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。信号分析与处理信号分析与处理25第4章 离散时间信号的分析1.线性 4.2.4 Z变换的性质 本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。设 X(z)=Z x(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=Z y(n),Ry-|z|Ry+m(n)=ax(n)+by(n)则 M(z)=Z m(n)=Z ax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z),R m-|z|R m+Rm+=min Rx+,Ry+Rm-=max Rx-,Ry-其收敛域是X(z)与Y(z)收敛域的公共部分。信号分析与处理信号分析与处理26第4章 离散时间信

13、号的分析例4-2 求序列 的Z 变换。解 收敛域可见，线性叠加后序列Z变换的收敛域可能扩大，本例扩展到全z平面。信号分析与处理信号分析与处理27第4章 离散时间信号的分析例4-3 求单边余弦序列 和单边正弦序列的Z 变换。解 余弦和正弦序列可分别用复指数序列表示为 由于复指数序列的Z变换为 信号分析与处理信号分析与处理28第4章 离散时间信号的分析则余弦序列的Z变换为 即 同理可求出正弦序列的Z变换为 信号分析与处理信号分析与处理29第4章 离散时间信号的分析2.移位（移序）特性 设X(z)=Zx(n)，r1|z|r2 则Zx(n-n0)=z-n0 X(z)，r1|z|r2证明：利用此性质，可

14、以把时域的差分方程变换为z 域的代数方程，可以大大简化计算。信号分析与处理信号分析与处理30第4章 离散时间信号的分析例4-4 已知，利用移位性质求 和 的Z 变换。解 样值序列与阶跃序列的关系为 对上式两边取Z 变换，由于，故 则 根据移位性质 信号分析与处理信号分析与处理31第4章 离散时间信号的分析3.z域微分性质（序列乘以n）若 X(z)=Zx(n),r1|z|r2，r1|z|r2信号分析与处理信号分析与处理32第4章 离散时间信号的分析例4-5 已知，求序列的Z变换。解 利用z域微分性质可得当a=1时，即为斜变序列，因此信号分析与处理信号分析与处理33第4章 离散时间信号的分析4.z

15、域尺度变换设 X(z)=Z x(n),r1|z|r2证明：|a|r1|z|a|r2则|a|r1|z|a|r2信号分析与处理信号分析与处理34第4章 离散时间信号的分析5.时域卷积定理 设 w(n)=x(n)*h(n)X(z)=Zx(n),R x-|z|R x+H(z)=Zh(n)R h-|z|R h+则 W(z)=Zw(n)=X(z)H(z)，Rw-|z|Rw+Rw+=min Rx+,Rh+Rw-=maxRx-,Rh-证明：信号分析与处理信号分析与处理35第4章 离散时间信号的分析W(z)的收敛域就是X(z)和H(z)的公共收敛域。例4-6 求下列两个单边指数序列的卷积。信号分析与处理信号分析

16、与处理36第4章 离散时间信号的分析解 由于应用卷积定理得把Y(z)展开成部分分式，得其逆变换则为 信号分析与处理信号分析与处理37第4章 离散时间信号的分析4.2.5 逆Z变换 式中c为收敛域中的一条逆时针绕原点的闭合曲线。逆Z变换 Z变换求逆z变换的方法有：留数法、幂级数展开法和部分分式展开法等。信号分析与处理信号分析与处理38第4章 离散时间信号的分析1.幂级数展开法 根据z变换的定义如果将X(z)写成幂级数。其系数就是相应的序列值。右序列对应负幂级数z-1，左序列对应正幂级数z。例4-7 设X(z)=3z-1+5z-3-2z-4，求x(n)。解 x(n)为移位样值序列的和，由下式给出

17、该序列也可表示为 信号分析与处理信号分析与处理39第4章 离散时间信号的分析许多序列的Z变换X(z)通常可以表示为如下形式的有理函数 式中，ai、bi为实系数。当X(z)的分子的次数M 小于等于分母的次数N时，用长除法将分子除以分母可得z 的负幂级数，进而可求得x(n)。如果收敛域是|z|r1，即x(n)是右边序列(因果序列)，X(z)应展成z的负幂级数，则N(z)和D(z)要按照z的降幂（或z-1的升幂）次序进行排列。如果收敛域是|z|r2，即x(n)是左边序列，X(z)应展成z的正幂级数，则N(z)和D(z)要按照z的升幂（或z-1的降幂）次序进行排列。信号分析与处理信号分析与处理40第4

18、章 离散时间信号的分析例4-8 求的逆变换。其收敛域分别是|z|2 和|z|2，是因果序列。将X(z)的分子和分母按z 的降幂排列，用长除法有 信号分析与处理信号分析与处理41第4章 离散时间信号的分析则（2）收敛域|z|1，是反因果序列。将X(z)的分子和分母按z的升幂排列，即 信号分析与处理信号分析与处理42第4章 离散时间信号的分析信号分析与处理信号分析与处理43第4章 离散时间信号的分析则 利用幂级数展开法求解逆Z变换，方法比较直观和简单，但有时难以归纳出x(n)的闭式解。信号分析与处理信号分析与处理44第4章 离散时间信号的分析2.部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用部分

19、分式展开法求逆Z变换。设x(n)的z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的逆变换已知的部分分式的和，通过查表求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式 信号分析与处理信号分析与处理45第4章 离散时间信号的分析 观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，即X(z)/z在z=zm的极点留数就是系数Am，即求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。取逆变换得 信号分析与处理信号分析与处理46第4章 离散时间信号的分析解 先把X(z)写成z的正幂形式 例4.9信号分析与处理信号

20、分析与处理47第4章 离散时间信号的分析取逆变换得 信号分析与处理信号分析与处理48第4章 离散时间信号的分析 通过前面的学习可以看到，连续信号的傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散信号的z变换之间有着密切的联系，在一定的条件下可以互相转换。本节通过它们之间的关系引出离散时间信号的傅里叶分析。4.3 离散信号的傅里叶分析4.3.1 离散信号的Z变换与傅里叶变换的关系一、s平面与z平面的映射关系对模拟信号x(t)以抽样间隔TS进行冲激抽样得到抽样信号xS(t)=x(nTS)，进行拉普拉斯变换，引入了新的复变量 即 或 上式分别给出了序列x(n)的Z 变换X(z)与冲激采样信号xS(t)的拉普拉斯变换X

21、S(s)之间的变换关系。信号分析与处理信号分析与处理49第4章 离散时间信号的分析考察复变量这是一个s 域到z 域的变换。复变量（直角坐标形式）经变换后也是一个复变量(极坐标形式)其中，。重复频率为由此可得s z平面有如下的映射关系：1、s平面的整个虚轴映射到z平面的是单位圆；s平面的右半平面映射到z平面是单位圆的圆外；s平面的左半平面映射到z平面是单位圆的圆内。信号分析与处理信号分析与处理50第4章 离散时间信号的分析2、s 平面的整个实轴映射到z 平面的是正实轴；s 平面平行于实轴（=0是常数）的直线映射到z 平面是始于原点的辐射线，当 时，平行于实轴的直线映射到z平面的是负实轴。3、由于

22、 是以2 为周期的周期函数，s平面与z平面的映射的水平带面，这些水平带面都互相重叠地映射到整个z 平面上。因此，s 平面和z 平面的映射关系不是单值的。关系相当于把s平面分割成无穷多条宽度为二、Z变换与傅里叶变换的关系 单位圆上的z变换对应于离散时间信号的傅里叶变换。因此，若一个离散时间信号的傅里叶变换存在，它在z平面的收敛域应包含单位圆。信号分析与处理信号分析与处理51第4章 离散时间信号的分析4.3.2 离散时间傅里叶变换(DTFT)一、离散时间傅里叶变换的定义 把Z变换和反变换重写如下：当z只在z平面的单位圆上取值，即 时，可以得到 离散时间序列x(n)的傅里叶变换，即DTFT（Disc

23、rete Time Fourier Transformation）和傅里叶反变换，即IDTFT。信号分析与处理信号分析与处理52第4章 离散时间信号的分析X(ej)又可以写成X(ej)表示序列x(n)的频域特性，又称为x(n)的频谱。其中，|X(ej)|称为幅度频谱，()称为相位频谱，二者都是 的连续函数。由于ej是变量 以2 为周期的周期性函数，因此X(ej)也是以2为周期的周期性函数，即x(n)的频谱都是随 周期变化的。=0与=2点为信号的直流分量，=对应信号的最高频率。信号分析与处理信号分析与处理53第4章 离散时间信号的分析例4-10 求 的离散时间傅里叶变换，其中|a|1。解 根据式

24、（4-42）可求出离散时间单边指数信号的傅里叶变换为 显然，要使上式成立，必须有|a|1。图4-16(a)和(b)给出了a=0.8 时X(ej)的幅度频谱和相位频谱。由于频谱的周期性，一般只需要给出0 2 或-区间的频谱，如图4.16(c)和(d)所示。例4-11 求序列x(n)=(n)的傅里叶变换。解 由定义式得 信号分析与处理信号分析与处理54第4章 离散时间信号的分析例4-12 求序列x(n)=1的傅里叶变换。解 显然，对x(n)=1的信号不满足绝对可和的条件，但可以仿照连续时间信号情况，在变换中引入冲激函数。由于离散时间信号的傅里叶变换是以2 为周期的，考察下式给出的等间隔冲激频谱函数

25、 利用逆变换公式得 例4-13 若求此序列的傅里叶变换X(ej)。解：由定义式得 信号分析与处理信号分析与处理55第4章 离散时间信号的分析其中，幅频特性为 相频特性为 信号分析与处理信号分析与处理56第4章 离散时间信号的分析式中arg.表示方框号内表达式引入的相移，此处，其值在不同 区间分别为0,2,3。图4-17 绘出了R5(n)及其幅频和相频特性。信号分析与处理信号分析与处理57第4章 离散时间信号的分析1.线性2.时移与频移 设X(ej)=DTFTx(n)，那么时移性质为设X1(ej)=DTFTx1(n)，X2(ej)=DTFTx2(n)那么DTFTax1(n)+bx2(n)=aX1

26、(ej)+bX2(ej)二、离散时间傅里叶变换DTFT的基本性质 信号分析与处理信号分析与处理58第4章 离散时间信号的分析频移(频域移位)性质为4.反转与 DTFT的对称性3.时域信号的线性加权 设X(ej)=DTFTx(n)，那么线性加权性质为信号分析与处理信号分析与处理59第4章 离散时间信号的分析设X(ej)=DTFTx(n)，那么反转性质为DTFTx(-n)=X(e-j)=X(e-j)DTFT的对称性（1）共轭对称与共轭反对称序列满足关系 xe(n)=x*e(-n)的序列xe(n)称为共轭对称序列。将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n)将上式两边n用

27、-n代替，并取共轭，得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)信号分析与处理信号分析与处理60第4章 离散时间信号的分析由上面两公式左边相等，可以得到 xer(n)=xer(-n)和 xei(n)=-xei(-n)即共轭对称序列的实部是偶函数，而虚部是奇函数。满足关系xo(n)=-x*o(-n)的序列xo(n)称为共轭反对称序列。将x0(n)表示成实部与虚部：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)将上式两边n用-n代替，并取共轭，再取负号，得到-x*o(-n)=-xor(-n)+jxoi(-n)由上面两公式左边相等，可以得到 xor(n)=-xor(-n)和 xoi(n)=xoi

28、(-n)即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。信号分析与处理信号分析与处理61第4章 离散时间信号的分析例 试分析x(n)=e jn的对称性解 将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=e jn 因此x(n)=x*(-n)，是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到 x(n)=cosn+j sinn 由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。(2)一般序列都可用共轭对称(偶部)与共轭反对称(奇部)序列表示 x(n)=xe(n)+xo(n)式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出信号分析与处理信号分析与处理62第4章 离散时间信号的分析将上式中的n

29、用-n代替，再取共轭得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n)由上两式可解得 信号分析与处理信号分析与处理63第4章 离散时间信号的分析由于n的取值对称，用n代替-n，得(3)x(n)=xe(n)+xo(n)的DTFT 设DTFTx(n)=X(ej)信号分析与处理信号分析与处理64第4章 离散时间信号的分析即信号分析与处理信号分析与处理65第4章 离散时间信号的分析时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n),则 Y(ej)=X(ej)H(ej)证明：5.卷积定理信号分析与处理信号分析与处理66第4章 离散时间信号的分析应用：求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算，也可以在频域进行，即计

30、算出FTx(n)=X(ej)和FTh(n)=H(ej)，求出输出的FT，Y(ej)=X(ej)H(ej)再作逆FT求出输出信号y(n)。设 y(n)=x(n)h(n)则证明：频域卷积定理信号分析与处理信号分析与处理67第4章 离散时间信号的分析 6.帕斯维尔(Parseval)定理信号分析与处理信号分析与处理68第4章 离散时间信号的分析该定理说明，离散时间信号的总能量等于其傅里叶变换模平方在一个周期内积分取平均，即时域总能量等于频域一周期内的总能量。信号分析与处理信号分析与处理69第4章 离散时间信号的分析4.3.3 离散周期信号的傅里叶级数DFS 周期序列x(n)不满足绝对可和的条件，其F

31、T不存在。它的频域分析可以采用两种方法，一种是采用离散傅立叶级数DFS(Discrete Fourier Series)，另一种是引入奇异函数，用奇异函数表示它的傅立叶变换。信号分析与处理信号分析与处理70第4章 离散时间信号的分析 式中Xk是傅里叶级数的系数。信号分析与处理信号分析与处理71第4章 离散时间信号的分析即只剩 k=m 一项信号分析与处理信号分析与处理72第4章 离散时间信号的分析Xk是周期序列。称为DFS(离散傅立叶级数)的正变换频谱比实际值大N 倍它是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数信号分析与处理信号分析与处理73第4章 离散时间信号的分析称为DFS的反变换。即只剩 n=l 一项3)离散傅立叶级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处信号分析与处理信号分析与处理74第4章 离散时间信号的分析例4-1 4 图4-18（a）所示序列的周期N=10，求其频谱。解 根据式（4-62），有 图4-18(b)为周期序列对应的幅度频谱。信号分析与处理信号分析与处理75第4章 离散时间信号的分析图4-18 周期序列信号及其频谱(a)(b)